Complementi di Meccanica Analitica

Complementi di Meccanica Analitica (Mod. A e B)

AA 2017-2018 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)

Programma
Diario delle Lezioni
Orari
Bibliografia

Diario delle Lezioni

Lezioni 1 e 2 [28/2/2018] Richiami su sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: la strategia generale di soluzione nel caso diagonalizzabile. Esempi.

Lezioni 3 e 4 [7/3/2018] Richiami su sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: la strategia generale di soluzione nel caso non diagonalizzabile. Forma canonica di Jordan.

Lezioni 5 e 6 [9/3/2018] Il teorema di stabilità lineare (solo enunciato). Esempi: sistemi meccanici conservativi attorno a un punto di massimo non degenere del potenziale; sistemi meccanici con forza conservativa + attrito attorno a un punto di minimo non degenere. Oltre il teorema di stabilità lineare: il teorema di Lyapunov (solo enunciato). Strategia generale di soluzione per sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti con termine non omogeneo dipendente dal tempo.

Lezioni 7 e 8 [14/3/2018] L'oscillatore armonico smorzato e forzato. Caso omogeneo: soluzione generale e comportamento qualitativo del punto di equilibrio asintoticamente stabile: moto a spirale verso il centro, nodo proprio e improprio. Caso non omogeneo, caso della forzante sinusoidale: soluzione particolare e risonanza.

Lezioni 9 e 10 [16/3/2018] L'oscillatore armonico forzato senza attrito, caso della forzante sinusoidale: soluzione particolare e risonanza. Natura qualitativa della soluzione per tempi lunghi nel caso forzato con e senza attrito, risonante o no. Generalizzazione al caso di una forzante generica periodica. Richiami sul teorema di Fourier. Introduzione al problema della risonanza parametrica. L'operatore lineare di evoluzione temperale.

Lezioni 11 e 12 [21/3/2018] Risonanza parametrica: il determinante dell'operatore di evoluzione temporale (`teorema di Liouville'). Condizione di instabilità in termini della traccia dell'operatore temporale su un periodo. Calcolo di tale operatore in serie: equazione per i coefficienti e calcolo dei termini di ordine zero e uno.

Lezioni 13 e 14 [23/3/2018] Risonanza parametrica: soluzione completa in serie per l'operatore di evoluzione temperale. Convergenza della serie. L'esponenziale tempo-ordinato.

Lezioni 15 e 16 [28/3/2018] Risonanza parametrica: calcolo della traccia dell'operatore di evoluzione su un periodo al second'ordine. Costruzione del diagramma di stabilità nel piano ε-ω. Introduzione al problema degli oscillatori armonici accoppiati come modello microscopico di corda vibrante: equazioni del moto e energia potenziale.

Lezioni 17 e 18 [4/4/2018] La catena di oscillatori armonici accoppiati: calcolo della soluzione. Definizione del limite continuo, o macroscopico.

Lezioni 19 e 20 [6/4/2018] La catena di oscillatori armonici accoppiati: calcolo del limite formale della soluzione nel limite continuo. Esistenza, continuità e differenziabilità del liminte.

Lezioni 21 e 22 [11/4/2018] La catena di oscillatori armonici accoppiati e la corda vibrante: verifica che il limite continuo della soluzione della catena di oscillatori armonici risolve l'equazione della corda vibrante. Unicità della soluzione dell'equazione della corda vibrante. Introduzione alla diffusione elastica classica.

Lezioni 23 e 24 [13/4/2018] Diffusione elastica classica: calcolo della formula di Rutherford per la diffusione su centro Coulombiano.

Lezioni 25 e 26 [18/4/2018] Integrali nascosti nel problema dei due corpi e nel problema dell'oscillatore armonico tridimensionale.

Lezioni 27 e 28 [20/4/2018] Introduzione alla teoria del corpo rigido. Rotazione libera attorno al baricentro. Equazioni di Eulero: soluzione nei casi di corpi rigidi a simmetria sferica e cilindrica. Soluzione del moto di rotazione nel sistema di riferimento fisso: gli angoli di Eulero.

Lezioni 29 e 30 [27/4/2018] Equazioni di Eulero: soluzione nel caso di corpi rigidi generali a-simmetrici. Soluzione del moto di rotazione nel sistema di riferimento fisso. Introduzione alla trottola di Lagrange (corpo rigido simmetrico pesante con punto fisso).

Lezioni 31 e 32 [2/5/2018] Integrazione per quadrature delle equazioni del moto della trottola di Lagrange.

Lezioni 33 e 34 [4/5/2018] Discussione della natura qualitativa del moto della trottola per alcuni dati iniziali speciali: la trottola addormentata e la trottola veloce. Introduzione alla teoria delle variabili azione-angolo: il caso dei moti conservativi unidimensionali.

Lezioni 35 e 36 [9/5/2018] Variabili azione-angolo per l'oscillatore armonico unidimensionale. Il teorema di Arnold-Liouville. Variabili azione-angolo per i moti in campo centrale.

Lezioni 37 e 38 [11/5/2018] Variabili azione-angolo per il problema dei due corpi. Formulazione in variabili azione-angolo del problema dei 3 corpi ristretto e del calcolo della precessione del perielio di Mercurio.

Lezioni 39 e 40 [16/5/2018] Calcolo della precessione del perielio di Mercurio: parte 1. Anomalia media e anomalia eccentrica.

Lezioni 41 e 42 [18/5/2018] Calcolo della precessione del perielio di Mercurio: parte 2. Storia del problema, il calcolo di Le Verrier e il mistero dei 42''/secolo mancanti. Cenni alla teoria KAM sulla convergenza della teoria delle perturbazioni classica.

Lezioni 43 e 44 [23/5/2018] Introduzione alla teoria statistica del moto: sistemi integrabili, quasi-integrabili e caotici. Dimostrazione del riempimento denso e uniforme del toro da parte del flusso quasi-periodico irrazionale. Frequenze di visita.

Orari

Mercoledì ore 16-18, aula F a Fisica.

Venerdì ore 14-16, aula 57 a Fisica.

Testi consigliati

[Ga] G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986, p. 1-536, disponibile online in versione inglese qui (pdf, djvu).

[GBG] G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion, Springer-Verlag 2004, disponibile online qui (pdf).

[LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.

[Ar] V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.

[Ge] G. Gentile, Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1 e 2, disponibili online qui.

Ultima modifica 25/5/2018