Complementi di Meccanica Analitica

Complementi di Meccanica Analitica

AA 2016-2017 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)

Programma
Diario delle Lezioni
Orari
Bibliografia
Esami

Diario delle Lezioni

Lezioni 1 e 2 [7/3/2017] Richiami su sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: la strategia generale di soluzione nel caso diagonalizzabile. Esempi.

Lezioni 3 e 4 [8/3/2017] Richiami su sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: la strategia generale di soluzione nel caso non diagonalizzabile. Forma canonica di Jordan. NOTA: Alcuni complementi sulla forma canonice di Jordan sono disponibili qui. Criteri di stabilità: teorema del linearizzato e teorema di Lyapunov (solo enunciati).

Lezioni 5 e 6 [14/3/2017] L'oscillatore armonico smorzato: soluzione e analisi qualitativa del moto nei casi sottocritico, critico e sopracritico. L'oscillatore armonico smorzato e forzato: costruzione della soluzione particolare nel caso di una forzante sinusoidale. Condizione di risonanza.

Lezioni 7 e 8 [15/3/2017] L'oscillatore armonico smorzato e forzato nel caso di forzante periodica generale. Enunciato e dimostrazione del teorema di Fourier sullo sviluppo delle funzioni periodiche nella base degli esponenziali complessi.

Lezioni 9 e 10 [21/3/2017] Risonanza parametrica: definizione del problema, operatore di evoluzione, teorema di Liouville (enunciato), criterio di stabilità del punto di equilibrio in termini della traccia dell'operatore di evoluzione.

Lezioni 11 e 12 [22/3/2017] Risonanza parametrica: teorema di Liouville (dimostrazione), calcolo in serie perturbativa dell'operatore di evoluzione.

Lezioni 13 e 14 [28/3/2017] Risonanza parametrica: convergenza della serie per l'operatore di evoluzione, verifica della soluzione, calcolo della traccia per serie, costruzione della frontiera di stabilità nell'intorno della risonanza ω₀=ω/2, diagramma di fase nel piano di ascissa (ω₀/ω) e ordinata ε.

Lezioni 15 e 16 [29/3/2017] Sistemi di oscillatori armonici accoppiati con condizioni di Dirichlet al bordo: definizione del problema, calcolo degli autovalori e autovettori della matrice Hessiana del potenziale, e soluzione generale del problema.

Lezioni 17 e 18 [4/4/2017] Limite continuo, o macroscopico, del sistema di oscillatori accoppiati: riscalamento della massa, del numero di oscillatori e delle costanti elastiche. Limite formale della soluzione e delle equazioni del moto: equazione delle onde, o della corda vibrante.

Lezioni 19 e 20 [5/4/2017] Sistema di oscillatori accoppiati ed equazione delle onde: convergenza della serie ottenuta come limite macroscopico della soluzione del sistema di oscillatori, verifica del fatto che tale serie è soluzione dell'equazione delle onde. Unicità della soluzione dell'equazione delle onde: conservazione dell'energia della corda vibrante.

Lezioni 21 e 22 [11/4/2017] Elementi di teoria della diffusione classica. Sezione d'urto differenziale. Formula di Rutherford per la diffusione su un centro Coulombiano.

Lezioni 23 e 24 [12/4/2017] Integrali primi nascosti nel problema dei due corpi e dell'oscillatore armonico tridimensionale. Il teorema di Bertrand (solo enunciato).

Lezioni 25 e 26 [25/4/2017] Proprietà statistiche dei moti quasi periodici irrazionali. Riduzione al flusso quasi-periodico lineare sul toro. Riempimento denso del toro nel caso di flussi quasi-periodici irrazionali.

Lezioni 27 e 28 [26/4/2017] Frequenze di visita nel caso dei flussi quasi-periodici irrazionali sul toro: esistenza e dimostrazione che le frequenze di visita a un insieme sono uguali al volume normalizzato dell'insieme, indipendentemente dal dato iniziale.

Lezioni 29 e 30 [2/5/2017] Sistemi dinamici metrici. Teorema di Birkhoff (solo enunciato). Definizione di sistema ergodico nel contesto generale dei sistemi dinamici metrici: un sistema è ergodico se e solo se non ammette integrali primi non banali.

Lezioni 31 e 32 [4/5/2017] Definizione equivalente di sistema ergodico: fattorizzazione asintotica (in media) della probabilità di visitare F dopo aver visitato E. Sistemi mescolanti. Un esempio di sistema mescolante e caotico: il gatto di Arnold.

Lezioni 33 e 34 [9/5/2017] Ancora sul gatto di Arnold: dimostrazione della proprietà di mescolamento e calcolo dello spettro di Lyapunov. Definizione generale di esponenti di Lyapunov e base dinamica. Teorema di Oseledec (solo enunciato). Definizione generale di sistema caotico.

Lezioni 35 e 36 [11/5/2017] Complementi sulla teoria del corpo rigido: rotazione libera di un corpo rigido simmetrico attorno al baricentro. Angoli di Eulero. Introduzione alla teoria della rotazione libera di un corpo rigido a-simmetrico attorno al baricentro: costruzione delle curve di livello sull'ellissoide di inerzia.

Lezioni 37 e 38 [16/5/2017] Soluzione per quadrature del moto di rotazione libera di un corpo rigido a-simmetrico attorno al baricentro. Introduzione alla teoria del moto della trottola simmetrica pesante con punto fisso: formulazione Lagrangiana e grandezze conservate.

Lezioni 39 e 40 [18/5/2017] Soluzione per quadrature del moto della trottola simmetrica pesante con punto fisso. Discussione qualitativa della soluzione. La trottola dormiente e la trottola veloce.

Lezioni 41 e 42 [22/5/2017] Complementi di meccanica Hamiltoniana: teorema di Arnold-Liouville (solo enunciato). Variabili azione-angolo per sistemi meccanici conservativi unidimensionali e, in particolare, per l'oscillatore armonico unidimensionale.

Lezioni 43 e 44 [23/5/2017] Variabili azione angolo per moti in campo centrale e, in particolare, per moti in campo gravitazionale.

Lezioni 45 e 46 [30/5/2017] Il problema dei tre corpi ristretto in variazibili Kepleriane. Anomalia media e anomalia eccentrica.

Lezioni 47 e 48 [1/6/2017] Calcolo del periodo di precessione dell'orbita nel prolema dei tre corpi ristretto, in prima approssimazione. La precessione del perielio di Mercurio. Il calcolo di Le Verrier e il mistero dei 42''/secolo mancanti.

Esercizi proposti

Foglio di esercizi proposti [1] Esercizi.

Foglio di esercizi proposti [2] Esercizi.

Orari

Martedì ore 9-11, aula 57 a Fisica.

Giovedì ore 9-11, aula 311 a Matematica.

Esami ed Esoneri

Modalità: Esame orale tradizionale su tutto il programma del corso.

Testi consigliati

[Ga] G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986, p. 1-536, disponibile online in versione inglese qui (pdf, djvu).

[GBG] G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion, Springer-Verlag 2004, disponibile online qui (pdf).

[LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.

[Ar] V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.

[Ge] G. Gentile, Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1 e 2, disponibili online qui.

Ultima modifica 26/5/2017