Meccanica Analitica

FM210 - Fisica Matematica I (CdL in Matematica)

Meccanica Analitica (CdL in Fisica)

AA 2016-2017 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani; Esercitatore: Faenia Vaia; Tutori: Lorenzo Conato e Camilla Di Mino)

Programma
Diario delle Lezioni
Esercitazioni
Orari
Bibliografia
Esami ed Esoneri

Diario delle Lezioni

Lezioni 1 e 2 [1/3/2017] Equazioni di Newton. Forze posizionali e conservative. Condizioni necessarie e sufficienti affinché un sistema di forze sia conservativo.

Lezioni 3 e 4 [3/3/2017] Alcuni esempi di sistemi conservativi risolubili (forza costante e oscillatore armonico). Punti di equilibrio e stabilità nel senso di Lyapunov per equazioni di Netwon.

Lezioni 5 e 6 [6/3/2017] Caratterizzazione dei punti critici del potenziale: minimi stretti corrispondono a punti di equilibrio stabile (teorema di Dirichlet), punti di massimo o di sella non degeneri a punti di equilibrio instabile. Dimostrazione del teorema di Dirichlet e del teorema di instabilità (solo per sistemi meccanici unidimensionali).

Lezioni 7 e 8 [8/3/2017] Effetto dell'attrito sulla stabilità dei punti di equilibrio: i punti di massimo non denegeri rimangono instabili in presenza di attrito, mentre i punti di minimo non degeneri diventano asintoticamente stabili. Dimostrazione dell'asintotica stabilità di un punto di minimo non degenere per sistemi meccanici unidimensionali con attrito. Piccole oscillazioni: soluzione del problema linearizzato attorno a un punto di minimo non degenere del potenziale, modi normali e frequenze di oscillazione proprie. Per una stima dell'effetto dei termini non lineari sulla soluzione, potete consultare queste note.

Lezioni 9 e 10 [13/3/2017] Il pendolo matematico: definizione del modello, derivazione delle equazioni del moto, costruzione delle curve di livello nel piano delle fasi.

Lezioni 11 e 12 [15/3/2017] Il pendolo matematico: integrazione per quadrature del moto. Calcolo del periodo. Soluzione esplicita del moto sulla seperatrice. Alcune animazioni che descrivono il moto del pendolo nello spazio fisico e nel piano delle fasi sono disponibili qui.

Lezioni 13 e 14 [20/3/2017] Strategia geneale di analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti conservativi unidimensionali. Moti in campo centrale: riduzione del problema a due corpi al caso di un punto materiale soggetto a un campo di forze centrali. Posizione del centro di massa e posizione relativa. Massa ridotta. Conservazione dell'energia meccanica per moti in campo centrale: ogni forza centrale è conservativa.

Lezioni 15 e 16 [22/3/2017] Moti in campo centrale: conservazione del momento angolare. Riduzione dimensionale: il moto si svolge sul piano ortogonale al momento angolare passante per il centro della forza. Soluzione per quadrature delle equazioni sul piano ortogonale al momento angolare. Potenziale efficace. Moti quasi-periodici.

Lezioni 17 e 18 [29/3/2017] Moto in campo gravitazionale: soluzione esplicita per quadrature per i moti limitati (a energia negativa). Tutti i moti limitati sono periodici. Calcolo esplicito del periodo. Calcolo della traiettoria.

Lezioni 19 e 20 [31/3/2017] Moto in campo gravitazionale: dimostrazione che le traiettorie dei moti limitati sono ellissi con uno dei fuochi nel centro della forza (prima legge di Keplero). Dimostrazione delle tre leggi di Keplero. Considerazioni generali sui limiti di applicabilità delle leggi di Keplero e del problema dei due corpi. Cenni al problema degli n corpi e al problema della stabilità del sistema solare.

Lezioni 21 e 22 [3/4/2017] Introduzione alla meccanica Lagrangiana: spazio dei moti, spazio delle variazioni, funzionale di azione di densità Lagrangiana L(x,v). Condizione di stazionarietà per l'azione Lagrangiana e equazioni di Eulero-Lagrange: un moto rende l'azione Lagrangiana stazionaria se e solo se risolve le equazioni di Eulero-Lagrange.

Lezioni 23 e 24 [5/4/2017] Meccanica Lagrangiana: il principio (teorema) di minima azione.

Lezioni 25 e 26 [19/4/2017] Cambiamenti di coordinate in sistemi Lagrangiane: covarianza delle equazioni di Eulero-Lagrange. Strategia (ingenua) per determinare le equazioni del moto di sistemi vincolati. Definizione di sistema di vincoli olonomi bilateri ideale.

Lezioni 27 e 28 [24/4/2017] Vincoli ideali: il principio di Dirichlet, o dei lavori virtuali. Principio di stazionarietà per sistemi vincolati nel caso di vincoli ideali.

Lezioni 29 e 30 [26/4/2017] Vincoli olonomi bilateri regolari ideali nel caso dipendente dal tempo. Equazioni del moto sul vincolo nel caso dipendente dal tempo. Un esempio notevole: il pendolo su un piano rotante. Energia generalizzata per Lagrangiane indipendenti dal tempo.

Lezioni 31 e 32 [3/5/2017] Variabili cicliche, conservazione dei momenti coniugati, e riduzione dei gradi di libertà: metodo di Routh. Gruppi di simmetria a un parametro e grandezze conservate: teorema di Noether. Conservazione della quantità totale di moto di un sistema di punti materiali invariante per traslazioni.

Lezioni 33 e 34 [5/5/2017] Cambiamenti di sistema di riferimento: leggi di trasformazione di posizione e volecità da un sistema di riferimento fisso a uno mobile. Vettore velocità angolare. Legge di trasformazione delle equazioni della dinamica: forze fittizie (inerziali di traslazione e rotazione, di Coriolis e centrifuga).

Lezioni 35 e 36 [8/5/2017] Forte fittizie, un esempio: calcolo della deviazione dalla verticale nella caduta libera di un punto materiale dovuta alla forza di Coriolis. Il corpo rigido: definizione, sistema di riferimento solidale. Energia cinetica: contributo dovuta al moto traslatorio del baricentro e contributo dovuto alla rotazione attorno al baricentro. Matrice d'inerzia.

Lezioni 37 e 38 [10/5/2017] Il vincolo di rigidità come vincolo ideale. Principio di D'Alembert per il corpo rigido. Equazioni cardinali della dinamica. Il caso di un corpo rigido in campo gravitazionale: moto del baricentro e moto di rotazione (libera) attorno al baricentro. Equazioni di Eulero.

Lezioni 39 e 40 [15/5/2017] Meccanica Hamiltoniana: momenti coniugati, trasformazione di Legendre, equazioni di Hamilton. Il flusso Hamiltoniano è a divergenza nulla: teorema di Liouville.

Lezioni 41 e 42 [17/5/2017] Evoluzione di osservabili, parentesi di Poisson: proprietà e parentesi di Poisson fondamentali. Principio variazioniale di Hamilton. Forma differenziale di Poincaré-Cartan. Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Introduzione alle trasformazioni canoniche.

Lezioni 43 e 44 [22/5/2017] Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici di prima, seconda, terza e quarta specie. Esempi: la trasformazione identica, e la trasformazione che scambia il ruolo di posizioni e momenti. Trasformazioni puntuali. Equazione di Hamilton-Jacobi.

Lezioni 45 e 46 [24/5/2017] Condizione necessaria e sufficiente affinché una trasformazione sia canonica. Matrici simplettiche: definizione e proprietà. Conservazione delle parentesi di Poisson fondamentali sotto trasformazioni canoniche. Esempio: il flusso Hamiltoniano induce una trasformazione canonica ad ogni istante di tempo t.

Esercitazioni e Tutorato

Esercitazioni 1 e 2 [8/3/2017] Punti di equilibrio e stabilità. Piccole oscillazioni. (Esercizi, soluzione dell'esercizio 2).

Tutorati 1 e 2 [10/3/2017] Forze posizionali e conservative. Punti di equilibrio, stabilità e piccole oscillazioni per sistemi meccanici in una o più dimensioni. (Esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 3 e 4 [15/3/2017] La doppia buca: analisi qualitativa del moto, studio delle curve di livello, soluzione per quadrature del moto, soluzione esplicita del moto sulla separatrice. Alcune animazioni che descrivono il moto nel problema della doppia buca nello spazio fisico e nel piano delle fasi sono disponibili qui.

Tutorati 3 e 4 [17/3/2017] Analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti conservativi unidimensionali. (Esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 5 e 6 [22/3/2017] Richiami sulla strategia generale di soluzione dei moti in campo centrale. Un esempio notevole: l'oscillatore armonico tri-dimensionale.

Tutorati 5 e 6 [24/3/2017] Analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti in campo centrale, I. (Esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 7 e 8[27/3/2017] Ancora un esempio di moto in campo centrale: il caso del potenziale V(ρ)=–k/(ρ+ℓ)³. Introduzione al moto in campo gravitazionale.

Tutorati 7 e 8 [29/3/2017] Analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti in campo centrale, II. (Esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 9 e 10 [5/4/2017] Ancora esercizi su moti in campo centrale: esercizio 3 del secondo scritto a.a. 2012/2013, e esercizio 3 del primo esonero a.a 2012/13.

Tutorati 9 e 10 [7/4/2017] Prova pre-esonero. (Testo, soluzioni).

Esercitazioni 11 e 12 [19/4/2017] Principio di stazionarietà in analisi variazionale: il calcolo della brachistocrona e della catenaria.

Tutorati 11 e 12 [21/4/2017] Formalismo Lagrangiano: equazioni di Eulero-Lagrange e cambiamenti di coordinate nelle equazioni del moto. La legge di Snell. (Esercizi, Soluzioni).

Esercitazioni 13 e 14 [26/4/2017] Sistemi Lagrangiani in presenza di vincoli ideali. Il pendolo doppio. Il pendolo con punto di sospensione oscillante. Il pendolo sferico. Variabili cicliche e conservazione dei momenti coniugati.

Tutorati 13 e 14 [28/4/2017] Sistemi Lagrangiani in presenza di vincoli ideali. (Esercizi, Soluzioni).

Esercitazioni 15 e 16 [3/5/2017] Conservazione del momento angolare totale di un sistema di punti materiali invariante per rotazioni. Cambiamenti di sistema di riferimento: leggi di trasformazione di posizione e volecità da un sistema di riferimento fisso a uno mobile.

Tutorato [5/5/2017] Teorema di Noether. Lagrangiana ridotta. Cambiamento di sistemi di riferimento: leggi di trasformazione di posizioni e velocità, forze fittizie. (Esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 17 e 18 [10/5/2017] Equazioni di Eulero: soluzione nel caso di matrice d'inerzia a simmetria sferica e cilindrica. Moti di precessione e rotazione propria. Cenni alla soluzione generale (corpo rigido a-simmetrico): moti di nutazione, precessione e rotazione propria. Calcolo dei momenti di inerzia per un'asta sottile omogenea. Esempio: un sistema Lagrangiano di aste vincolate.

Tutorati 15 e 16 [12/5/2017] Momenti di inerzia. Teorema di Huygens-Steiner. Rotolamento senza strisciamento. Moti di corpi rigidi vincolati. (Esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 19 e 20 [17/5/2017] Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici (di prima e seconda specie). Primi esempi di sistemi Hamiltoniani a un grado di libertà e trasformazioni canoniche.

Tutorati 17 e 18 [19/5/2017] Sistemi Hamiltoniani a un grado di libertà. Trasformazioni canoniche associate a funzioni generatrici di prima e seconda specie. Soluzione delle equazioni di Hamilton e relazione con le equazioni di Eulero-Lagrange. Trasformata di Legendre. (Esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 21 e 22 [24/5/2017] Esercizi di ricapitolazione su: meccanica Hamiltoniana e trasformazioni canoniche; sistemi Lagrangiani vincolati e corpo rigido.

Tutorati 19 e 20 [26/5/2017] Seconda prova pre-esonero (Testo, soluzioni).

Tutorato straordinario 1 [29/5/2017] Esercizi di ricapitolazione (Testo e soluzioni).

Tutorato straordinario 2 [30/5/2017] Esercizi di ricapitolazione (Testo, soluzioni).

Orari

Lunedì ore 9-11 [aula G].

Mercoledì ore 9-11 [aula G].

Mercoledì ore 14-16 [aula G] (esercitazione).

Venerdì ore 11-13 [aula G] (tutorato).
Ricevimento: Mercoledì ore 12:30-13:30 [studio 205] o su appuntamento email a: giuliani@mat.uniroma3.it

Esami ed Esoneri

Modalità: Esame scritto e orale. I primi due appelli si terranno a Giugno-Luglio 2017. Durante il corso si terranno due esoneri, il primo la settimana prima di Pasqua, il secondo l'ultima settimana di Maggio 2017. Chi supererà con successo le due prove di esonero potrà accedere all'esame orale senza dover svolgere l'esame scritto. Per superare con successo le due prove di esonero è necessario ottenere almeno 16/30 in entrambe le prove, e una media di almeno 18/30. Una volta superati gli esoneri, l'orale potrà essere sostenuto entro la sessione di Febbraio 2017.
Note:
1) Per coloro che vogliono sostenere lo scritto allo scopo di migliorare il voto degli esoneri: gli esoneri perderanno valore al momento della consegna al docente dell'esame svolto.
2) Chi non dovesse superare l'orale dovrà ripetere l'esame scritto.
3) Chi dovesse superare l'esame scritto in una delle sessioni disponibili (estiva, settembre, invernale) è tenuto a sostenere l'orale nella stessa sessione (esempio: se si ha superato lo scritto di giugno, si può sostenere l'orale o a giugno o a luglio, dopodiché lo scritto decadrà; se si ha superato lo scritto a settembre, l'orale va sostenuto a settembre stesso, dopodiché lo scritto decadrà).

Primo esonero [10/4/2017] (testo, soluzioni, risultati).

Secondo esonero [31/5/2017] (testo, soluzioni, risultati).

Primo scritto [16/6/2017] (testo, soluzioni, risultati).

Secondo scritto [6/7/2017] (testo, soluzioni, risultati).

Terzo scritto [9/9/2017] (testo, soluzioni, risultati).

Quarto scritto [24/1/2018] (testo, soluzioni, risultati).

Quinto scritto [19/2/2018] (testo, soluzioni, risultati).

Testi consigliati

[Ga] G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986, p. 1-536, disponibile online in versione inglese qui (pdf, djvu).

[LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.

[Ar] V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.

[Ge] G. Gentile, Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1 e 2, disponibili online qui.

Ultima modifica 21/2/2018