FM210 - Fisica Matematica I

FM210 - Fisica Matematica I

AA 2013-2014 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani / Esercitatore: Ian Jauslin)

Avvisi
Programma
Diario delle Lezioni
Esercitazioni e Tutorato
Orari
Bibliografia
Esami ed Esoneri

Avvisi

- Sono disponibili delle note con la dimostrazione completa del teorema sul periodo delle piccole oscillazioni per moti unidimensionali.

- Gli orali dell'appello estivo si svolgeranno Venerdì 13 Giugno 2014 dalle 9:30 in aula 009.

Diario delle Lezioni

Lezioni 1 e 2 [23/9/2013] Equazioni di Newton. Forze posizionali e conservative. Condizioni necessarie e sufficienti affinché un sistema di forze sia conservativo. Grandezze conservate e integrali primi. Conservazione dell'energia meccanica.

Lezioni 3 e 4 [25/9/2013] Derivata sostanziale. Richiami su esistenza e unicità delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali ordinarie: teorema di Cauchy, prolungamento di una soluzione, unicità del prolungamento massimale, comportamento della soluzione ai bordi del dominio di esistenza massimale (Capitolo 3 di [Ge]).

Lezioni 5 e 6 [1/10/2013] Teorema di stime a priori per l'esistenza globale. Esistenza globale della soluzione alle equazioni di Newton per potenziali limitati dal basso. Commenti su esistenza, unicità, prolungabilità e stime a priori nel caso dipendente dal tempo. Un esempio: esistenza globale per sistemi lineari con coefficienti dipendenti dal tempo.

Lezioni 7 e 8 [3/10/2013] Strategia generale di soluzione di sistemi lineari a coefficienti costanti, sia omogenei che non omogenei: il caso diagonalizzabile. L'oscillatore armonico smorzato: il caso critico (non diagonalizzabile).

Lezioni 9 e 10 [8/10/2013] Il pendolo matematico (parte I): costruzione delle traiettorie nello spazio delle fasi (Capitolo 5.23 di [Ge]). Alcune animazioni che descrivono il moto del pendolo nello spazio fisico e nel piano delle fasi sono disponibili qui.

Lezioni 11 e 12 [10/10/2013] Il pendolo matematico (parte II): soluzione per quadrature del moto, calcolo del periodo, soluzione esplicita del moto sulla separatrice, calcolo del periodo delle piccole oscillazioni.

Lezioni 13 e 14 [15/10/2013] Punti di equilibrio e definizione di stabilità alla Ljapunov. Stabilità e instabilità dei punti di equilibrio del pendolo. Effetto dell'attrito sul punto di equilibrio stabile del pendolo: asintotica stabilità (Capitolo 2.9 di [Ga]).

Lezioni 15 e 16 [17/10/2013] La nozione di punto di equilibrio e di stabilità per sistemi dinamici generali. Risolubilità per quadrature dei sistemi meccanici conservativi unidimensionali con potenziale generico.

Lezioni 17 e 18 [22/10/2013] Introduzione al calcolo delle variazioni e alla meccanica Lagrangiana: lo spazio dei moti, lo spazio delle variazioni, nozione di stazionarietà e di minimo relativo per l'azione Lagrangiana. Equazioni di Eulero-Lagrange. Equivalenza tra le equazioni di Newton per sistemi meccanici conservativi unidimensionali e stazionarietà dell'azione.

Lezioni 19 e 20 [24/10/2013] Il principio di minima azione per sistemi meccanici conservativi unidimensionali (parte I).

Lezioni 21 e 22 [5/11/2013] Il principio di minima azione (parte II). Invarianza del principio di stazionarietà dell'azione lagrangiana. Il principio di stazionarietà in piú dimensioni, per sistemi di punti materiali in d=1,2,3.

Lezioni 23 e 24 [7/11/2013] Introduzione ai moti vincolati. La nozione di vincolo olonomo bilatero regolare e di sistemi di vincoli indipendenti.

Lezioni 25 e 26 [12/11/2013] Il principio di D'Alembert. Sistemi di punti materiali sottoposti a sistemi di vincoli ideali. Il principio di stazionarietà dell'azione di lagrangiana (Energia cinetica - energia potenziale) per sistemi sottoposti a sistemi di vincoli ideali. Le equazioni di Eulero-Lagrange come le equazioni del moto sul vincolo.

Lezioni 27 e 28 [14/11/2013] Il pendolo sferico. Esistenza di una variabile ciclica e di un integrale primo aggiuntivo, oltre l'energia meccanica. Integrabilità per quadrature del sistema.

Lezioni 29 e 30 [19/11/2013] Moti periodici e quasi-periodici del pendolo sferico. Conservazione dell'energia per Lagrangiane generali indipendenti dal tempo.

Lezioni 31 e 32 [21/11/2013] Introduzione ai moti in campo centrale. Riduzione del problema a due corpi al problema a un corpo: moto del baricentro e moto relativo.

Lezioni 33 e 34 [26/11/2013] Il moto in campo centrale: conservazione del momento angolare e super-integrabilità del moto. Il moto in coordinate polari sul piano ortogonale al momento angolare. Potenziale efficace per il moto radiale.

Lezioni 35 e 36 [28/11/2013] Natura del moto complessivo per sistemi in campo centrale. L'equazione della traiettora. Introduzione al moto in campo gravitazionale.

Lezioni 37 e 38 [3/12/2013] Soluzione del problema dei due corpi (moto in campo centrale gravitazionale). Le leggi di Keplero.

Lezioni 39 e 40 [5/12/2013] Ancora sulle leggi di Keplero. Sul numero di integrali primi e la natura periodica o quasi-periodica del moto. Cenni al problema degli n corpi.

Lezioni 41 e 42 [10/12/2013] Cambiamenti di sistemi di riferimento: leggi di trasformazione delle posizioni e delle velocità. Matrice di rotazione e vettore velocità angolare.

Lezioni 43 e 44 [12/12/2013] Corpo rigido: definizione. Sistema di riferimento solidale. Cinematica del corpo rigido: quantità di moto e momento angolare. La matrice d'inerzia: assi principali e momenti principali di inerzia.

Lezioni 45 e 46 [17/12/2013] Cinematica del corpo rigido: energia cinetica. Dinamica del corpo rigido: le equazioni cardinali della dinamica.

Lezioni 47 e 48 [19/12/2013] Angoli di Eulero. Integrazione delle equazioni per la dinamica del corpo rigido: il pendolo fisico; la trottola simmetrica in assenza di forze esterne; la trottola simmetrica pesante con punto fisso.

Esercitazioni e Tutorato

Esercitazioni 1 e 2 [1/10/2013] L'oscillatore armonico e l'oscillatore armonico smorzato: il caso subcritico e il caso supercritico.

Tutorati 1 e 2 [4/10/2013] Strategia generale di soluzione di sistemi lineari a coefficienti costanti sia omogenei che non omogenei: il caso non diagonalizzabile; riduzione alla forma canonica di Jordan. Sistemi lineari a coefficienti costanti e l'oscillatore armonico smorzato e forzato (esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 3 e 4 [8/10/2013] Un esempio di analisi qualitativa di un sistema meccanico conservativo unidimensionale: la doppia buca.

Tutorati 3 e 4 [11/10/2013] Sistemi meccanici conservativi unidimensionali: studio delle traiettorie nello spazio delle fasi, integrazione del moto per quadrature, periodo delle piccole oscillazioni (esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 5 e 6 [15/10/2013] Un esempio di sistema meccanico conservativo unidimensionale: il pendolo attaccato a una molla.

Tutorati 5 e 6 [18/10/2013] Sistemi meccanici conservativi unidimensionali, stabilità, effetto dell'attrito (esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 7 e 8 [22/10/2013] Il teorema di stabilità lineare. Sistema dinamico linearizzato e relazione tra lo spettro dei suoi autovalori e la stabilità del punto di equilibrio.

Tutorati 7 e 8 [25/10/2013] Prova pre-esonero (testo, soluzioni).

Esercitazioni 9 e 10 [5/11/2013] Dimostrazione dell'instabilità dei punti di massimo o flesso dell'energia potenziale, usando il teorema di stabilit&\grave; lineare. Il teorema di Dirichlet: stabilità dei punti di minimo dell'energia potenziale (discussione del fatto che, in presenza di attrito, la stabilità segue anche dal teorema di stabilità lineare, mentre in assenza di attrito no).

Tutorati 9 e 10 [8/11/2013] La brachistocrona e la catenaria (esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 11 e 12 [12/11/2013] Il pendolo doppio: derivazione delle equazioni del moto con il metodo di eliminazione delle reazioni vincolari. Discussione qualitativa (numerica) della soluzione. Stabilità delle posizioni di equilibrio.

Tutorati 11 e 12 [15/11/2013] Sistemi lagrangiani sottoposti a vincoli ideali (esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 13 e 14 [19/11/2013] Esempi su sistemi lagrangiani soggetti a vincoli ideali.

Tutorati 13 e 14 [22/11/2013] Ancora sui sistemi lagrangiani sottoposti a vincoli ideali (esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 15 e 16 [26/11/2013] L'oscillatore armonico tridimensionale: soluzione per quadrature in coordinate polari adattate al piano ortogonale al momento angolare. Dimostrazione che tutte le orbite del sistema sono periodiche.

Tutorati 15 e 16 [29/11/2013] Moti in campo centrale. L'integrale primo nascosto dell'oscillatore armonico bidimensionale (esercizi).

Esercitazioni 17 e 18 [3/12/2013] Moti in campo centrale. La prima legge di Keplero: l'equazione dell'ellisse in coordinate polari.

Tutorati 17 e 18 [6/12/2013] Moti in campo centrale: un modello classico di molecola diatomica. Il teorema di Newton. Il vettore di Runge-Lenz (esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 19 e 20 [10/12/2012] Cambiamenti di sistemi di riferimento e forze fittizie.

Tutorati 19 e 20 [13/12/2013] Cambiamenti di sistemi di riferimento e forze fittizie (esercizi, soluzioni).

Esercitazioni 21 e 22 [17/12/2012] Momenti e assi principali di inerzia di alcuni semplici corpi rigidi. Teorema: assi di simmetria discreti di ordine 2 o piú coincidono con gli assi principali di inerzia del corpo.

Tutorati 21 e 22 [20/12/2013] Momenti di inerzia. Il teorema di Huygens-Steiner. Problemi lagrangiani con corpi rigidi vincolati. (esercizi, soluzioni).

Tutorati 23 e 24 [10/1/2014] Prova pre-esonero (esercizi, soluzioni).

Orari

Martedì ore 9-11 [aula F].

Martedì ore 14-16 [aula F] (esercitazioni).

Giovedì ore 9-11 [aula F].

Venerdì ore 11-13 [aula F] (tutorato).

Esami ed Esoneri

Modalità: Esame scritto e orale. Il primi due appelli si terranno a Gennaio-Febbraio 2014. Durante il corso si terranno due esoneri, il primo nella settimana 28 - 31 Ottobre 2013, il secondo a Gennaio 2014. Chi supererà con successo le due prove di esonero potrà accedere all'esame orale senza dover svolgere l'esame scritto. Per superare con successo le due prove di esonero è necessario ottenere almeno 16/30 in entrambe le prove, e una media di almeno 18/30. Chi avrà superato con successo gli esoneri potrà sostenere l'orale entro la sessione di Settembre 2014. Potranno sostenere la prova scritta anche coloro avessero superato con successo gli esoneri e volessero migliorare il proprio voto; in questo caso gli esoneri perderanno valore al momento della consegna al docente dell'esame svolto. Chi avrà superato con successo l'esame scritto (i.e., con almeno 18/30) dovrà sostenere la prova orale nella stessa sessione dello scritto (ad esempio, chi supera uno scritto nella sessione di Gennaio/Febbraio 2014 -- al primo o al secondo appello -- deve sostenere la prova orale entro Febbraio 2014 stesso).

Primo esonero [31/10/2013] (testo, soluzioni, risultati).

Secondo esonero [13/01/2014] (testo, soluzioni, risultati).

Esame scritto [20/01/2014] (testo, soluzioni, risultati).

Esame scritto [07/02/2014] (testo, soluzioni, risultati).

Esame scritto [04/06/2014] (testo, soluzioni, risultati).

Esame scritto [10/9/2014] (testo, soluzioni, risultati).

Testi consigliati

[Ge] G. Gentile, Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1, disponibile online qui.

[Ga] G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986, p. 1-536, disponibile online in versione inglese qui (pdf, djvu).

[Ar] V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.

[LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.

Ultima modifica 11/9/2014