AL310 - Istituzioni di Algebra Superiore:
Teoria delle equazioni

Docenti	Laura Capuano	Filippo Tolli	Francesco Pappalardi
Ricevimento		TBA	Lunedì 13 - 14
Ufficio	302	101	209
Telefono		06 5733 8247	06 5733 8008
E-mail	laura dot capuano at uniroma3 dot it	filippo dot tolli at uniroma3.it	pappa at mat.uniroma3.it
Lezioni:		Lunedì 10 - 12 (Aula M4) Martedì 10 - 12 (Aula M4) Giovedì 14 - 16 (Aula M4) Venerdì 12 - 14 (Aula M4)
DESCRIZIONE DEL CORSO

1. [19/09/22] Presentazione del corso, formule di Cardano per la soluzione delle equazioni di terzo e quarto grado. Di cosa si occupa la Teoria di Galois
2. [20/09/22] Di cosa si occupa la Teoria di Galois (continua). Cenni sui gruppi risolubili. Richiama di Algebra dalle note di Milne (pag 7-10)
3. [27/09/22] (Tolli) polinomi e fattorizzazione dei polinomi (pag 10-14)
4. [27/09/22] Estensioni, Sottoanelli generato e sottocampi generati (pag 14-16)
5. [29/09/22] costruzione di campi con polinomi irriducibili, campi con il gambo (Stem Fields), Elementi algebrici e trascendenti (pag 16-18)
6. [30/09/22] Estensioni algebriche e trascendenti [finita sse algebrica e fin generata] Numeri trascendenti (pag 19-21)
7. [03/10/2022] (Capuano) Campi algebricamente chiusi, chiusura algebrica di un campo; costruzione della chiusura algebrica di un campo contenuto in un campo algebricamente chiuso; esempi.
8. [04/10/2022] (Capuano)Esempi di calcolo di gradi di estensioni: [Q(√2, √3):Q], [Q(2^1/3,i):Q], [Q(2^1/4,i):Q]. Definizione di F-omomorfismi di campi; esempi di F-omomorfismi di campi generati da un elemento algebrico.
9. [06/10/2022] (Capuano) F-omomorfismi di estensioni semplici di F (algebriche o trascendenti). Criterio della derivata per le radici multiple di un polinomio. Un polinomio irriducibile su un campo di caratteristica zero ha tutte le radici distinte. Esempio di un polinomio in F_p(t)[x] irriducibile con una sola radice.
10. [10/10/2022] (Capuano) Lemma di Gauss e Criterio di Eisenstein generalizzato; x^p-t è irriducibile su F_p(t)[x]; estensioni di omomorfismi di campi; esempi su Q(√2, √3)/Q. Campo di spezzamento di un polinomio: definizione ed esempio di polinomi di grado 2.
11. [11/10/2022] (Capuano) Campo di spezzamento di x³-2 su Q; campo di spezzamento di un polinomio di grado 3; campo di spezzamento di xⁿ-a; stima per il grado del campo di spezzamento di un polinomio; grado del campo di spezzamento di xⁿ-1 su Q.
12. [13/10/2022] (Capuano) F-omomorfismi di un campo generato dalle radici di un polinomio. Esempio del calcolo dei Q-omomorfismi del campo di spezzamento di x³-2 su Q nella chiusura algebrica di Q. Il campo di spezzamento di un polinomio è unico a meno di omomorfismo. Il numero di F-omomorfismi di un'estensione finita E/F è al più il grado [E:F].
13. [17/10/2022] (Capuano) Molteplicità delle radici, ancora sul criterio della derivata. Condizioni equivalenti su un polinomio irriducibile con radici multiple. Polinomi separabili, definizione di campi perfetti. Un campo è perfetto se e solo se tutti i polinomi irriducibili sono separabili.
14. [18/10/2022] (Capuano) Automorfismi di un campo; esempi del gruppo degli automorfismi in C e C(X); automorfismi del campo di spezzamento di un polinomio separabile. Campo fissato da un gruppo di automorfismi, esempio nel campo di spezzamento di x³-2 su Q. Teorema di Artin (enunciato), dato G gruppo di automorfismi di E finito, Aut(E/E^G)=G.
15. [20/10/2022] (Capuano) Esercitazione (foglio 1). Un sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
16. [24/10/2022] (Capuano) Campi finiti: definizione, costruzione come insieme delle soluzioni di x^pn-x. Due campi finiti con lo stesso numero di elementi sono sempre isomorfi. F_p^m è contenuto in F_pⁿ se e solo se m divide n. Campo di spezzamento del polinomio x^d-1 su F_q.
17. [25/10/2022] (Capuano) Polinomi ciclotomici: definizione e proprietà. I polinomi ciclotomici hanno coefficienti interi; un polinomio ciclotomico è irriducibile per ogni n. Campo di spezzamento di xⁿ-1 su Q. Automorfismi di Q(ζ) con ζ radice primitiva n-esima dell'unità. Esercizio: calcolare il polinomio minimo di cos(2π/7).
18. [27/10/2022] (Capuano) Teorema di Artin (dimostrazione). Estensioni separabili, estensioni normali, estensioni di Galois: definizioni ed esempi. Definizione di gruppo di Galois di un'estensione. Teorema sulla caratterizzazione equivalente delle estensioni di Galois.
19. [03/11/22] (Tolli) Svolgimento prima prova in itinere AA 20/21
20. [04/11/22] (Tolli) Svolgimento esercizi da testi di esame passati
21. [11/11/22] Prima Prova in Itinere 14:00-17:00 Aula M3
22. [14/11/22] Correzione della prima prova in itinere
23. [15/11/22] fine correzione. Estensioni di Galois, esempi, richiami e il Teoreme di Corrispondenza di Galois
24. [17/11/22] Dimostrazione Teorema di Corrispondenza di Galois e inizio esempi di gruppi di Galois.
25. [18/11/22] Esempi di applicazioni della corrispondenza di Galois. Gruppi di Galois di polinomi come permutazioni delle radici.
26. [24/11/22] Discriminanti, loro proprietà. Il campo generato dalla radice del discriminante. Quando il gruppo di Galois è contenuto nel gruppo alterno. Gruppi di Galois di polinomi di grado tre. Sottogruppi transitivi di S_n. Gruppi transitivi e polinomi irriducibili.
27. [25/11/22] Ancora sui discriminanti. Il discriminante del polinomio ciclotimico. Ancora sui gruppi transitivi. Gruppi di Galois di polimoni irriducibili di grado 4. La risolvente cubica.
28. [28/11/22] Ancora sulla risolvente cubica e sui polonomi di grado 4. Esempi e esercizi. Teoria inversa di Galois. Gruppi abeliani come gruppi di Galois
29. [29/11/22] Ancora sulla Teoria di Galois inversa per gruppi Abeliani. Esempi sulla corrispondenza di Galois per campi ciclotomici svolti dagli studenti. S_p come gruppo di Galois (inizio).
30. [01/12/22] S_p come gruppo di Galois (fine). Teorema dell'elemento primitivo. Esempi e complementi.
31. [02/12/22] Soluzione di Esercizi dagli anni passati.
32. [05/12/22] (Tolli) Punti del piano costruibili (a partire da due punti dati). Costruzione della retta perpendicolare (risp. parallela) ad un a retta data passante per un punto assegnato. Applicazione della lunghezza di un segmento ad una retta. Costruzione di un riferimento cartesiano. I numeri reali costruibili sono un sottocampo di R che contiene le radici quadrate di elementi positivi. Un numero reale α è costruibile sse esiste una catena di sottocampi reali Q = F₀ ⊂ F₁ ⊂ F₂⊂ ⋯ ⊂ F_n = K, con F_i+i = F_i(√c_i) /c_i >0 c_i∈ F_i ed α∈ K. Se α è costruibile allora α è algebrico e [Q(α):Q] è una potenza di 2. Impossibilità di trisecare l'angolo di 60 gradi. Impossibilità della quadratura del cerchio. Se p è un numero primo, un poligono regolare con p lati è costruibile solamente sse p è un primo di Fermat (la sufficienza è stata dimostrata il 6/12).
33. [06/12/22] (Tolli) Sia α ∈ R. Se [Q(α): Q] è una potenza di 2 e Q(α) è di Galois su Q allora α è costruibile Costruzione del pentagono e dell' eptadecagono regolare (preso da Knapp: Basic Algebra/oppure wikipedia)
34. [09/12/22] (Tolli) Numeri complessi costruibili e condizione necessaria/ sufficiente. Esistenza di un numero complesso α non costruibile con [Q(α):Q] uguale ad una potenza di 2. Esempio di un numero complesso α costruibile con Q(α) non normale su Q. Un poligono regolare con n lati è costruibile sse n = 2^kp₁p₂⋯ p_j con p₁,p₂,⋯, p_j primi di Fermat distinti. Espressione di cos(π/20) come radicali nidificati. Cos(n^o) è costruibile sse n è un multiplo di 3. Calcolo del gruppo di Galois di X⁵-2.
35. [12/12/22] Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere.
36. [16/12/22] Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere.
37. [20/12/22] Seconda Prova in Itinere

1. Appello B 16/02/2023, 11-13, Aula M2
   
2. Appello A 17/01/2023, 11-13, Aula M2
3. Esame di fine semestre 20/12/2022, 14-16
4. Esame di metà semestre 11/11/2022, ore 14-16