AVVISI
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Crediti: 7
Docente: Francesca Tartarone, Dipartimento di
Matematica, Stanza n. 309, tel. 06 5733 8228, e-mail: tfrance@mat.uniroma3.it
Lezioni: Lunedì 11-13 (Aula F), Mercoledì 11-13 (Aula B).
Orario di ricevimento nel primo
semestre: Mercoledì: ore 10-11,
Lunedì:
ore 14 - 15.
Esercitatore: Dott.ssa Alice Fabbri, Dipartimento di Matematica, Stanza n. 115, tel. 06 5733 8030, e-mail: afabbri@mat.uniroma3.it
Orario delle esercitazioni: Venerdì: ore 9.30-11 (Aula F) a settimane alterne a partire dal 3/10/2008.
Orario di ricevimento nel primo semestre:
Martedì:
ore 14.30-16.00.
Tutori: Elisa di Gloria (edigloria@gmail.com), Matteo Acclavio (macclavio@gmail.com)
Orario del tutorato: Martedì: ore 9-11 (Aula G).
Testi Consigliati
Testi avanzati:
17/12 Quozienti di anelli di polinomi a coefficienti in un campo: K[X]/I. Elementi invertibili in K[X]/I. Ampliamenti di campi. Descrizione di un campo come spazio vettoriale su un suo sottocampo. Campi finiti: caratteristica e numero di elementi. Costruzione di campi finiti come quozienti di Z_p[X]. Esempi ed esercizi. Divisione euclidea in Z[i]: esercizi.
15/12 Elementi invertibili in un ED. Esempi. Polinomi irriducibili. Teorema di Gauss. Anelli di polinomi a coefficienti in un UFD.
9/12 Caratterizzazione degli UFD attraverso la a.c.c. sugli ideali principali (II parte). Domini a Ideali Principali (PID). PID è UFD e Bezout. Esempi. Domini Euclidei: valutazione euclidea. Esempi: campi, Z, Z[i], K[X]. ED è PID.
3/12 Lemma di Euclide. Elementi irriducibili che sono anche primi. Domini a fattorizzazione unica (UFD). Esistenza del MCD in un UFD. Relazione fra UFD, domini di Bezout e MCD-domini. Caratterizzazione degli UFD attraverso la a.c.c. sugli ideali principali (I parte).
1/12 Relazione di divisibilità fra due elementi di un dominio A. Elementi associati, irriducibili e primi. Massimo Comun Divisore e Identità di Bezout: descrizione attraverso gli ideali. Relazione fra MCD-domini e domini di Bezout. Un elemento primo è sempre irriducibile.
26/11 Secondo teorema di isomorfismo fra anelli. Campo dei quozienti di un anello integro e commutativo.
24/11 Teorema di omomorfismo fra anelli. Corrispondenza di ideali e sottoanelli fra anelli omomorfi. Primo teorema di isomorfismo fra anelli.
19/11 Ideali primi e massimali e loro caratterizzazioni tramite il quoziente dell'anello R. Se R è unitario ogni ideale è contenuto in un ideale massimale. Esempi e controesempi. Omomorfismi di anelli: definizioni e prime proprietà.
17/11 Relazioni di equivalenza compatibili in un anello e ideali bilateri. Corrispondenza biunivoca fra questi due insiemi. Anello quoziente. Esempi.
5/11 Anelli: definizioni ed esempi. Principali tipi di anelli (unitari, commutativi, integri, corpi e campi). Sottoanelli. Ideali destri, sinistri e bilateri. Esempi. Un anello commutativo, integro e finito è un campo. Un campo non ha ideali propri. Sottoanelli e ideali generati da un insieme X. Ideali principali.
29/10 Esercitazione pre-esonero.
27/10 Prodotto diretto esterno ed interno di gruppi. Esercizi.
22/10 Classi coniugate in S_n. Numero di r-cicli distinti in S_n. Esempi ed esercizi.
20/10 Calcolo del numero di orbite in un G-insieme X. Il centro di un p-gruppo non è banale. Un gruppo di ordine p^2 è sempre abeliano. Il teorema di Cauchy (esistenza di un elemento di ordine p in un gruppo G tale che p | |G|).
13/10 Azione di un gruppo su un insieme. Orbita di un elemento. Esempi: S_n, coniugio, laterali di un sottogruppo. Stabilizzatore di un elemento. Centralizzante di un elemento. Equazione delle classi.
13/10 Primo e secondo teorema di isomorfismo per i gruppi: esempi. Teorema di corrispondenza dei sottogruppi (e dei sottogruppi normali) tramite un omomorfismo. Caso particolare del quoziente di un gruppo.
8/10 Primo teorema di omomorfismo per i gruppi: esempi. Automorfismi e automorfismi interni di gruppi. Gruppi ciclici infiniti e di ordine n: loro generatori.
6/10 Sottogruppi normali di un gruppo dato: intersezione, sottogruppi generati, struttura reticolare. Quoziente di un gruppo su un suo sottogruppo normale. Relazione di coniugio fra gli elementi di un gruppo. Sottogruppi coniugati e loro relazioni con i sottogruppi normali.
1/10 Isomorfismi di gruppi. Teorema di Cayley. Omomorfismi di gruppi: prime proprietà. Classi laterali rispetto a nucleo di un omomorfismo. Immagini omomorfe di gruppi ciclici. Relazioni di equivalenza compatibili con l'operazione di un gruppo.
29/09 Gruppi diedrali. Classi laterali destre e sinistre rispetto ad un sottogruppo H. Teorema di Lagrange. Esponente di un gruppo.
24/09 Gruppi ciclici. Ordine degli elementi di un gruppo ciclico. Sottogruppi di un gruppo ciclico. Sottogruppi di (Z,+). Gruppi di permutazioni.
22/09 Definizione di gruppo. Notazione additiva e moltiplicativa. Unicità dell'elemento neutro e dell'inverso. Gruppi numerici e di matrici. Ordine di un elemento. Sottogruppi. Sottogruppi generati da un insieme X.
Gruppi:
Gruppi di permutazioni, diedrali, ciclici. Sottogruppi. Classi laterali e
teorema di Lagrange. Omomorfismi. Sottogruppi normali e gruppi quoziente.
Teoremi di omomorfismo.
Anelli: Anelli, domini, corpi e campi. Sottoanelli, sottocampi e ideali.
Omomorfismi. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo. Ideali primi e massimali.
Campo dei quozienti di un dominio. Divisibilità in un dominio. Campi:
Estensioni di campi (semplici, algebriche e trascendenti). Campo di spezzamento
di un polinomio (cenni). Campi finiti.
Esercitazioni
Testi
Testi
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