AM110 - Analisi matematica 1

AA 2016-2017 - I Semestre

Prof. L. Chierchia

Esercitazioni: Prof. S. Mataloni

Tutorato a cura degli studenti magistrali: P. Caddeo, G. Falcone

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni I semestre
Programma di massima del corso
Programma dettagliato del corso
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Testi consigliati
Esoneri ed esami

AVVISI

• [22/9/17] Correzione orario e luogo per visione scritto/orale appello X: ore 16:00 del 22/9/17 studio 210, palazzina C (mi scuso per il disguido).

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• Gli scritti degli appelli saranno così articolati:
  [20 pt] definizioni, esempi, enunciati di teoremi/proposizioni;
  [60 pt] svolgimento di esercizi (o parte di essi) da [D], [GE] o esercizi assegnati;
  [20 pt] esercizi originali.

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Programma di massima del corso

Assiomatica di R (incluso definizione induttiva di N, proprietà archimedea, densità dei razionali in R).
Teoria dei limiti di funzioni di variabile reale a valori in R (incluso la teoria dei limiti per successioni e serie).
Topologia e successioni.
Funzioni continue e uniformemente continue: teoremi fondamentali; invarianti per trasformazione continue.
NB: parte del corso è dedicata alla definizione rigorosa ed alle proprietà fondamentali delle principali funzioni analitiche elementari (radici, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e iperboliche e loro inverse).

Diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [26/9/16] Prodotto cartesiano di due insiemi. Definizione di relazione, funzione, operazione binaria. Dominio e immagine (o "range"), funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
  Gli assiomi dei numeri reali: i primi quindici assiomi "algebrici" [ Assiomatica_di_R.pdf ].
  Esercizi assegnati: Svolgere gli esercizi dei par 1.1, 1.2 e 1.3 di [G3] (scaricare il file insiemi_G3.pdf )

• Lezioni 3 e 4 [28/9/16] Conseguenze elementari dei primi quindici assiomi di R [Sez 1 di Assiomatica_di_R.pdf fino al punto (ii) della Proposizione 5].
  Esercizi assegnati: [O] par 104: es 2, 4, 5, 13, 14, 15, 16. [O] par 204: es 5, 9, 10, 13, 14, 15.

• Lezioni 5 e 6 [3/10/16] I numeri naturali: definizioni e prime proprietà (fino alla Proposizione 11 inclusa di Assiomatica_di_R.pdf ).
  Esercizi assegnati: [GE] Capitolo 2 es 9, 10, 11, 12.

• Lezioni 7 e 8 [5/10/16] Propietà dei naturali (fine sez 2 di Assiomatica_di_R.pdf). Il 16mo assioma dei numeri reali: Assioma dell'estremo superiore.
  Esercizi assegnati: Esercizio a p. 4 di Assiomatica_di_R.pdf.

• Lezioni 9 e 10 [10/10/16] Caratterizzazione dell'estremo superiore. Proprietà archimedea. Gli interi e i razionali. Densità dei razionali in R. [par 4, 5 e 6 (fino a Proposizione 27 inclusa) di Assiomatica_di_R.pdf].
  Esercizi assegnati: Es 1 Dimostrare le affermazioni (i), (ii), (iii) e (iv) dell'Osservazione 21 di Assiomatica_di_R.pdf.
  Es 2 Dimostrare dettagliatamente le Proposizioni 22 e 26 di Assiomatica_di_R.pdf.
  Es 3 Dimostrare che dato x numero reale, per ogni n numero naturale esiste r_n numero razionale tale che: r_n < x; r_n < r_n+1; 0 < x - r_n < 1/n.

• Lezioni 11 e 12 [12/10/16] Fine par 6 di Assiomatica_di_R.pdf. La funzione valore assoluto [par. 1.3.1 di [B]].
  Esercizi assegnati: [GE]: cap 2, es 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32.
  [GE], cap 2: esercizi della sez 3.

• Lezioni 13 e 14 [17/10/16] Definizione ricorsiva di xⁿ (n naturale) e di sommatoria. Enunciato del teorema di ricorrenza. Formula per la somma geometrica e per la differenza di due potenze ennesime (equivalenza delle due formule). Definizione di xⁿ con n intero [x⁰ := 1, xⁿ := 1/x^-n per n < 0]. Teorema sulla esistenza ed unicità della radice ennesima di un numero positivo.
  Esercizi assegnati Es 1 Dimostrare per induzione su m che, per ogni numero x e per ogni n ed m naturali si ha che:
  (i): xⁿ x^m =x^n+m
  (ii): (xⁿ)^m= x ^nm
  Es 2 Dimostrare le (i) e (ii) dell'Es precedente per n e m interi.
  [GE]: completare esercizi del cap 2, par 1 e par 3.

• Lezione 15 [18/10/16] Fine della dimostrazione del teorema sulla esistenza ed unicità delle radici ennesime.
  Esercizio assegnato: Dimostrare che se a e b sono numeri strettamente positivi allora (ab)^1/n = a^1/n b^1/n.

• Lezioni 16 e 17 [20/10/16] Definizione di intervallo: I ⊆ R è un intervallo se per ogni x < y con x,y ∈ I, si ha che {t| x< t < y} ⊆ I. (l'insieme vuoto è un intervallo).
  Lista e notazione dei vari tipi di intervalli. Definizione di retta estesa R^*. Definizione di intorni; punti di accumulazione, punti isolati. Definizione di limiti (con punto di accumulzione e valore del limite in R^*).
  [B]: par 3.1 escluso teorema 3.7. par 3.2 fino a Teorema 3.13 escluso.
  Esercizi assegnati [B] es 3.8 a, b, e; es 3.9 a, c.

• Lezioni 18 e 19 [24/10/16] Riepilogo sulla definizione di limite. Illustrazione del concetto di limite su esempi: svolgimento dell'esercizio 1, cap 3 [GE] (due modi: "risolvendo esattamente le disuguaglianze", "semplificando le disuguaglianze con stime semplici"). Funzioni quadratiche (Appendice 2.A [B]).
  Esercizi assegnati [GE] cap 3: es 1, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16
  [GE] cap 5: es 87, 88, 89, 90, 128, 130, 142

• Lezioni 20 e 21 [26/10/16] Unicità del limite. Teoremi di definita limitatezza e permanenza del segno. Limiti desti e sinistri. ([B] finire par 3.2).
  La funzione segno di x ([B] Esempio 2.9, p. 40).
  Restrizioni ed estensioni di funzioni ([B] par 2.1) [F è una estensione di una funzione f con dominio A se il dominio B di F contiene A e se F(x)=f(x) per ogni x in A].
  Esercizi assegnati [B]: Es 3.8, 3.9 (a,c).

• Lezioni 22 e 23 [31/10/16] Algebra dei limiti ([B], Teorema 3.18). Teorema del confronto ([B], Teorema 3.19). Limiti notevoli: aⁿ/n^p, con a>0 e p in N₀; a^1/n; n^1/n (scaricare il file limiti-notevoli_1.pdf).
  Esercizi assegnati [GE]: cap 3: dal 21 al 32 (inclusi); cap 5: 87, 88, 89, 90, 99, 100, 119, 128, 130, 142.

• Lezioni 24 e 25 [2/11/16] Limiti laterali di funzioni monotone ([B], Teorema 3.21). Potenze ed esponenziali con base a>0 ed esponente x reale: definizioni e proprietà (scaricare il file esponenziali_potenze.pdf).
  Esercizi assegnati Svolgere gli esercizi nel file esponenziali_potenze.pdf.

• Lezioni 26 e 27 [14/11/16] Definizione dei logaritmi e loro proprietà principali (scaricare il file logaritmi.pdf).
  Definizione del numero e di Nepero (o di Eulero) [B, par. 4.2: Dimostrazione_Teorema_4.3].
  Esercizi assegnati Svolgere l'esercizio nel file logaritmi.pdf (nota 3 , a pag. 2).
  Esercizio 1: Dimostrare che se f:A → R è strettamente crescente [rispettivamente, decrescente] allora la funzione inversa f^-1 è anch'essa strettamente crescente [rispettivamente, decrescente].
  Esercizio 2: Dimostrare che per ogni a,b>0 e ogni x reale, (ab)^x=a^x b^x. [Suggerimenti: il caso a,b>1, x reale è il punto (13) nel file esponenziali_potenze.pdf. Poi, si consideri dapprima il caso a,b < 1; si consideri poi il caso a,b < 1 con ab > 1 e si noti che b^x=(a^-1 (ab))^x=...; infine si consideri il caso a < 1< b e ab < 1.]

• Lezioni 28 e 29 [16/11/16] Definizione di continuità e proprietà elementari (somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; teorema di permanenza del segno; continuità sinistra e destra; esempi: identità, modulo, funzioni razionali); discontinuità (classificazione) [B, par 6.1 e 6.2]
  Composizione di funzioni e teorema sui limiti di funzoni composte [B, Teorema 3.22]. Composizione di funzioni continue.
  Continuità degli esponenziali e dei logaritmi. (scaricare il file continuita-exp-log.pdf).
  Esercizi assegnati [GE] cap 3: da 33 al 44 (esclusi 36, 39). [GE], cap 5: 116. [GE], cap 5: da 1 a 22 (esclusi 6, 11, 18, 20). [GE], cap 5: 23, 29, 38, 40, 60, 61, 64, 173, 174, 175.

• Lezioni 30 e 31 [23/11/16] Limiti notevoli: [B, (5.1), (5.2), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6), (5.11), (5.13), Lemma 3.26, (3.43), (3.44), (3.45), (3.46)]; limiti notevi delle funzioni iperboliche (sh x/x, (ch x -1)/x², sh^-1 x / x per x -> 0 ).
  Esercizi assegnati : [B] Es da 3.14 a 3.18, es 5.1 (esclusi gli esercizi con le funzioni trigonometriche).

• Lezioni 32 e 33 [24/11/16] Serie numeriche: definizioni e proprietà elementari [B, par 4.6 e 4.7]. Criteri di convergenza per serie a termini positivi (confronto, confronto asintotico, rapporto, radice) [B, par 4.8, 4.8.1, 4.8.3].
  Esercizi assegnati : [B, es 4.9 sostituendo tg con tanh in d), 4.10, 4.11, 4.12], [GE, cap 4: 4, 8, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36].

• Lezioni 34 e 35 [28/11/16] Criterio di condensazione di Cauchy [B, par 4.8.2]. Serie a termini in R: criterio di convergenza assoluta; somme per parti e criterio di Dirichlet; criterio di Leibnitz (scaricare il file serie-CriterioDirichlet.pdf).
  Esercizi assegnati : [D] da 2401 a 2482 e da 2510 a 2559 (esclusi gli esercizi dove compaiono le funzioni trigonometriche); [GE]: cap 4 da 1 a 63 (esclusi gli esercizi dove compaiono le funzioni trigonometriche).

• Lezioni 36 e 37 [30/11/16] Serie esponenziale; identità exp(x)=e^x; serie iperboliche; stime sulle code esponenziali; irrazionalità di e (scaricare il file serie-esponenziale.pdf).
  Definizione per serie di seno e coseno: scaricare il file def-sen-cos.pdf e svolgere l'esercizio in nota 3.

• Lezioni 38 e 39 [5/12/16] Proprietà locali (vicino a 0) di coseno e seno (incluso continuità e limiti notevoli). Formula di addizione per il coseno (enunciato) e prime conseguenze: limitatezza, cos² x + sen ² x =1; formula di duplicazione per il coseno; continuità del coseno su R; teorema di permanenza del segno per il coseno. Teorema: esiste un unico 0<β<2 tale che cos β =0 e cos x > 0 per ogni 0≤ x < β. Definizione π := 2 β. Valori del seno e coseno in k π/2 (k intero); periodicità.
  Esercizi assegnati : [D] da 2401 a 2482 e da 2510 a 2559 (inclusi gli esercizi dove compaiono le funzioni trigonometriche); [GE]: cap 4 da 1 a 63 (inclusi gli esercizi dove compaiono le funzioni trigonometriche).
  Esercizio: Dimostare che 2π è il periodo minimo del coseno.

• Lezioni 40 e 41 [7/12/16] Teorema sull'esistenza di zeri per funzioni continue. Formula di addizione del seno. Dimostrazione della formula di addizione per il coseno^* (facoltativa); [scaricare il file cos-sen-pi.pdf ].
  Esercizi assegnati : svolgere i 6 esercizi del file cos-sen-pi.pdf (l'esercizio 3 è facoltativo).

• Lezioni 42 e 43 [12/12/16] Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy. [scaricare il file topologia-successioni.1.pdf ]
  Esercizi assegnati : svolgere gli esercizi 1 e 3 del file topologia-successioni.1.pdf .

• Lezioni 44 e 45 [14/12/16] Massimo e minimo limite. Definizione di topologia e topologia standard di R. [Scaricare il file topologia-successioni.2.pdf ]
  Esercizi assegnati : svolgere gli esercizi 4, 5 e 6 del file topologia-successioni.2.pdf .
  [GE] esercizi di p. 72 (da 96 a 109).

• Lezioni 46, 47, 48 e 49 [19/12/16] Insiemi chiusi; caratterizzazione per successioni di insiemi non chiusi, non aperti e chiusi. Insiemi compatti per successioni. In R i compatti coincidono con i chiusi e limitati. Un insieme compatto ha massimo e minimo. Chiusura e interno di un insieme. La chiusura di E coincide con E unione i suoi punti reali di accumulazione. Frontiera insiemistica; la frontiera coincide con l'intersezione della chiusura di E e con la chiusura del complementare di E. Funzioni continue e topologia: teorema ponte; continuità topologica (caratterizzazione in termini di aperti). Funzioni continue su compatti: una funzione continua manda compatti in compatti; teorema di Weierstrass; f continua e iniettiva su un compatto ha inversa continua.
  [Scaricare il file topologia-successioni.3.pdf ]
  Esercizi assegnati : svolgere l'esercizio 7 del file topologia-successioni.3.pdf .
  [GE]: esercizi di p. 58 (cap 2) da 94 a 103 e es 105.
  Esercizio 1: Sia y un punto isolato di un insieme di numeri reali E. Dimostrare che se {x_n} è una successione in E tale che lim x_n = y, allora x_n è definitivamente uguale a y.
  Esercizio 2: Sia E un insieme non vuoto di R e sia m = inf E e M = sup E (m,M in R^*). Dimostrare che esiste una successione non decrescente in E, {x_n}, e una successione non crescente in E, {y_n}, tali che lim x_n = M e lim y_n = m; dimostare che se M [rispettivamente, m] è d'accumulazione per E allora la successione {x_n} [rispettivamente, {y_n}] può essere presa strettamente crescente [rispettivamente, decrescente].
  Esercizio 3: Dimostrare che gli irrazionali sono densi in R [suggerimento: per ogni a > 0 esiste x irrazionale tale che 0 < x < a: trovare tale x della forma 1/(n √ 2) con n naturale].

• Lezioni 50 e 51 [21/12/16] Funzioni continue su intervalli: l'immagine di un intervallo è un intervallo e teorema dei valori intermedi; iniettività equivale a stretta monotonia; continuità dell'inversa. Uniforme continuità; Teorema di Heine-Cantor (una funzione continua su un compatto à ivi uniformemente continua).
  [Scaricare il file topologia-successioni.4.pdf ]
  Esercizi assegnati: svolgere gli esercizi del file topologia-successioni.4.pdf .
  [GE]: cap 5, es 184, 185, 188, 189, 190, 191, 197, 202, 203.

Diario delle esercitazioni ( le parti in corsivo sono di teoria )
• Esercitazioni 1 e 2 [27/9/16] Insiemistica: Par. 1.1, 1.2 e 1.3 di [G3].
  Esercizi svolti: 1.3, 1.4 di [G3].

• Esercitazione 3 [30/9/16] Fine della dimostrazione della Proposizione 5 di Assiomatica_di_R.pdf.
  Esercizi svolti: [O] par 104: es 2, 5, 13, 14, 15, 16.

• Esercitazioni 4 e 5 [4/10/16] Disuguaglianza di Bernoulli ([G3, esempio 1.4).
  Esercizi svolti: 1.17 (da 1 a 5) di [G3].

• Esercitazione 6 [6/10/16] Esercizi svolti: [O], par 204: es 5, 9, 10, 13, 14, 15.
  [G3]: es 1.17, 7; 1.26, 3.

• Esercitazioni 7 e 8 [11/10/16] Esercizi svolti: dimostrazione di: (i) e (iii) dell'Osservazione 21; (a) e (b) di Proposizione 26 di Assiomatica_di_R.pdf; Es 3 assegnato il 10/10/16.

• Esercitazione 9 [13/10/16] Svolgimento di esercizi su disuguaglianze con modulo e su estremo superiore ed inferiore.

• Esercitazioni 10 e 11 [18/10/16] Dimostrazione delle identità: a ^{n m} = aⁿ a^m; (aⁿ)^m = a^nm; aⁿ bⁿ = (ab)ⁿ. Esercizi su sup e inf.

• Esercitazione 12 [20/10/16] Esercizi su sup e inf.

• Esercitazioni 13 e 14 [25/10/16]
  Esercizi sui limiti con calcolo degli intorni: svolgimento di esercizi assegnati su [GE].

• Esercitazione 15 [27/10/16] Proprietà delle potenze con esponente razionale (Sez 6.4 del file Assiomatica_di_R.nv.pdf , ed, in particolare, svolgimento degli Esercizi 14 e 15).
  Esericizi sui limiti da [GE].

• Esercitazioni 16 e 17 [31/10/16] Discussione e svolgimento di esercizi assegnati.

• Esercitazioni 18 e 19 [15/11/16] Svolgimento del primo esonero.
  Formula del binomio di Newton (scaricare il file [G3]_BinomioNewton.pdf )

• Esercitazioni 20 [17/11/16] Algebra dei limiti parziale in R^* [B, Teorema 3.20] (scaricare il file [B]_Dimostrazione_Teorema_3.20.pdf ); esercizi sui limiti.

• Esercitazioni 21 e 22 [22/11/16] Esercizi su funzioni continue e su limiti.
  Definizioni e proprietà elementari delle funzioni iperboliche e loro inverse. [B, par 5.1.1]

• Esercitazioni 23 [24/11/16] Esercizi su limiti da [B] e serie da [GE].

• Esercitazione 24 [29/11/16] Esercizi su serie numeriche e di funzioni dal Demidovich.

• Esercitazioni 25 e 26 [1/12/16] Esercizi su limiti e serie.

• Esercitazioni 27 e 28 [6/12/16] Esercizi su limiti e serie.
  Esercizi svolti su serie numeriche e serie di funzioni (Università di Pisa)
  Esercizi su serie numeriche (A. Sorrentino - AM110 13/14)
  Esercizi su limiti di succesioni(A. Sorrentino - AM110 13/14)

• Esercitazioni 29 e 30 [13/12/16] Esercizi su limiti e serie da [GE].

• Esercitazioni 31 e 32 [15/12/16] Esercizi su massimo e minimo limite da [GE].

• Esercitazioni 33 e 34 [20/12/16] Esercizi da [GE] di topologia. Esercizi su limiti e serie.

• Esercitazioni 35 e 36 [22/12/16] Esercizi da [GE] su limiti, serie, funzioni uniformemente continue.

Esoneri ed esami

Esonero 1 : 9/11/16; 9:00-11:00, aula G.
Testo

Esonero 2 : 9/1/17; 9:00-11:00, aula G.
Testo e soluzioni

Appello A : 24/1/17; 9:00-11:00, aula G.
Testo

Appello B : 22/2/17; 9:00-11:00, aula G.
Testo

Appello C : 13/6/17; 9:00-11:00, aula G.
Testo

Appello X : 19/9/17; 10:00-12:00, aula G (attenzione al cambio di orario).

Testi consigliati
[B] Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica - McGraw-Hill (2011) - piattaforma Connect (esercizi a scelta multipla)
[G2] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991 (edizione fuori commercio)
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010

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Altri testi
[O] John M.H. Olmsted The Real Number System , 1962, 216 pages
[G3] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002
[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991 (edizione fuori commercio)

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it