FM310 - Istituzioni di Fisica Matematica matematica

FM310 - Istituzioni di Fisica Matematica

AA 2025-2026 - II Semestre (Docenti: Alessandro Giuliani e Giovanna Marcelli)

Diario delle lezioni
Orari
Bibliografia

Diario delle lezioni

Lezioni 1 e 2 (AG) [23/2/2026]
Introduzione all'uso delle Equazioni alle Derivate Parziali (EDP) in Fisica Matematica: definizioni ed esempi. EDP lineari e non-lineari di ordine k. EDP lineari di second'ordine di tipo ellittico, parabolico e iperbolico. L'equazione di continuità, o del trasporto lineare: soluzione nel caso di velocità costante.

Lezioni 3 e 4 (AG) [24/2/2026]
L'equazione di continuità, o del trasporto lineare: soluzione nel caso di campo di velocità arbitrario. Metodo delle curve caratteristiche. Esempi. Introduzione all'equazione delle onde. Derivazione microscopica dell'equazione delle onde da un sistema di oscillatori armonici accoppiati (parte 1): definizione del modello; conservazione dell'energia.

Lezioni 5 e 6 (AG) [27/2/2026]
Derivazione microscopica dell'equazione delle onde da un sistema di oscillatori armonici accoppiati (parte 2): diagonalizzazione e soluzione delle equazioni del moto; riscalamento di massa e costanti elastiche e limite formale continuo delle equazioni del moto; enunciato del teorema di Lagrange: per dati iniziali sufficientemente regolari la soluzione delle equazioni del moto per gli oscillatori accoppiati tende alla soluzione unica dell'equazione delle onde con condizioni di Dirichlet.

Lezioni 7 e 8 (AG) [2/3/2026]
Derivazione microscopica dell'equazione delle onde da un sistema di oscillatori armonici accoppiati (parte 3): sommabilità e derivabilità della funzione limite, dimostrazione che tale funzione limite è soluzione dell'equazione delle onde; convergenza uniforme della soluzione discreta al suo limite continuo. Richiami al teorema sulla serie di Fourier.

Lezioni 9 e 10 (AG) [3/3/2026]
Unicità della soluzione al problema di Cauchy associato all'equazione delle onde. Onde viaggianti. Soluzione di D'Alembert.

Lezioni 11 e 12 (GM) [6/3/2026]
Esercizi ed esempi su equazione delle onde su un segmento con condizioni al bordo di Dirichlet o di Neumann.

Lezioni 13 e 14 (AG) [9/3/2026]
Regioni dello spazio-tempo causalmente connesse. Cono di luce futuro e passato. Conservazione dell'energia e unicità della soluzione dell'equazione delle onde.

Lezioni 15 e 16 (AG) [10/3/2026]
Equipartizione dell'energia. Principio di Duhamel e soluzione fondamentale. Operatori lineari di convoluzione e delta di Dirac.

Lezioni 17 e 18 (GM) [13/3/2026]
Esercizi, esempi e complementi: l'equazione delle onde non omogenea sul segmento con condizioni periodiche al bordo. Rappresentazione della serie di Fourier per funzioni periodiche in termini di esponenziali complessi. Esercizio sull'equazione del trasporto lineare.

Lezioni 19 e 20 (AG) [16/3/2026]
Esercizio sull'equazione delle onde non omogenea su R. Esercizio sull'equazione delle onde omogenea su R con dati iniziali discontinui. Luogo dei punti di discontinuità nello spazio-tempo: le discontinuità si propagano lungo le curve caratteristiche. La nozione di soluzione debole per il problema di Cauchy per l'equazione delle onde. Dimostrazione che la soluzione di D'Alembert è soluzione debole per dati iniziali continui a tratti, con al più un numero finito di discontinuità di salto su ogni compatto di R. Simmetrie e metodo delle immagini: soluzione dell'equazione delle onde sulla semiretta con condizioni al bordo di Dirichlet.

Lezioni 21 e 22 (AG) [20/3/2026]
Introduzione alla trasformata di Fourier: definizione e motivazione come limite della serie di Fourier. Il problema di Cauchy per l'equazione delle onde in trasformata di Fourier: soluzione del problema duale; antitrasformata; soluzione dell'equazione delle onde in dimensione n qualsiasi in termini della soluzione fondamentale (calcolata come trasformata di Fourier di un problema di Cauchy con dato iniziale a delta di Dirac)

Lezioni 23 e 24 (AG) [24/3/2026]
Calcolo della soluzione fondamentale dell'equazione delle onde in dimensione 1 usando la trasformata di Fourier. Excursus di analisi funzionale, I: la misura di Lesbegue su Rⁿ

Lezioni 25 e 26 (AG) [27/3/2026]
Excursus di analisi funzionale, II: funzioni misurabili e integrabili secondo Lesbegue. Definizione degli spazi L^p e L^∞

Lezioni 27 e 28 (AG) [30/3/2026]
Excursus di analisi funzionale, III: le funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto sono dense in L^p; completezza degli spazi L^p; convergenza debole in L^p. Spazi di Hilbert. L² è uno spazio di Hilbert separabile. Basi ortonormali numerabili. La base dei polinomi di Hermite per L² su R; la base di Fourier per L² sul toro. Soluzione debole dell'equazione delle onde in serie di Fourier per dati iniziali L².

Lezioni 29 e 30 (AG) [31/3/2026]
Excursus di analisi funzionale, IV: trasformata di Fourier in L¹. Lemma di Riemann-Lesbague. Trasformata di Fourier (TdF) di una convoluzione. TdF della Gaussiana. TdF in L². Identità di Plancherel e di Parseval. Teorema di inversione. Introduzione alle distribuzioni: lo spazio delle funzioni test e il suo duale. Un criterio per stabilire la continuità di un'applicazione lineare sullo spazio delle funzioni test. Distribuzioni di ordine finito. Distribuzioni associate a funzioni in L¹_loc e in L². L¹_loc e L² come sottospazi dello spazio delle distribuzioni.

Lezioni 31 e 32 (AG) [10/4/2026]
Excursus di analisi funzionale, V: derivate delle distribuzioni, derivate distribuzionali delle funzioni in L¹_loc; cambi di variabile lineari nelle distribuzioni; moltiplicazione di una distribuzione per una funzione liscia. Fallimento del tentativo di definire la trasformata di Fourier di una distribuzione. Spazio di Schwarz e distribuzioni temperate. Distribuzioni temperate regolari.

Lezioni 33 e 34 (GM) [13/4/2026]
Excursus di analisi funzionale, VI: trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate. Operazioni sulla trasformata di Fourier e sue proprietà (trasformata di Fourier delle derivate, dell'operatore di traslazione, dei polinomi).

Lezioni 35 e 36 (GM) [14/4/2026]
Calcolo della soluzione fondamentale dell'equazione delle onde in R³

Lezioni 37 e 38 (GM) [17/4/2026]
Esercizi di riepilogo sull'equazione delle onde. Soluzione di Kirchoff per l'equazione delle onde in R³.

Lezioni 39 e 40 (GM) [20/4/2026]
Prova pre-esonero

Lezioni 41 e 42 (AG) [27/4/2026]
Proprietà della soluzione di Kirchoff per l'equazione delle onde in R³: potenziali ritardati; principio di Huygens (forte e debole); fronte d'onda anteriore e posteriore. Unicità della soluzione all'equazione delle onde in Rⁿ. Soluzione di Poisson per l'equazione delle onde in R²: violazione del principio di Huygens forte.

Orario lezioni

- lunedì 14:00-16:00 (Aula M6); martedì 9:00-11:00 (Aula M6); venerdì 11:00-13:00 (Aula M6)

Fogli di esercizi, esoneri ed esami scritti

Primo foglio di esercizi (6/4/2026).
Pre-esonero (20/4/2026).
Primo esonero (24/4/2026).

Testi di riferimento:

[C18] W. Craig: A Course on Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS 2018

[B21] P. Buttà: Note del Corso di Fisica Matematica.
Scaricabili per uso personale qui.

[G07] G. Gallavotti: The elements of mechanics, Ipparco Editore 2007.
Scaricabile per uso personale qui.

[LL01] E. H. Lieb, M. Loss: Analysis, 2nd edition, AMS Graduate Studies in Mathematics, 2001.

[S16] S. Salsa: Equazioni a derivate parziali, 3a edizione, Springer Unitext 2016.

Ultima modifica 27/4/2026