TE1 - Teoria delle equazioni

A.A. 2009/2010 - II Semestre - Crediti 7,5.



Informazioni Generali

Docenti Alfonso Pesiri Francesco Pappalardi
Ricevimento TBA Lunedý 11 - 12
UfficioTBA209
Telefono TBA 06 54888243
E-mail pesiri at mat.uniroma3.it pappa at mat.uniroma3.it
TUTORE Annamaria Iezzi e Dario Spirito
Lezioni:
Martedý11 - 13(Aula G)
Mercoledý11 - 12(Aula F)
Venerdý11 - 13(Aula G)
Giovedý16 - 18(Aula G - TUTORATO)
DESCRIZIONE DEL CORSO



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Avvisi:

  • I compiti della seconda prova in itinere saranno visionabili lunedý 7 Giugno alle ore 11 (circa) durante lo scritto di AL2. Nella stessa occasione verrÓá redatto il calendario degli orali. Sono ammessi a sostenere la prova orale tutti gli studenti che hanno superato le prove in itinere con media maggiore o uguale a 18 oppure con almeno un voto (tra le due prove) maggiore o uguale a 23.

  • La seconda prova in itinere si svolgerÓ il 4 Giugno alle ore 9:00.
  • La prima prova in itinere si svolgerÓ il 16 Aprile alle ore 9:00 nelle aule F e G.
  • Il giorno martedý 9 Marzo di terranno due Esercitazioni (11-13) e la lezione di mercoledý 10 marzo Ŕ annullata
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    Diario delle Lezioni:

    1. Lezioni 1 e 2 [23/02/10] Presentazione del corso, informazioni, equazioni di secondo grado, equazioni di terzo grado e formula di risoluzione di Cardano, Esempi informali di gruppi di Galois, Sottogruppi di Sn. GeneralitÓ e Richiami su Anelli, sottoanelli, campi, omomorfismi,
    2. Lezione 3 [24/02/10] Ancora generalitÓ sui campi, sottocampi, Anelli di polinomi, Fattorizzazione dei polinomi, radici razionali dei polinomi, criterio di Eisenstein,
    3. Lezione 4 [26/02/10] Algoritmo per la fattorizzazione dei polinomi. I coefficienti di un polinomio sono le funzioni simmetriche elementari nelle radici. Riduzione modulo un primo e fattorizzazione di un polinomio. Teorema della dimensione. Esempi.
    4. Esercitazione 1 [26/02/10]
    5. Lezione 5 [02/03/10] Estensioni di campi, grado di un estensione, estensioni finite, moltiplicativitÓ del grado, estensioni semplici, estensioni generate da una radice di un polinomio irriducibile (campi con il gambo), esempi.
    6. Esercitazione 2 [02/03/10] Sottoanelli (sottocampi) generati da sottoinsiemi su sottocampi, Un sottoanello con dimensione finita su un campo (contenuto) Ŕ un campo. Composto di campi, Elementi algebrici e trascendenti (esempi). Polinomio minimo e sue caratterizzazioni, Se &alpha Ŕ algebrico su F allora F(&alpha)=F[&alpha] e [F[&alpha]:F]=deg f&alpha. Campi ciclotimici e polinomi ciclotomici.
    7. Lezione 6 [03/03/10] Ancora sui campi ciclotomici, esempi: Q(&zetam), m=1,2,3,4,5. Q[cos 2π/5]. Un estensione Ŕ finita se e solo se Ŕ algebrica e finitamente generata. Un anello R tale che FRE dove E/F Ŕ algebrica, Ŕ un campo. Se E/F Ŕ algebrica e L/E Ŕ algebrica, allora L/F Ŕ algebrica e viceversa.
    8. Lezioni 7 e 8 [05/03/10] Ancora sulle estensione algebriche e trascendenti. Un estensione Ŕ finita se e solo se Ŕ algebrica e finitamente generata. Conseguenze e esempi.
    9. Esercitazioni 3 e 4 [09/03/10]
    10. Lezioni 9 e 10 [12/03/10] Numeri trascendenti. Alcune date fondamentali. La numerabilitÓ dei numeri algebrici. La trascendenza di ∑n=11/2n!. Campi algebricamente chiusi e caratterizzazioni varie. Alcune proprietÓ. Chiusura algebrica.
    11. Lezioni 11 e 12 [16/03/10] ancora proprietÓ dei Campi algebricamente chiusi. La nozione di F-omomorfismo. F-omomorfismi tra estensioni semplici e radici del polinomio caratteristico. F-isomorfismi e F-endomorfismi. La nozione di campo di spezzamento. Esempi.
    12. Lezione 13 [17/03/10] Ancora sui campi di spezzamento. Campi di spezzamento di estensioni di grado 3. Campi ciclotomici. Esistenza del campo di spezzamento Ef di un polinomio a coefficienti in un campo F. Il grado [Ef:F]≤ (degf)!. Ancora esempi di campi di spezzamento.
    13. Lezioni 14 e 15 [19/03/10] Esistenza di F-omomorfismi tra estensioni di F e radici di polinomi minimi. Esempi. Relazione tra il numero degli F-omomorfismi e il grado di un estensione.
    14. Lezioni 16 e 17 [23/03/10] il massimo comun divisore di polinomi non dipende da estensioni dei campi dei coefficienti. MolteplicitÓ delle radici, radici semplici, polinomi irriducibili con radici multiple. Varie caratterizzazioni dei polinomi irriducibili con radici multiple. La nozione di separabilitÓ. Campi perfetti. Un campo Ŕ perfetto se e solo se ha caratteristica zero oppure ha caratteristica p e ogni suo elemento Ŕ un p-potenza. Conseguenze: i campi finiti sono perfetti, i campi algebricamente chiusi sono perfetti, Fp(T) non Ŕ perfetto. Il gruppo degli automorfismi di un estensione.
    15. Lezioni 18 e 19 [24/03/10] Fine dimostrazione delle proprietÓ dei campi perfetti. Se F ha caratteristica p e a Ŕ un suo elemento che non Ŕ una p-potenza, allora Xp-a Ŕ irriducibile e non separabile. Esempi del calcolo del gruppo degli automorfismi: Il gruppo degli automorfismi di Q[21/3] Ŕ banale, quello di Q[21/3,ω] Ŕ isomorfo a S3 e il gruppo degli automorfismi di Q[21/2,31/2] Ŕ isomorfo a C2xC2. Altri esempi
    16. Lezione 20 [26/03/10] Ancora sul gruppo degli automorfismi. Il gruppo degli automorfismi di un estensione ottenuta come campo di spezzamento di un polinomio separabile a ordine pari al grado. Esempi. Il sottocampo degli invarianti di un sottogruppo di automorfismi. Prima forma della corrispondenza di Galois. Il Teorema di Artin e prime conseguenze.
    17. Esercitazione 5 [26/03/10]
    18. Lezioni 21 e 22 [30/03/10] Estensioni di Galois, Caratterizzazioni. Esempi: Campi ciclotomici, coniugati.
    19. Lezione 23 [31/03/10] Il Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois. Inizio dimostrazione, esempi: Il polinomio X3-2.
    20. VACANZE DI PASQUA
    21. Lezione 24 [07/04/10] Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois. Continua la dimostrazione. Esempi: il reticolo dei sottocampi di Q7). Il polinomio X4-2 (inizio): Il suo gruppo di Galois Ŕ diedrale, il reticolo dei sottogruppi di D4.
    22. Lezione 25 [09/04/10] Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois. Fine della dimostrazione. Esempi e Esercizi
    23. Esercitazione 6 [09/04/10]
    24. ESAME DI META` SEMESTRE [16/04/10]
    25. Lezioni 26 e 27 [20/04/10] La definizione di discriminante.
    26. Lezione 28 [21/04/10]
    27. Lezione 29 [23/04/10] Calcolo dei gruppi di Galois dei polinomi di grado 4 (inizio). Classificazione dei sottogruppi transitivi di S4. Risolventi cubiche.
    28. Esercitazione 6 [23/04/10]
    29. Lezione 30 [27/04/10] gruppi di Galois dei polinomi di grado 4 (fine). proprietÓ delle risolventi cubiche. Esempi vari.
    30. Esercitazione 7 [27/04/10]
    31. Lezione 31 [28/04/10] Statistiche al computer sulla distribuzione dei gruppi di Galois di polinomi di grado 4. Il problema di Galois inverso. Construzioni di polinomi con gruppi di Galois Sp, p primo (inizio)
    32. Lezioni 32 e 33 [30/04/10] Construzioni di polinomi con gruppi di Galois Sp, p primo (fine). Campi finiti, esistenza e unicitÓ (a meno di isomorfismi). Gruppo di Galois di un campo finito, automorfismo di Frobenius, polinomi irriducibili. Enumerazione dei polinomi irriducibili.
    33. Lezioni 34 e 35 [04/05/10]
    34. Lezione 36 [05/05/10]
    35. Lezioni 37 e 38 [07/05/10]
    36. Lezioni 39 e 40 [11/05/10]
    37. Lezione 41 [12/05/10] Un esempio di un polinomio di grado $8$ avente come gruppo di Galois i Quaternioni. Enunciato del Teorema di Witt sulla caratterizzazione delle estensioni biquadratiche che ammettono un estensione quaternionica. Enunciato del Teorema dell'elemento primitivo.
    38. Lezioni 42 e 43 [14/05/10] Dimostrazione del Teorema dell'elemento primitivo. Conseguenze, Dimostrazione algebrica del Teorema Fondamentale dell'algebra.
    39. Lezioni 44 e 45 [18/05/10]
    40. Lezione 46 [19/05/10]
    41. Lezione 47 [21/05/10] Estensioni ciclotomiche di campi, esistenza e loro proprietÓ. irriducibilitÓ dei polinomi ciclotomici a coefficienti razionali. Conseguenze per il gruppo di Galois.
    42. Lezione 48 [25/05/10] Estensioni radicali pure e loro proprietŔ. Teorema di Kummer sulle estensioni radicali pure. Il Lemma di Dedekind.
    43. Esercitazione 10 [25/05/10] Gruppi di Galois di polinomi ciclotomici in char p; Gruppi di Galois di prodotti di polinomi irriducibili in char p; Gruppi di Galois sui razionali, utilizzando info sul numero di radici non reali (segno del discriminante e conj espresso in cicli disgiunti) ed utilizzando anche il reticolo dei sottogruppi transitivi di Sn, per n=3,4,5.
    44. Lezione 49 [26/05/10] Ancora sulle estensioni radicali. Dimostrazione del lemma di Dedekind. Inizio della dimostrazione del Teorema di Galois.
    45. Lezioni 50 e 51 [28/05/10] Fine della dimostrazione del Teorema di Galois sulla risoluzione per radicale dei polinomi a foefficienti razionali.
    46. ESERCITAZIONI [1/06/10] Svolgimento degli scritti degli appelli A e B dell'esame scritto di TE1 tenuto nell' AA 2006/2007
    47. Seconda prova in itinere [04/06/10]
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    Tutorato/Esercizi:

    1. Giovedý 4 Marzo - Testo esercizi
    2. Giovedý 11 Marzo - Testo esercizi
    3. Giovedý 18 Marzo - Testo esercizi
    4. Giovedý 25 Marzo - Testo esercizi
    5. Giovedý 1 Aprile - Esercizi tratti dal testo dell'ultima settimana.
    6. Giovedý 8 Aprile - Testo esercizi
    7. Giovedý 15 Aprile - Esercizi tratti dal testo dell'ultima settimana.
    8. Giovedý 22 Aprile - Testo esercizi
    9. Giovedý 29 Aprile - Testo esercizi
    10. Giovedý 6 Maggio - Testo esercizi
    11. Giovedý 13 Maggio - Testo esercizi
    12. Giovedý 20 Maggio - Testo esercizi
    13. Giovedý 27 Maggio - Testo esercizi


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    Esoneri/Esami:

  • Appello B 10 Gennaio 2011, ore 10
    RISULTATI DELLO SCRITTO (APPELLO C - GENNAIO 2011):
    Matricola 1 2 3 4 5 6 7 8 TOT
    417970 4 0 3 4 4 4 2 4 25
    269370 4 0 2 3 2 4 0 4 19
    277753 3 4 0 3 0 3 0 4 18
    405721 3 4 0 3 4 4 2 3 23
    432572 4 4 3 3 4 4 2 4 28

  • Appello B 12 Luglio 2010, ore 10
    RISULTATI DELLO SCRITTO (APPELLO B - LUG10):
    Matricola 1 2 3 4 5 6 7 8 TOT
    284143 3 4 4 3 4 4 4 4 30
    272117 2 4 4 4 3 4 2 2 25
    428137 3 4 4 2 3 4 4 0 24
    246918 3 4 4 0 4 4 1 2 22
    427381 2 4 4 2 4 4 2 0 22
    416964 1 0 4 4 4 4 4 0 21
    418000 4 4 2 0 2 4 1 3 20
    432572 4 0 1 0 4 4 4 2 19
    246023 2 4 2 0 2 4 2 2 18
    405844 RIT
    269370 2 0 1 0 2 4 0 3 NA
    417368 1 0 4 0 1 4 1 1 NA
    416639 4 1 1 0 0 4 1 2 NA
    417182 1 0 1 1 2 4 1 0 NA
    278443 0 0 0 0 4 4 4 2 NA
    415716 1 0 0 0 1 4 1 1 NA
    406074 ASS
    277753 ASS

  • Appello A 18 Giugno 2010, ore 10
    RISULTATI DELLO SCRITTO (APPELLO A - GIU10):
    271174 1 2 4 2 0 4 4 4 21
    221120 4 2 2 4 3 4 4 0 23
    407349 3 4 4 4 2 4 4 4 29
    418000 2 0 2 2 0 4 2 1 INSUF
    417368 2 0 2 2 0 4 0 4 INSUF
    278443 1 0 4 0 0 4 4 0 INSUF

  • Esame di fine semestre 4 Giugno 2010, ore 9
    RISULTATI DELLA SECONDA PROVA IN ITINERE (4GIU10):
    MATRICOLA 1 2 3 4 5 6 7 8 TOT
    269370 1 2 2 0 4 4 2 0 15
    271174 1 0 4 0 4 4 2 2 17
    417368 1 3 4 0 4 4 2 0 18
    250829 3 1 4 0 4 4 2 0 18
    432572 2 0 3 0 4 4 3 2 18
    406417 2 0 4 0 4 4 3 2 19
    416145 0 0 2 3 4 4 3 3 19
    405844 2 0 4 0 4 4 2 4 20
    279682 3 4 4 4 3 2 0 0 20
    279228 4 0 1 2 4 4 4 3 22
    417375 2 2 2 3 4 4 3 2 22
    406073 2 1 4 0 4 4 4 4 23
    416144 3 1 4 1 4 4 3 3 23
    221120 1 2 4 2 4 4 2 4 23
    416837 3 2 4 0 4 4 4 4 25
    417185 3 2 4 0 4 4 4 4 25
    417290 3 4 4 0 4 4 4 3 26
    245617 3 0 4 3 4 4 4 4 26
    408400 4 1 4 1 4 4 4 4 26
    160410 2 2 4 3 4 4 4 4 27
    417370 3 0 4 4 4 4 4 4 27
    416839 3 4 4 0 4 4 4 4 27
    417296 3 2 4 4 4 4 4 3 28
    287674 3 4 2 4 4 4 4 4 29
    260129 3 3 4 4 4 4 3 4 29
    277752 2 4 4 4 4 4 4 4 30
    431285 3 4 4 4 4 4 3 4 30
    416640 4 4 4 4 4 4 4 4 32
    230285 ASS
    246023 ASS
    278443 ASS
    284143 ASS

  • Esame di metÓ semestre 16 Aprile 2010
  • Appello C 10 Gennaio 2011, ore 10
  • Appello X 11 Settembre 2010, ore 10
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    Testi consigliati:


  • S. Gabelli. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer UNITEXT (La Matematica per il 3+2) 2008, XVII, 410 pagg., ISBN: 978-88-470-0618-8
  • J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes 2003.
  • E. Artin.Galois Theory. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES Number 2. 1942.
  • C. Procesi.Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).
  • M. Artin. Algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ 1991.
  • D. Dummit and R. Foote. Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ 1991.
  • T. W. Hungerford. Algebra Reprint of the 1974 original. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer-Verlag, New York-Berlin. 1980 .
  • N. Jacobson. Lectures in abstract algebra. III. Theory of fields and Galois theory. Second corrected printing. Graduate Texts in Mathematics, No. 32. Springer-Verlag, New York-Heidelberg 1975.
  • S. Lang. Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York 2002.
  • J. Rotman. Galois theory. Universitext. Springer-Verlag, New York 1998.
  • I. Stewart. Galois theory. Second edition. Chapman and Hall, Ltd., London 1989.
  • J. Stillwell. Elements of algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York. 1994
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