AM4 - Teoria dell'integrazione e analisi di Fourier

AA 2005-2006 - I Semestre (L. Chierchia)

• Indice
  Avvisi
  Scheda Diploma Supplement (con programma sintetico)
  Programma esteso
  Orari
  Diario delle lezioni
  Testi aggiuntivi per le lezioni
  Bibliografia
  Esami ed esoneri
  Sito di AM4 - a.a. 2004-2005

AVVISI

• [13/12/05] Date delle prossime lezioni: 15/12 (16:00); 16/12 (11:15); 20/12 (11:15).

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• [30/11/05] Giovedì 1/12/05 ci sarà lezione dalle 16:15 alle 18:00 in aula F.
• [24/11/05] In vista dello sciopero generale, la lezione di domani 25/11/05 è rinviata a data da destinarsi.
• [27/10/05] Si noti il cambiamento di orario del I esonero.
• [24/10/05] Per consentire la partecipazione allo stato di agitazione in relazione al DDL Moratti, la lezione di martedì 25/10/05 è spostata a giovedì 27/10/05 dalle 16:15 alle 18:00 in aula F.
• [28/9/05] La lezione di martedì 4/10/05 è spostata a giovedì 6/10/05 dalle 16:15 alle 18:00 in aula F.
• [23/9/05] Si noti il cambio di programma rispetto agli anni precedenti. Non sono previste esercitazioni separate.

• Diario delle lezioni
  Lezioni 1 e 2 (20/9/05) Insiemi elementari in Rⁿ. Gli insiemi elementari sono una classe chiusa rispetto all'unione ed all'intersezione. Definizione di insiemi di misura nulla. Un insieme aperto non è di misura nulla.

  Lezioni 3 e 4 (23/9/05) Una unione numerabile di insiemi di misura nulla è di misura nulla. Un insieme è di misura nulla se e solo se è possibile ricoprirlo con una famiglia numerabile di rettangoli limitati la somma delle cui misure è piccola a piacere.

  Lezioni 5 e 6 (27/9/05) Un compatto di misura nulla è contenuto in insiemi elementari di misura arbitrariamente piccola. Un insieme contenuto in un insieme elementare di misura arbitrariamente piccola è di misura nulla. L'immagine di un insieme di misura nulla mediante una applicazione Lipschitziana è di misura nulla. L'insieme ternario di Cantor (costruzione geometrica e proprietà generali).

  Lezioni 7 e 8 (30/9/05) Partizioni in rettangoli; raffinamenti e partizione unione. Funzioni a scalini e loro integrale. Rappresentazione di due funzioni a scalini tramite una sola partizione. Definizione di integrale di Riemann. Oscillazione di una funzione su un insieme e su un punto. Teorema di Vitali-Lebesgue: le funzioni integrabili secondo Riemann sono le funzioni limitate il cui insieme di discontinuità è di misura nulla.

  Lezioni 9 e 10 (6/10/05) Conseguenze del teorema di Vitali-Lebesgue: la classe delle funzioni integrabili secondo Riemann è uno spazio vettoriale, un'algebra ed un reticolo. Una funzione integrabile secondo Riemann è nulla quasi ovunque se e solo se l'integrale del suo modulo è nullo. Una successione di funzioni a scalini che converge puntualmente ed in media integrale ad una funzione limitata non integrabile secondo Riemann.

  Lezioni 11 e 12 (7/10/05) Una successione non decrescente di funzioni a scalini con integrali uniformemente limitati converge quasi ovunque. Esercizi.

  Lezioni 13 e 14 (11/10/05) Una successione non crescente di funzioni a scalini converge a zero quasi ovunque se e solo se l'estremo inferiore del valore degli integrali è zero. La classe funzionale F(E); integrale di funzioni in F(E).

  Lezioni 15 e 16 (14/10/05) Le funzioni integrabili secondo Riemann su E (rettangolo limitato) coincidono (q.o.) con le funzioni f tali che f e -f appartengono a F(E). Esercizi.

  Lezioni 17 e 18 (18/10/05) Proprietà generali della classe delle funzioni integrabili secondo Lebesgue. Il teorema di convergenza monotona di Beppo Levi.

  Lezioni 19 e 20 (21/10/05) Teorema di convergenza dominata. Teorema di completezza di L¹ di Riesz e Fischer.

  Lezioni 21 e 22 (27/10/05) I limiti quasi ovunque di funzioni integrabili (secondo Lebesgue) dominati da una funzione integrabile sono integrabili. Esempio di successione di funzioni a scalini positive con integrale uguale ad 1 che converge puntualmente a 0. Esempio di funzione che converge in norma integrale ma non converge quasi ovunque.

  Lezioni 23 e 24 (28/10/05) Funzioni ed insiemi misurabili: proprietà elementari.

  Lezioni 25 e 26 (8/11/05) La sigma algebra degli insiemi misurabili secondo Lebesgue: proprietà fondamentali.

  Lezioni 27 e 28 (11/11/05) Sigma algebre e misure sigma additive; misure comlete; misure assolutamente continue. L'esempio di Vitali di insieme non misurabile secondo Lebesgue.

  Lezioni 29 e 30 (15/11/05) Integrazione su spazi prodotto. Se Q è di misura nulla in Rⁿ allora Q x A è di misura nulla in Rⁿ x R^m per ogni sottoinsieme A di R^m. Le sezioni di insiemi di misura nulla sono quasi ovunque di misura nulla. Teorema di Fubini.

  Lezioni 31 e 32 (18/11/05) Teorema di Tonelli. Misurabilità di epigràfi. Integrazione su insiemi misurabili.

  Lezioni 33 e 34 (22/11/05) Insiemi normali misurabili. Integrazione su insiemi normali. Le funzioni C^¥(Rⁿ) a supporto compatto sono dense (in norma integrale) in L¹.

  Lezioni 35 e 36 (29/11/05) La misura di un parallelepipedo generato da n vettori è pari al determinante della matrice che ha per colonne tali vettori.

  Lezioni 37 e 38 (1/12/05) La misura dell'immagine di un cubo secondo un dieffeomorfismo C¹ è pari all'integrale del modulo del determinante dello Jacobiano.

  Lezioni 39 e 40 (6/12/05) Teorema del cambio di variabili per funzioni L¹. Domini, inclusioni differenziabili ed elementi di k varietà in Rⁿ. Cambi di coordinate. Misura di un elemento di varietà.

  Lezioni 41 e 42 (13/12/05) La lunghezza di un elemento di curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali iscritte. Rette e vettori tangenti; spazio tangente. L'area di un elemento di superficie è il limite per e che tende a 0 del volume di un intorno cilindrico di "altezza" e diviso per e. Inclusioni generalizzate; varietà regolari a tratti; varietà. Integrazione su varietà regolari a tratti.

  Lezioni 43 e 44 (15/12/05) Insiemi (aperti) regolari a tratti; normale esterna. Esempi. Teorema della divergenza in Rⁿ per insiemi regolari a tratti (enunciato).
  Differenziali di funzioni. 1-forme differenziali. Orientamento su curve regolari a tratti. Integrazione di 1-forme. 1-forme chiuse e 1-forme esatte. Una 1-forma esatta è chiusa.

  Lezioni 45 e 46 (16/12/05) Una 1-forma su un dominio stellato è chiusa se e solo se è esatta. Una 1-forma è esatta se e solo se il suo integrale su una qualunque curva chiusa regolare a tratti è zero. Coordinate polari in R² e in R³; calcolo dell'integrale di exp(x²); verifica del teorema della divergenza in alcuni esempi. Teorema di Green nel piano. Calcolo di aree mediante integrazione di 1-forme.

  Lezioni 47 e 48 (20/12/05) Rotore di campi in R³. La divergenza di un rotore è nulla; il rotore di un gradiente è nullo. Un campo a divergenza nulla su un dominio stellato è un rotore (senza dimostrazione); un campo irrotazionale su un dominio stellato è un gradiente.
  Teorema di Stokes in R³.
  Partizioni dell'unità. Dimostrazione del teorema della divergenza per domini regolari in R².

• Testi aggiuntivi per le lezioni
  Lemma 9.29 [pdf]
  Relazione tra integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue [pdf]
  Volume di parallelepipedi e determinanti [pdf]

• Orario lezioni: martedì 11:15-13:00 (Aula C) e venerdì: 11:15-13:00 (Aula G).

• Orario di ricevimento: martedì 14:00 - 15:00; venerdì 14:00 - 15:00 (durante il periodo di lezione) o per appuntamento. Studio 210 del Dipartimento di Matematica.

• Esoneri ed esami [ calendario ufficiale degli esami]

  I esonero Mercoledì 2/11/05 - ore 15:30 - Aula G

  testo [pdf]; soluzioni [pdf];

  II esonero Martedì 10/1/06 - ore 10:00 - Aula F

  testo [pdf]; soluzioni [pdf];

  Per vedere i compiti e registrazione voto: martedì 17/1/06 ore 10:00, studio 210.

  Appello A e recupero esoneri Lunedì 23/1/06

  Per vedere i compiti e registrazione voto: lunedì 30/1/06 ore 11:00, studio 210.

  Appello B Venerdì 17/2/06

  Per vedere i compiti e registrazione voto: lunedì 20/2/06 ore 14:00, studio 210.

  Appello C Giovedì 6/7/06

  testo [pdf];

  Per vedere i compiti e registrazione voto: lunedì 10/7/06 ore 14:30, studio 210.

  Appello X Venerdì 8/9/06

  testo [pdf];

  Per vedere i compiti e registrazione voto: lunedì 10/7/06 ore 14:30, studio 210.

  Appello X Venerdì 8/9/06

  testo [pdf];

  Per vedere i compiti e registrazione voto: mercoledì 13/9/06 ore 9:30, studio 210.