Analisi Matematica 1
(canale fi-k)

Docente: Prof. Pierpaolo Esposito



Avvisi
Gli studenti che hanno superato lo scritto del IV Appello sono pregati di inviarmi un'email di accettazione del voto entro le ore 12:30 di lunedì 24/9. Tutti coloro che vogliono vedere il compito oppure avere la trascrizione su libretto/statino del voto sono pregati di presentarsi nel mio studio alle ore 12:30 di lunedì 24/9.

Testi di riferimento
Esoneri e compiti d'esame
I esonero, venerdì 22/12/2017, ore 9-11. Argomenti
Testo con soluzioni
II esonero/I Appello, martedì 23/1/2018, ore 9-11. Argomenti
Testo con soluzioni
II Appello, lunedì 18/6/2018, ore 9-11.
Testo con soluzioni
III Appello, lunedì 2/7/2018, ore 9-11.
Testo con soluzioni
IV Appello, martedì 18/9/2018, ore 9-11.
Testo con soluzioni

Diario delle lezioni
Lezione 1 (3/10/2017): Richiami sulla costruzione dei numeri interi Z e razionali Q a partire dai numeri naturali N; assenza di radici quadrate in Q.
Lezione 2 (4/10/2017): Massimo, maggiorante ed estremo superiore di un insieme; costruzione assiomatica dei numeri reali R ed assioma dell'estremo superiore; costruzione dei numeri naturali N come il più piccolo insieme induttivo, principio di induzione ed esempi.
Lezione 3 (5/10/2017): Proprietà di Archimede; densità di Q in R; formula del binomio di Newton, triangolo di Tartaglia e coefficienti binomiali; cenni di calcolo combinatorio.
Lezione 4 (6/10/2017): Caratterizzazione dell'estremo superiore; costruzione in R della radice quadrata; esercizi su principio d'induzione, disuguaglianza di Bernoulli.
Lezione 5 (9/10/2017): Valore assoluto in R; costruzione del campo complesso; parte reale e immaginaria, coniugio, modulo e disuguaglianza triangolare.
Lezione 6 (10/10/2017): Rappresentazione polare, prodotto in rappresentazione polare; radici n-esime dell'unità.
Lezione 7 (11/10/2017): Esercizi su equazioni in campo complesso.
Lezione 8 (12/10/2017): Esercizi su principio d'induzione, sup/inf e disuguaglianze con moduli.
Lezione 9 (16/10/2017): Esercizi su sup/inf e disuguaglianze con radicali; definizione di parte intera e frazionaria.
Lezione 10 (17/10/2017): Funzioni, dominio e co-dominio; immagine e pre-immagine; iniettività, suriettività e funzione inversa; definizione di arcsin e arccos.
Lezione 11 (18/10/2017): Definizione di arctan. Costruzione delle potenze con esponente reale e del logaritmo. Insiemi aperti e chiusi in R; punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati; caratterizzazione degli insiemi aperti/chiusi; chiusura di un insieme; esempi.
Lezione 12 (19/10/2017): Teorema di Bolzano-Weierstrass; controesempi.
Lezione 13 (20/10/2017): Limite della radice n-esima di p,n, esponenziali, fattoriale, n^n; confronti di ordine di infinito tra n, esponenziali, fattoriale, n^n.
Lezione 14 (24/10/2017): Definizione di limite finito. Proprietà dei limiti (permanenza del segno, confronto, operazioni con i limiti).
Lezione 15 (25/10/2017): Limite della radice n-esima di n^alpha; confronti di ordine di infinito tra n^alpha ed esponenziali. Definizione di limite infinito e validità delle operazioni con i limiti; forme indeterminate.
Lezione 16 (26/10/2017): Sottosuccessioni; legame tra limiti di una successione e sue sottosuccessioni. Limite della radice n-esima di (log n)^alpha; confronti di ordine di infinito tra (log n)^\alpha e n^beta.
Lezione 17 (27/10/2017): Limiti di successioni monotone. Equivalenza tra la costruzione delle potenze con esponente reale tramite estremo superiore e tramite limite di approssimazioni razionali; proprietà delle potenze con esponente reale.
Lezione 18 (31/10/2017): Massimo/minimo limite; caratterizzazione del massimo/minimo limite; esempi.
Lezione 19 (2/11/2017): Esercizi.
Lezione 20 (3/11/2017):  Caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite successioni; insiemi compatti; gli insiemi compatti coincidono con gli insiemi chiusi e limitati. Completezza di R.
Lezione 21 (7/11/2017): Intorni dei punti finiti e di +/- infinito; definizione generale di limite di funzione con gli intorni. Teorema ponte.
Lezione 22 (8/11/2017): Esercizi.
Lezione 23 (9/11/2017): Confronti di infinito tra (log x)^alpha, x^beta, A^x con A>1, x^x; limite di |log x|^x e x^x in zero; limite di A^x all'infinito.
Lezione 24 (10/11/2017): Limite finito per x→x_0; proprietà dei limiti (permanenza del segno, confronto, operazioni con i limiti); discussione della definizione negli altri casi e validità delle operazioni con i limiti; forme indeterminate.
Lezione 25 (15/11/2017): Esercizi.
Lezione 26 (17/11/2017): Limite destro/sinistro e relazione con il limite completo. Limiti di funzioni monotone e continuità del logartimo. Limite di (1+x)^1/x in zero e limite notevole del logaritmo.
Lezione 27 (21/11/2017): Limite di funzioni composte e limite notevole dell'esponenziale. Limite notevole del seno e del coseno.
Lezione 28 (22/11/2017): Esercizi.
Lezione 29 (23/11/2017): Funzioni continue; continuità delle funzioni elementari; continuità di somma, prodotto, quoziente, composizione.
Lezione 30 (24/11/2017): Teoremi della permanenza del segno, degli zeri e dei valori intermedi.
Lezione 31 (28/11/2017): Tipi di discontinuità e funzioni monotone. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.
Lezione 32 (29/11/2017): Esercizi.
Lezione 33 (30/11/2017): Definizione di derivata e significato geometrico. Calcolo della derivata di sin x, cos x, x^n, a^x.  Regole di derivazione  per: somma, prodotto, quoziente, composizione.
Lezione 34 (1/12/2017): Derivata della funzione inversa; calcolo delle derivata di log x, arcsin x, arccos x,  tan x, arctan x, x^alpha. Funzioni iperboliche e loro derivate.Teorema di Fermat e di Rolle.
Lezione 35 (5/12/2017): Teoremi di Cauchy e Lagrange; monotonia di funzioni derivabili; funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti.
Lezione 36 (6/12/2017): Esercizi.
Lezione 37 (7/12/2017): Esercizi.
Lezione 38 (12/12/2017): Teorema di de L'Hôpital. Asintoto verticali, orizzontali e obliqui; studio di funzione.
Lezione 39 (13/12/2017): Esercizi.
Lezione 40 (14/12/2017): Formula di Taylor, formula di Peano e di Lagrange per il resto.
Lezione 41 (15/12/2017): Somma geometrica; sviluppi di Taylor per: seno, coseno, esponenziale, logaritmo, arco-tangente; cenni agli sviluppi in serie di Taylor.
Lezione 42 (19/12/2017): Esercizi su studio di funzione ed equazioni in campo complesso.
Lezione 43 (20/12/2017): Esercizi.
Lezione 44 (21/12/2017): Esoneri.
Lezione 45 (22/12/2017): Esoneri.
Lezione 46 (9/1/2018): Definizione di integrale di Riemann e proprietà; integrabilità delle funzioni continue; enunciato di I e II Teorema fondamentale del calcolo.
Lezione 47 (10/1/2018): Esercizi.
Lezione 48 (11/1/2018): Teorema della media integrale e dimostrazione dei Teoremi fondamentali del calcolo; integrazione per parti ed esercizi.
Lezione 49 (12/1/2018): Cambio di variabile negli integrali; integrali con seni e coseni; integrali con radicali e sostituzioni di Eulero.
Lezione 50 (15/1/2018): Integrali impropri. Introduzione alle serie e serie geometrica. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Esempi.
Lezione 51 (16/1/2018): Criterio della radice e del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy e serie armoniche generalizzate. Esempi.
Lezione 52 (17/1/2018): Esercizi.
Lezione 53 (18/1/2018): Esercizi.
Lezione 54 (19/1/2018): Criterio della convergenza assoluta e criterio di Leibniz. Esercizi.


Programma sintetico di massima 
Insiemi numerici (N,Z,Q e R), costruzione assiomatica di R, costruzione di N e principio di induzione, i numeri complessi; elementi di topologia in R e teorema di Bolzano-Weierstrass; funzioni reali di variabile reale, limiti di funzione e proprietà, limiti di successione, limiti notevoli, il numero di Nepero; funzioni continue e loro proprietà;  derivata di funzione e proprietà, i teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l'Hopital, formula di Taylor), funzioni convesse/concave; grafico di funzione; integrazione secondo Riemann e proprietà, integrabilità delle funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per sostituzione e per parti, regole di integrazione; serie numeriche, convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza per serie a termini positivi e per serie a termini qualsiasi; sviluppi in serie di Taylor; integrali impropri.