Analisi Matematica 1
(ingegneria meccanica, canale a-k)

Docente: Prof. Pierpaolo Esposito
Esercitatore: Dott. Giorgio Arcadi

Testi di riferimento
Altri testi
Diario delle lezioni
Lezione 1 (1/10/2020): Richiami sulla costruzione dei numeri interi Z e razionali Q a partire dai numeri naturali N; assenza di radici quadrate in Q; costruzione assiomatica dei numeri reali R ed assioma di contnuità; massimo, maggiorante ed estremo superiore di un insieme.
Lezione 2 (5/10/2020): Estremo inferiore di un insieme; caratterizzazione di sup/inf ed esercizi; costruzione dei numeri naturali N come il più piccolo insieme induttivo, principio di induzione.
Lezione 3 (6/10/2020):  Proprietà di Archimede; parte intera e parte frazionaria; densità di Q in R; esistenza in R della radice quadrata; somma dei primi n interi.
Esercitazione 1 (7/10/2020): Testo
Lezione 4 (8/10/2020): Calcolo combinatorio: permutazioni e disposizioni; formula del binomio di Newton tramite combinatoria, triangolo di Tartaglia e coefficienti binomiali.
Lezione 5 (12/10/2020): Disuguaglianza di Bernoulli; esistenza in R della radice n-esima.
Lezione 6 (13/10/2020): Valore assoluto. Costruzione del campo complesso; parte reale e immaginaria, coniugio, modulo e disuguaglianza triangolare.
Esercitazione 2 (14/10/2020): Testo
Esercitazione 3 (15/10/2020): Testo
Lezione 7 (19/10/2020): Limite della radice n-esima di p e n; limite degli esponenziali; confronti di ordine di infinito tra n, esponenziali, fattoriale, n^n. Limite della radice n-esima di fattoriale di n.
Lezione 8 (20/10/2020): Definizione di limite finito e infinito; operazioni con i limiti e forme indeterminate; successioni convergenti sono limitate; permanenza del segno.
Esercitazione 4 (21/10/2020): Testo
Lezione 9 (22/10/2020): Esempi: limiti di funzioni razionali e con radicali. Teorema del confronto e limite della radice n-esima di n^alpha.
Lezione 10 (26/10/2020): Sottosuccessioni; legame tra limiti di una successione e sue sottosuccessioni. Confronto di ordine di infinito tra log n e n.
Lezione 11 (27/10/2020): Limiti di successioni monotone. Definizione del numero di Nepero e; caratterizzazione come serie.
Esercitazione 5 (28/10/2020): Testo
Esercitazione 6 (29/10/2020): Testo
Lezione 12 (02/11/2020): Approsimazione di e e stima dell'errore; irrazionalità di e. Costruzione delle potenze con esponente reale come limite di approssimazioni razionali; "continuità" dell'esponenziale in 0.
Lezione 13 (03/11/2020): Massimo/minimo limite come limite di sup/inf definitivi; legame tra la convergenza di una successione ed il suo massimo/minimo limite; caratterizzazione del massimo/minimo limite; massimo/minimo limite come estremo inferiore/superiore dei maggiornati/minoranti definitivi; legame tra massimo/minimo limite e i limiti delle sottosuccessioni convergenti.
Esercitazione 7 (4/11/2020): Testo
Lezione 14 (05/11/2020): Esempio di massimo/minimo limite. Teorema di Bolzano-Weierstrass: successioni limitate hanno estratte convergenti; insiemi aperti e chiusi in R; punti interni, esterni e di frontiera; caratterizzazione degli insiemi aperti/chiusi in termini di frontiera; insiemi compatti.
Lezione 15 (09/11/2020): Caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite successioni; gli insiemi compatti coincidono con gli insiemi chiusi e limitati; punti di accumulazione e punti isolati; intorni dei punti finiti e di +/- infinito; definizione generale di limite di funzione con gli intorni.
Lezione 16 (10/11/2020): Teorema ponte. Limite notevole di seno e coseno; confronti di infinito tra (log x)^alpha, x^beta, A^x con A>1, x^x; limite di A^x all'infinito; limite di  (1+1/x)^x a +/- infinito; limite di  (1+x)^{1/x} in zero; continuità del logartimo e llimite notevole del logaritmo e dell'esponenziale.
Esercitazione 8 (11/11/2020): Testo
Esercitazione 9 (12/11/2020): Testo
Lezione 17 (16/11/2020): Proprietà dei limiti (permanenza del segno, confronto, operazioni con i limiti); validità delle operazioni con i limiti e forme indeterminate. Limite destro/sinistro e relazione con il limite completo. Limiti di funzioni monotone. Funzioni continue; continuità delle funzioni elementari.
Lezione 18 (17/11/2020): Continuità di somma, prodotto, quoziente, composizione. Teoremi della permanenza del segno, degli zeri e dei valori intermedi.
Esercitazione 10 (18/11/2020): Testo
Lezione 19 (19/11/2020): Teorema di Weierstrass. Funzioni, dominio e co-dominio; immagine e pre-immagine; iniettività, suriettività e funzione inversa. Esempi delle principali funzioni inverse; cenni alla continuità della funzione inversa.
Lezione 20 (23/11/2020): Classificazione delle discontinuità. Definizione di derivata e significato geometrico. Calcolo della derivata di sin x, cos x, x^n, e^x, log x.
Lezione 21 (24/11/2020): Regole di derivazione  per: somma, prodotto, quoziente, composizione, inversa. Teorema di Fermat e di Rolle.
Esercitazione 11 (25/11/2020): Testo
Esercitazione 12 (26/11/2020): Testo
Lezione 22 (30/11/2020): Procedimento per determinare massimo/minimo assoluto di una fz. su insieme compatto. Teorema di Lagrange e monotonia di funzioni derivabili. Funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti. Teorema di Cauchy.
Lezione 23 (1/12/2020): Teorema di de L'Hôpital ed esempi. Derivata seconda;  legame tra convessità e segno della derivata seconda.
Esercitazione 13 (2/12/2020): Testo
Lezione 24 (3/12/2020): Formula di Taylor, formula di Peano e di Lagrange per il resto.
Lezione 25 (7/12/2020): Sviluppi di Taylor al second'ordine; criterio per determinare massimi/minimi locali.Sviluppo di Taylor per l'esponenziale, seno, coseno.
Esercitazione 14 (9/12/2020): Testo
Esercitazione 15 (10/12/2020): Testo
Lezione 26 (14/12/2020): Sviluppo in serie di Taylor per l'esponenziale, seno, coseno. Somma geometrica; sviluppi di Taylor per logaritmo e arco-tangente. Introduzione alla teoria dell'integrazione.
Lezione 27 (15/12/2020): Funzioni uniformemente continue; funzioni continue su compatti sono uniformemente continue. Definizione di integrale di Riemann per fz. continue e proprietà.
Esercitazione 16 (16/12/2020): Testo
Lezione 28 (17/12/2020): Teorema della media integrale, I e II teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti ed esempi.
Lezione 29 (21/12/2020): Prova di autovalutazione sulla prima parte del corso. Testo
Lezione 30 (22/12/2020): Correzione prova di autovalutazione. Cambio di variabili negli integrali.
Esercitazione 17 (23/12/2020): Testo
Lezione 31 (7/1/2021): Integrazione di espressioni in potenze frazionarie di ax+b/cx+d. Integrazione di espressioni in radici di ax^2+bx+c: sostituzioni di Eulero; sostituzione con seno/coseno. Integrali impropri; integrabilità di x^alpha in (0,1) e (1,∞).  Criterio del confronto. Esempi.
Lezione 32 (11/1/2021): Introduzione alle serie e serie geometrica. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Serie armonica.
Lezione 33 (12/1/2021): Criterio del rapporto e della radice. Esempi.
Esercitazione 18 (13/1/2021): Testo
Esercitazione 19 (14/1/2021): Testo
Lezione 34 (18/1/2021) Criterio di condensazione di Cauchy. Serie armoniche generalizzate. Esempi.
Lezione 35 (19/1/2021) Criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz. Serie telescopihce. Serie dipendenti da parametro. Esempi.
Esercitazione 20 (20/1/2021): Testo
Lezione 36 (21/1/2021) Prova di autovalutazione di fine corso. Testo Soluzioni

Programma sintetico
Insiemi numerici (N,Z,Q e R), costruzione assiomatica di R, costruzione di N e principio di induzione, i numeri complessi; elementi di topologia in R e teorema di Bolzano-Weierstrass; funzioni reali di variabile reale, limiti di funzione e proprietà, limiti di successione, limiti notevoli, il numero di Nepero; funzioni continue e loro proprietà;  derivata di funzione e proprietà, i teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l'Hopital, formula di Taylor), funzioni convesse/concave; grafico di funzione; integrazione secondo Riemann e proprietà, integrabilità delle funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per sostituzione e per parti, regole di integrazione; serie numeriche, convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza per serie a termini positivi e per serie a termini qualsiasi; sviluppi in serie di Taylor; integrali impropri.