Docente: Prof. Pierpaolo Esposito
Esercitatore: Dott. Giorgio Arcadi
Testi
di riferimento
- "Calcolo", P. Marcellini, C. Sbordone, editore Liguori
- "Esercitazioni di Matematica: vol. 1.1 e 1.2", P. Marcellini, C.
Sbordone, editore Liguori
Altri
testi
- "Analisi Matematica 1", M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa,
editore Zanichelli
- "Analisi Matematica 1", C.D. Pagani, S. Salsa, editore Zanichelli
- "Analisi Matematica 1", E. Giusti, editore Bollati Boringhieri
- "Funzioni Algebriche e Trascendenti", B. Palumbo, M.C. Signorino,
editore Accademica
- "Analisi Matematica", M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli,
editore MCGraw-Hill
- "Esercizi di Analisi Matematica", S. Salsa, A. Squellati, editore
Zanichelli
- "Esercizi e complementi di Analisi Matematica: vol. 1", E. Giusti,
editore Bollati Boringhieri
- "Esercizi svolti di Analisi Matematica e Geometria 1 e 2", G.
Catino, F. Punzo.
Diario
delle lezioni
Lezione
1 (1/10/2020):
Richiami
sulla costruzione dei numeri interi Z e razionali Q a partire dai
numeri naturali N; assenza di radici quadrate in Q; costruzione
assiomatica dei numeri reali R ed assioma di contnuità; massimo,
maggiorante
ed estremo superiore di un insieme.
Lezione 2
(5/10/2020): Estremo
inferiore di un insieme; caratterizzazione di sup/inf ed e
sercizi;
costruzione dei numeri naturali N
come il più piccolo insieme induttivo, principio di induzione.
Lezione
3 (6/10/2020): Proprietà
di Archimede;
parte intera e parte frazionaria;
densità di Q in R
; esistenza
in R della radice quadrata; somma dei primi n interi.
Esercitazione
1 (7/10/2020):
Testo
Lezione 4
(8/10/2020): Calcolo
combinatorio:
permutazioni e disposizioni;
formula
del binomio di Newton tramite combinatoria, triangolo di
Tartaglia e coefficienti binomiali
.
Lezione 5
(12/10/2020): Disuguaglianza
di Bernoulli;
esistenza in R della
radice n-esima.
Lezione 6
(13/10/2020): Valore
assoluto. Costruzione
del campo complesso; parte reale e immaginaria, coniugio, modulo e
disuguaglianza triangolare.
Esercitazione
2 (14/10/2020):
Testo
Esercitazione
3 (15/10/2020):
Testo
Lezione
7 (19/10/2020): Limite
della
radice n-esima di p e n; limite degli esponenziali; confronti di ordine
di infinito tra n, esponenziali, fattoriale, n^n. Limite della radice
n-esima di fattoriale di n.
Lezione 8
(20/10/2020): Definizione
di limite finito e infinito; operazioni con i limiti e forme
indeterminate; successioni convergenti sono limitate; permanenza del
segno.
Esercitazione
4 (21/10/2020):
Testo
Lezione
9 (22/10/2020):
Esempi: limiti di funzioni razionali e con radicali. Teorema del
confronto e limite della radice n-esima di n^alpha.
Lezione 10
(26/10/2020): Sottosuccessioni; legame tra limiti di
una successione e sue sottosuccessioni. Confronto di ordine di infinito
tra log n e n.
Lezione 11
(27/10/2020): Limiti
di successioni monoton
e.
Definizione del numero di Nepero e; caratterizzazione come serie.
Esercitazione
5 (28/10/2020):
Testo
Esercitazione
6 (29/10/2020): Testo
Lezione
12 (02/11/2020):
Approsimazione di e e stima dell'errore;
irrazionalità
di e. Costruzione delle potenze con esponente reale come limite di
approssimazioni razionali;
"continuità"
dell'esponenziale in 0.
Lezione 13
(03/11/2020): Massimo/minimo
limite
come limite di sup/inf definitivi; legame tra la convergenza di una
successione ed il suo massimo/minimo limite; caratterizzazione del
massimo/minimo limite; massimo/minimo limite come estremo
inferiore/superiore dei maggiornati/minoranti definitivi; legame tra
massimo/minimo limite e i limiti delle sottosuccessioni convergenti.
Esercitazione
7 (4/11/2020): Testo
Lezione 14
(05/11/2020): Esempio di massimo/minimo limite.
Teorema di
Bolzano-Weierstrass: successioni
limitate hanno estratte convergenti; insiemi aperti e chiusi in R; punti
interni, esterni e di frontiera
; caratterizzazione
degli insiemi aperti/chiusi in termini di frontiera; insiemi compatti.
Lezione 15
(09/11/2020): Caratterizzazione degli insiemi chiusi
tramite successioni; gli insiemi compatti coincidono con gli insiemi
chiusi e limitati; punti di accumulazione e punti isolati; intorni dei
punti finiti e di +/- infinito; definizione generale di limite di
funzione con gli intorni.
Lezione 16
(10/11/2020): Teorema ponte. Limite notevole di seno
e coseno; confronti di infinito tra (log x)^alpha, x^beta, A^x con
A>1, x^x; limite di A^x all'infinito
;
limite di (1+1/x)^x a +/- infinito; limite di
(1+x)^{1/x} in zero; continuità del logartimo e llimite notevole del
logaritmo e dell'esponenziale.
Esercitazione
8 (11/11/2020): Testo
Esercitazione
9 (12/11/2020): Testo
Lezione 17
(16/11/2020): Proprietà dei limiti (permanenza del
segno, confronto, operazioni con i limiti); validità delle operazioni
con i limiti e forme indeterminate.
Limite
destro/sinistro e relazione con il limite completo. Limiti di funzioni
monotone. Funzioni continue; continuità delle funzioni elementari.
Lezione 18
(17/11/2020): Continuità di somma, prodotto,
quoziente, composizione. Teoremi della permanenza del segno, degli zeri
e dei valori intermedi.
Esercitazione
10 (18/11/2020): Testo
Lezione 19
(19/11/2020): Teorema di Weierstrass.
Funzioni, dominio e co-dominio; immagine e pre-immagine;
iniettività, suriettività e funzione inversa. Esempi delle principali
funzioni inverse; cenni alla continuità della funzione inversa.
Lezione 20
(23/11/2020): Classificazione delle discontinuità.
Definizione di derivata e significato geometrico. Calcolo della derivata
di sin x, cos x, x^n, e^x, log x.
Lezione 21
(24/11/2020): Regole di derivazione per: somma,
prodotto, quoziente, composizione, inversa.
Teorema
di
Fermat e di Rolle.
Esercitazione
11 (25/11/2020): Testo
Esercitazione
12 (26/11/2020): Testo
Lezione 22
(30/11/2020): Procedimento per determinare
massimo/minimo assoluto di una fz. su insieme compatto. Teorema di
Lagrange e monotonia di funzioni derivabili.
Funzioni
con derivata nulla su un intervallo sono costanti.
Teorema di Cauchy.
Lezione 23
(1/12/2020): Teorema di de L'Hôpital ed esempi.
Derivata seconda; legame tra convessità e segno della derivata
seconda.
Esercitazione
13 (2/12/2020): Testo
Lezione
24 (3/12/2020): Formula di Taylor, formula di Peano e
di Lagrange per il resto.
Lezione 25
(7/12/2020): Sviluppi di Taylor al second'ordine;
criterio per determinare massimi/minimi locali.Sviluppo di Taylor per
l'esponenziale, seno, coseno.
Esercitazione
14 (9/12/2020): Testo
Esercitazione
15 (10/12/2020): Testo
Lezione 26
(14/12/2020): Sviluppo in serie di Taylor per
l'esponenziale, seno, coseno. Somma geometrica; sviluppi di Taylor per
logaritmo e arco-tangente. Introduzione alla teoria dell'integrazione.
Lezione 27
(15/12/2020): Funzioni uniformemente continue;
funzioni continue su compatti sono uniformemente continue. Definizione
di integrale di Riemann per fz. continue e proprietà.
Esercitazione
16 (16/12/2020): Testo
Lezione 28
(17/12/2020): Teorema della media integrale, I e II
teorema fondamentale del calcolo integrale.
Integrazione per parti ed esempi.
Lezione 29
(21/12/2020): Prova di autovalutazione sulla prima parte del
corso. Testo
Lezione 30
(22/12/2020): Correzione prova
di autovalutazione. Cambio di variabili negli integrali.
Esercitazione
17 (23/12/2020): Testo
Lezione 31
(7/1/2021): Integrazione di espressioni in potenze
frazionarie di ax+b/cx+d. Integrazione di espressioni in radici di
ax^2+bx+c: sostituzioni di Eulero; sostituzione con seno/coseno.
Integrali impropri; integrabilità di x^alpha in (0,1) e (1,
∞).
Criterio del confronto. Esempi.
Lezione 32
(11/1/2021): Introduzione alle serie e serie
geometrica. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Serie
armonica.
Lezione 33
(12/1/2021): Criterio del rapporto e della radice.
Esempi.
Esercitazione
18 (13/1/2021): Testo
Esercitazione
19 (14/1/2021): Testo
Lezione
34 (18/1/2021) Criterio di condensazione di Cauchy
.
Serie armoniche generalizzate.
Esempi.
Lezione
35 (19/1/2021) Criterio
della convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz. Serie telescopihce.
Serie dipendenti da parametro. Esempi.
Esercitazione
20 (20/1/2021): Testo
Lezione 36
(21/1/2021) Prova di autovalutazione di fine corso.
Testo
Soluzioni
Programma
sintetico
Insiemi numerici (N,Z,Q e R), costruzione assiomatica di R, costruzione
di N e principio di induzione, i numeri complessi; elementi di topologia
in R e teorema di Bolzano-Weierstrass; funzioni reali di variabile
reale, limiti di funzione e proprietà, limiti di successione, limiti
notevoli, il numero di Nepero; funzioni continue e loro proprietà;
derivata di funzione e proprietà, i teoremi fondamentali del calcolo
differenziale (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l'Hopital, formula di
Taylor), funzioni convesse/concave; grafico di funzione; integrazione
secondo Riemann e proprietà, integrabilità delle funzioni continue,
teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per
sostituzione e per parti, regole di integrazione; serie numeriche,
convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza per serie a
termini positivi e per serie a termini qualsiasi; sviluppi in serie di
Taylor; integrali impropri.