AL310 - Istituzioni di Algebra
Superiore
Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois
a.a. 2013/2014 - I
Semestre
Diario delle Esercitazioni
Esercitatore
Antonio Cigliola
3 Ottobre 2013:
Richiami sugli anelli di polinomi. Irriducibilitą dei polinomi a coefficienti
in Z, Q, R, C e F_p. Varie tecniche di fattorizzazione e test di
irriducibilitą: Teorema di Ruffini, test delle radici razionali, Lemma di
Gauss, Criterio di Eisenstein, metodo della forza bruta, riduzione modulo un
primo. Fattorizzazione negli UFD: Criterio di Eisenstein generalizzato e sue
applicazioni.
Esercizi 1
10 Ottobre 2013:
Richiami sugli anelli di
polinomi: ideali massimali e non, quozienti modulo polinomi riducibili o
irriducibili. Estensioni algebriche e trascendenti di Q. Polinomio minimo.
Teorema di moltiplicativitą del grado per estensioni successive. Estensioni
semplici di Q di grado dispari. Estensioni successive di Q ottenute aggiungendo
due elemnti di grado m e n coprimi.
Esercizi 2
21 Ottobre 2013:
Caratterizzazione delle
estensioni quadratiche in caratteristica diversa da 2. Estensioni quadratiche
in caratteristica 2. Estensioni biquadratiche. Campo di spezzamento: esempi e
costruzione di campi di spezzamento in caratteristica zero. Immersioni in C.
Automorfismi del campo di spezzamento di alcuni polinomi in caratteristica
zero. Formula del radicale doppio. Esercizi di riepilogo in preparazione alla
prima prova in itinere.
Esercizi 3
7 Novembre 2013:
Correzione della prima
prova di esonero.
14 Novembre 2013:
Campi finiti. Polinomi
irriducibili di grado fissato su Z_p. Teorema di Galois-Moore. Reticolo dei sottocampi
di un campo finito. Automorfismi di un campo finito. Gruppo di Galois in
caratteristica finita. Automorfismo di Frobenius. Gruppo moltiplicativo di un
campo. Costruzioni equivalenti del campo con 16 e con 64 elementi e del loro
gruppo di Galois su F_2.
Esercizi 4
27 Novembre 2013:
Richiami sui gruppi
simmetrici. I polinomi di grado primo con esattamente due radici complesse non
reali hanno gruppo di Galois totale. Regola dei segni di Cartesio. Polinomi con
gruppo di Galois che si immerge nel gruppo alterno. Polinomi con gruppo di
Galois transitivo. Il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile
biquadratico a coefficienti razionali: caratterizzazione. Polinomi simmetrici.
Formule di Newton e di Waring. Il problema di Newton.
Esercizi
5
12 Dicembre 2013:
Sistemi simmetrici. La corrispondenza di Galois per il polinomio x^3-2. Il
gruppo metaciclico di grado 5. Teorema della risolvente sestica. Gruppo di
Galois di polinomi a coefficienti interi ridotti modulo un primo.
Discriminanti. Sostituzione di De Moivre. Esempi di polinomi a coefficienti
razionali con gruppo di Galois isomorfo a Z_5, D_5, M_5, A_5, S_5.
Esercizi
6