ELEMENTI DI MATEMATICA PER LE GEOSCIENZE
AA 2025-2026 - I Semestre (Docenti: Alessandro Giuliani, Marco Barbieri)
Diario delle lezioni
Lezioni 1 e 2 [23/9/2025] Primitiva di una funzione. Legame tra primitiva e area sottesa al grafico della funzione. Definizione di integrale definito. Metodo di esaustione. Somme di Riemann inferiori e superiori. Integrale definito come "area con segno". Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo dell'area sottesa a una parabola tra 0 e T come limite delle somme di Riemann inferiore e superiore. Verifica che tale area, uguale a T3/3, coincide con la differenza F(T)-F(0), dove F è una qualsiasi primitiva di x2.
Lezioni 3 e 4 [24/9/2025] Linearità e proprietà elementari degli integrali. Definizione di integrale indefinito. Integrali indefiniti di potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche sin x, cos x, 1/cos2x.
Esercitazioni 1 e 2 [26/9/2025] Esempi ed esercizi: l'integrale di x1/4 tra 0 e 5, confronto tra il valore esatto e le somme di Riemann inferiori e superiori di ordine n=5 e n=10. Verifica del teorema fondamentale del calcolo integrale per la funzione f(x)=|x-1|: calcolo della funzione A(x) (integrale definito di f tra 0 e x), verifica che A'(x)=f(x) e interpretazione geometrica di A(x) in termini di area sottesa al grafico di f tra 0 e x.
Lezioni 5 e 6 [30/9/2025] L'integrale indefinito di 1/(1+x2) (richiami sulla definizione di funzione inversa, in particolare di arcotangente, e di derivata di funzione inversa). Regola di integrazione per parti. Esempi ed esercizi.
Lezioni 7 e 8 [2/10/2025] Regola di integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali: caso di denominatore di grado 1; caso di denominatore di grado 2 con due radici reali distinte; caso di denominatore di grado 2 con due radici reali coincidenti. Esempi ed esercizi.
Esercitazioni 3 e 4 [3/10/2025] Integrazione delle funzioni razionali: caso di denominatore di grado 2 senza radici reali. Esempi ed esercizi.
Lezioni 9 e 10 [7/10/2025] Integrali impropri su intervalli al cui bordo la funzione integranda diverge (ad es., integrale di x-p su [0,1]) e su domini illimitati (ad es., integrali di x-p e di e-x su [1,+∞)). Esempi ed esercizi.
Lezioni 11 e 12 [9/10/2025] Funzioni in due variabili a valori scalari e vettoriali. Dominio e codominio. Grafico di una funzione scalare in due variabili. Curve di livello. Derivate parziali nella direzione x e nella direzione y. Gradiente. La derivabilità di una funzione in due variabili non implica la sua continuità.
Esercitazioni 5 e 6 [10/10/2025] Elementi di algebra delle matrici: moltiplicazione righe per colonne; interpretazione geometrica dell'azione di una matrice su un vettore come trasformazione lineare; autovalori e autovettori.
Lezioni 13 e 14 [14/10/2025] Differenziabilità per funzioni in due variabili a valori scalari. Funzioni con derivate parziali continue sono differenziabili. Derivata direzionale e piano tangente per funzioni differenziabili. Derivate di ordine superiore, matrice Hessiana. Esempi.
Lezioni 15 e 16 [16/10/2025] Ancora esempi su derivate parziali seconde. Teorema di Schwarz: funzioni con derivate parziali seconde continue hanno le derivate incrociate uguali a due a due. Esempio: identificazione delle curve di livello per f(x,y)=6x2+4xy+9y2 come ellissi con assi principali oreintati come gli autovettori della matrice Hessiana, con curvature principali uguali agli autovalori della marice Hessiana; verifica che il gradiente è in ogni punto ortogonale alle curve di livello.
Esercitazioni 7 e 8 [17/10/2025] Calcolo del gradiente e delle curve di livello per le funzioni f(x,y)=ye-x e f(x,y)=1/√(x2-y). Verifica che il gradiente è in ogni punto ortogonale alla curva di livello passante in quel punto.
Lezioni 17 e 18 [21/10/2025] Massimi e minimi relativi e assoluti di funzioni in due variabili. Condizione necessaria: un massimo o minimo relativo interno è stazionario, ovvero ha gradiente nullo. Condizione sufficiente: un punto stazionario interno in cui la matrice Hessiana ha entrambi gli autovalori positivi (rispettivamente negativi) è un minimo (rispettivamente massimo) relativo; un punto stazionario interno in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo è un punto di sella. Matrici simmetriche 2x2 definite positive, definite negative o indefinite. Criterio necessario e sufficiente per stabilire la natura di se una matrice simmetrica 2x2: se il determinante è positivo e gli elementi sulla diagonale principale sono positivi (rispettivamente negativi) allora è definita positiva (rispettivamente negativa); se il determinante è negativo allora è indefinita, con un autovalore positivo e uno negativo. Esempi ed esercizi.
Lezioni 19 e 20 [23/10/2025] Massimi e minimi in una regione chiusa e limitata del piano: confronto tra minimi e massimi relativi interni e minimi e massimi sul bordo. Esempi ed esercizi. Introduzione agli integrali curvilinei di forme differenziali associate a campi vettoriali. Esempi di campi vettoriali di forze: il campo gravitazionale. Il lavoro effettuato da una forza lungo un cammino orientato.
Esercitazioni 9 e 10 [24/10/2025] Integrale curvilineo di una forma differenziale associata a un campo vettoriale lungo una curva orientata: definizione e forma esplicita nel caso in cui la curva sia espressa in forma cartesiana o parametrica. Esempi. Un primo esempio di indipendenza dell'integrale nel caso in cui il campo vettoriale sia conservativo, ovvero sia il gradiente di una funzione scalare.
Lezioni 21 e 22 [28/10/2025] Forze conservative e energia potenziale. Il lavoro di una forza conservativa lungo un cammino chiuso è nullo. Condizione di chiusura come condizione necessaria affinchè un campo vettoriale sia conservativo. Esempi di campi vettoriali non chiusi (e quindi non conservativi). Esempio di un campo vettoriale chiuso e conservativo: calcolo della primitiva del campo. Esempio di un campo chiuso ma non conservativo.
Lezioni 23 e 24 [30/10/2025] Definizione di dominio semplicemente connesso. Teorema (solo enunciato): un campo vettoriale chiuso su un dominio semplicemente connesso è anche conservativo. Ancora sull'esempio di campo chiuso ma non conservativo discusso nella lezione del 28/10 (in cui F1(x,y)=-y/(x2+y2), F2(x,y)=x/(x2+y2)): calcolo della primitiva in un sottoinsieme D' semplicemente connesso del dominio massimale di definizione del campo; calcolo dell'integrale su un cammino chiuso attorno all'origine usando la primitiva del campo su D'. Altri esercizi ed esempi di integrali curvilinei di campi vettoriali chiusi su domini semplicemente connessi.
Esercitazioni 11 e 12 [31/10/2025] Simulazione d'esonero: Testo
Lezioni 25 e 26 [11/11/2025] Integrazione in due variabili: definizione dell'integrale definito in termini di limiti di somme di Riemann. Integrale definito di f(x,y) come volume con segno della regione sottesa dal grafico di z=f(x,y). Come calcolare un integrale definito in due variabili su un dominio rettangolare. Teorema di Fubini (solo enunciato): l'ordine di integrazione (prima rispetto a x e poi rispetto a y, o viceversa) dà lo stesso risultato. Esempi: integrali doppi di y2-2x2, di xyex2y e di ex/y/y3 su domini rettangolari.
Lezioni 27 e 28 [13/11/2025] Esempi sul calcolo di integrali doppi in domini non rettangolari (triangolari e semicircolari), verifica dell'indipendenza del risultato dall'ordine di integrazione (teorema di Fubini). Un primo esempio di uso delle coordinate polari negli integrali doppi.
Esercitazioni 13 e 14 [14/11/2025] Uso delle coordinate polari negli integrali doppi. Esempi ed esercizi. Il calcolo del volume del cilindro circolare retto in termini di un integrale doppio in coordinate polari.
Lezioni 29 e 30 [18/11/2025] Ancora esempi ed esercizi su integrali doppi in coordinate polari: il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione usando sezioni a r fissato o a z fissato. L'integrale Gaussiano.
Lezioni 31 e 32 [20/11/2025] La regola generale di cambio di coordinate negli integrali doppi. Matrice Jacobiana, determinante Jacobiano. Il caso delle coordinate polari. Un esempio di cambio di coordinate generali in un integrale doppio.
Esercitazioni 15 e 16 [21/11/2025] Un altro esempio di cambio di coordinate generali negli integrali doppi. Integrali tripli: definizione. Un esempio di integrale triplo su un parallelepipedo in coordinate cartesiane. Un esempio di integrale triplo su domini normali in coordinate cartesiane.
Esercitazioni 17 e 18 [25/11/2025] Cambi di variabili negli integrali tripli: in particolare, cambio di variabili da coordinate cartesiane a coordinate sferiche. Esercizi ed esempi.
Esercitazioni 19 e 20 [27/11/2025] Introduzione alle equazioni differenziali: l'esempio del decadimento radioattivo del C14. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Esempi da problemi di dinamica di popolazioni. Soluzione generale di x'= a x+b al variare di a e b. Il problema di Cauchy: unicità della soluzione a dato iniziale fissato. Soluzione di equilibrio stabile e instabile.
Esercitazioni 21 e 22 [28/11/2025] Datazione delle rocce con il decadimento radioattivo dell'uranio in torio (modello di evoluzione per le concentrazioni di uranio e di torio nel tempo). Equazioni differenziali lineari non omogenee della forma x'(t)=ax(t)+b(t) con a costante e della forma x'(t)=a(t)x(t)+b(t). Metodo di variazione delle costanti. Esercizi ed esempi.
Lezioni 33 e 34 [2/12/2025] Equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili: l'esempio di N'(t)=(10-N(t)/10)N(t); punti di equilibrio, stabilità, soluzione esplicita. Strategia generale per la risoluzione di equazioni differenziali a variabili separabili della forma x'(t)=g(t)f(x(t)).
Lezioni 35 e 36 [4/12/2025] Esempi di equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili: metodo di risoluzione, analisi qualitativa. Criteri di stabilità per i punti di equilibrio di un'equazione differenziale a variabili separabili autonoma (i.e., senza dipendenza esplicita dal tempo, della forma x'(t)=f(x(t))).
Esercitazioni 23 e 24 [5/12/2025] Ancora un esempio su equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili: metodo di risoluzione, analisi qualitativa e natura stabile o instabile delle soluzioni di equilibrio. Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti: caso omogeneo e non. Esempi e applicazioni: la seconda equazione della dinamica di Newton. In particolare: la soluzione dell'equazione di Newton in assenza di forze, in presenza della sola forza di attrito dinamico e in presenza di una forza elastica. Soluzione generale delle equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti nel caso omogeneo: famiglia di soluzioni a due parametri; soluzioni linearmente indipendenti. Problema di Cauchy: dati iniziali per posizione e velocità. Equazione caratteristica e calcolo della soluzione generale nel caso di radici reali distinte
Lezioni 37 e 38 [9/12/2025] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti omogenee: equazione caratteristica e calcolo della soluzione generale nel caso di radici complesse coniugate e di radici reali coincidenti. Esempi ed esercizi.
Lezioni 39 e 40 [11/12/2025] Il caso non omogeno: soluzione generale nella forma di soluzione generale dell'omogenea + soluzione particolare della non omogena. Ricerca della soluzione particolare nel caso di forzante polinomiale. Esempi ed esercizi.
Esercitazioni 25 e 26 [12/12/2025] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti non omogenee: ricerca della soluzione particolare nel caso di forzante esponenziale, sinusoidale e di prodotto di un esponenziale per una funzione sinusoidale. Esempi ed esercizi.
Fogli di esercizi
- Foglio di esercizi della prima settimana
- Foglio di esercizi della seconda settimana
- Foglio di esercizi della terza settimana
- Foglio di esercizi della quarta settimana
- Foglio di esercizi della quinta settimana
- Foglio di esercizi della sesta settimana
- Foglio di esercizi della settima settimana
- Foglio di esercizi dell'ottava settimana
- Foglio di esercizi della nona settimana
- Foglio di esercizi della decima settimana
- Foglio di esercizi dell'undicesima settimana
- Orario lezioni:
- - martedì: 12:00 - 13:30 (Aula D), giovedì: 8:30 - 10:00 (Aula B1), venerdì: 12:00 - 13:30 (Aula B2)
- Ricevimento:
- - per appuntamento alessandro.giuliani@uniroma3.it, marco.barbieri@uniroma3.it
- - per appuntamento alessandro.giuliani@uniroma3.it, marco.barbieri@uniroma3.it
Esami ed esoneri
- Primo esonero (5/11/2025): Testo
Testi consigliati
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Testi principale di riferimento:
- [BEM] D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei: Matematica
per le scienze della vita, Ed. Ambrosiana.
- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Testi di esercizi:- [MSes] P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. primo, parti prima e seconda, Ed. Liguori.
- [SS] S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Ultima modifica 14/12/2025