ELEMENTI DI MATEMATICA PER LE GEOSCIENZE
AA 2025-2026 - I Semestre (Docenti: Alessandro Giuliani, Marco Barbieri)
Diario delle lezioni
Lezioni 1 e 2 [23/9/2025] Primitiva di una funzione. Legame tra primitiva e area sottesa al grafico della funzione. Definizione di integrale definito. Metodo di esaustione. Somme di Riemann inferiori e superiori. Integrale definito come "area con segno". Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo dell'area sottesa a una parabola tra 0 e T come limite delle somme di Riemann inferiore e superiore. Verifica che tale area, uguale a T3/3, coincide con la differenza F(T)-F(0), dove F è una qualsiasi primitiva di x2.
Lezioni 3 e 4 [24/9/2025] Linearità e proprietà elementari degli integrali. Definizione di integrale indefinito. Integrali indefiniti di potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche sin x, cos x, 1/cos2x.
Esercitazioni 1 e 2 [26/9/2025] Esempi ed esercizi: l'integrale di x1/4 tra 0 e 5, confronto tra il valore esatto e le somme di Riemann inferiori e superiori di ordine n=5 e n=10. Verifica del teorema fondamentale del calcolo integrale per la funzione f(x)=|x-1|: calcolo della funzione A(x) (integrale definito di f tra 0 e x), verifica che A'(x)=f(x) e interpretazione geometrica di A(x) in termini di area sottesa al grafico di f tra 0 e x.
Lezioni 5 e 6 [30/9/2025] L'integrale indefinito di 1/(1+x2) (richiami sulla definizione di funzione inversa, in particolare di arcotangente, e di derivata di funzione inversa). Regola di integrazione per parti. Esempi ed esercizi.
Lezioni 7 e 8 [2/10/2025] Regola di integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali: caso di denominatore di grado 1; caso di denominatore di grado 2 con due radici reali distinte; caso di denominatore di grado 2 con due radici reali coincidenti. Esempi ed esercizi.
Esercitazioni 3 e 4 [3/10/2025] Integrazione delle funzioni razionali: caso di denominatore di grado 2 senza radici reali. Esempi ed esercizi.
Lezioni 9 e 10 [7/10/2025] Integrali impropri su intervalli al cui bordo la funzione integranda diverge (ad es., integrale di x-p su [0,1]) e su domini illimitati (ad es., integrali di x-p e di e-x su [1,+∞)). Esempi ed esercizi.
Lezioni 11 e 12 [9/10/2025] Funzioni in due variabili a valori scalari e vettoriali. Dominio e codominio. Grafico di una funzione scalare in due variabili. Curve di livello. Derivate parziali nella direzione x e nella direzione y. Gradiente. La derivabilità di una funzione in due variabili non implica la sua continuità.
Esercitazioni 5 e 6 [10/10/2025] Elementi di algebra delle matrici: moltiplicazione righe per colonne; interpretazione geometrica dell'azione di una matrice su un vettore come trasformazione lineare; autovalori e autovettori.
Lezioni 13 e 14 [14/10/2025] Differenziabilità per funzioni in due variabili a valori scalari. Funzioni con derivate parziali continue sono differenziabili. Derivata direzionale e piano tangente per funzioni differenziabili. Derivate di ordine superiore, matrice Hessiana. Esempi.
Lezioni 15 e 16 [16/10/2025] Ancora esempi su derivate parziali seconde. Teorema di Schwarz: funzioni con derivate parziali seconde continue hanno le derivate incrociate uguali a due a due. Esempio: identificazione delle curve di livello per f(x,y)=6x2+4xy+9y2 come ellissi con assi principali oreintati come gli autovettori della matrice Hessiana, con curvature principali uguali agli autovalori della marice Hessiana; verifica che il gradiente è in ogni punto ortogonale alle curve di livello.
Esercitazioni 7 e 8 [17/10/2025] Calcolo del gradiente e delle curve di livello per le funzioni f(x,y)=ye-x e f(x,y)=1/√(x2-y). Verifica che il gradiente è in ogni punto ortogonale alla curva di livello passante in quel punto.
Lezioni 17 e 18 [21/10/2025] Massimi e minimi relativi e assoluti di funzioni in due variabili. Condizione necessaria: un massimo o minimo relativo interno è stazionario, ovvero ha gradiente nullo. Condizione sufficiente: un punto stazionario interno in cui la matrice Hessiana ha entrambi gli autovalori positivi (rispettivamente negativi) è un minimo (rispettivamente massimo) relativo; un punto stazionario interno in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo è un punto di sella. Matrici simmetriche 2x2 definite positive, definite negative o indefinite. Criterio necessario e sufficiente per stabilire la natura di se una matrice simmetrica 2x2: se il determinante è positivo e gli elementi sulla diagonale principale sono positivi (rispettivamente negativi) allora è definita positiva (rispettivamente negativa); se il determinante è negativo allora è indefinita, con un autovalore positivo e uno negativo. Esempi ed esercizi.
Lezioni 19 e 20 [23/10/2025] Massimi e minimi in una regione chiusa e limitata del piano: confronto tra minimi e massimi relativi interni e minimi e massimi sul bordo. Esempi ed esercizi. Introduzione agli integrali curvilinei di forme differenziali associate a campi vettoriali. Esempi di campi vettoriali di forze: il campo gravitazionale. Il lavoro effettuato da una forza lungo un cammino orientato.
Esercitazioni 9 e 10 [24/10/2025] Integrale curvilineo di una forma differenziale associata a un campo vettoriale lungo una curva orientata: definizione e forma esplicita nel caso in cui la curva sia espressa in forma cartesiana o parametrica. Esempi. Un primo esempio di indipendenza dell'integrale nel caso in cui il campo vettoriale sia conservativo, ovvero sia il gradiente di una funzione scalare.
Lezioni 21 e 22 [28/10/2025] Forze conservative e energia potenziale. Il lavoro di una forza conservativa lungo un cammino chiuso è nullo. Condizione di chiusura come condizione necessaria affinchè un campo vettoriale sia conservativo. Esempi di campi vettoriali non chiusi (e quindi non conservativi). Esempio di un campo vettoriale chiuso e conservativo: calcolo della primitiva del campo. Esempio di un campo chiuso ma non conservativo.
Lezioni 23 e 24 [30/10/2025] Definizione di dominio semplicemente connesso. Teorema (solo enunciato): un campo vettoriale chiuso su un dominio semplicemente connesso è anche conservativo. Ancora sull'esempio di campo chiuso ma non conservativo discusso nella lezione del 28/10 (in cui F1(x,y)=-y/(x2+y2), F2(x,y)=x/(x2+y2)): calcolo della primitiva in un sottoinsieme D' semplicemente connesso del dominio massimale di definizione del campo; calcolo dell'integrale su un cammino chiuso attorno all'origine usando la primitiva del campo su D'. Altri esercizi ed esempi di integrali curvilinei di campi vettoriali chiusi su domini semplicemente connessi.
Esercitazioni 11 e 12 [31/10/2025] Simulazione d'esonero: Testo
Lezioni 25 e 26 [11/11/2025] Integrazione in due variabili: definizione dell'integrale definito in termini di limiti di somme di Riemann. Integrale definito di f(x,y) come volume con segno della regione sottesa dal grafico di z=f(x,y). Come calcolare un integrale definito in due variabili su un dominio rettangolare. Teorema di Fubini (solo enunciato): l'ordine di integrazione (prima rispetto a x e poi rispetto a y, o viceversa) dà lo stesso risultato. Esempi: integrali doppi di y2-2x2, di xyex2y e di ex/y/y3 su domini rettangolari.
Lezioni 26 e 27 [13/11/2025] Esempi sul calcolo di integrali doppi in domini non rettangolari (triangolari e semicircolari), verifica dell'indipendenza del risultato dall'ordine di integrazione (teorema di Fubini). Un primo esempio di uso delle coordinate polari negli integrali doppi.
Esercitazioni 13 e 14 [14/11/2025] Uso delle coordinate polari negli integrali doppi. Esempi ed esercizi. Il calcolo del volume del cilindro circolare retto in termini di un integrale doppio in coordinate polari.
Lezioni 28 e 29 [18/11/2025] Ancora esempi ed esercizi su integrali doppi in coordinate polari: il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione usando sezioni a r fissato o a z fissato. L'integrale Gaussiano.
Lezioni 30 e 31 [20/11/2025] La regola generale di cambio di coordinate negli integrali doppi. Matrice Jacobiana, determinante Jacobiano. Il caso delle coordinate polari. Un esempio di cambio di coordinate generali in un integrale doppio.
Esercitazioni 15 e 16 [21/11/2025] Un altro esempio di cambio di coordinate generali negli integrali doppi. Integrali tripli: definizione. Un esempio di integrale triplo su un parallelepipedo in coordinate cartesiane. Un esempio di integrale triplo su domini normali in coordinate cartesiane.
Fogli di esercizi
- Foglio di esercizi della prima settimana
- Foglio di esercizi della seconda settimana
- Foglio di esercizi della terza settimana
- Foglio di esercizi della quarta settimana
- Foglio di esercizi della quinta settimana
- Foglio di esercizi della sesta settimana
- Foglio di esercizi della settima settimana
- Foglio di esercizi dell'ottava settimana
- Orario lezioni:
- - martedì: 12:00 - 13:30 (Aula D), giovedì: 8:30 - 10:00 (Aula B1), venerdì: 12:00 - 13:30 (Aula B2)
- Ricevimento:
- - per appuntamento alessandro.giuliani@uniroma3.it, marco.barbieri@uniroma3.it
- - per appuntamento alessandro.giuliani@uniroma3.it, marco.barbieri@uniroma3.it
Esami ed esoneri
- Primo esonero (5/11/2025): Testo
Testi consigliati
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Testi principale di riferimento:
- [BEM] D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei: Matematica
per le scienze della vita, Ed. Ambrosiana.
- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Testi di esercizi:- [MSes] P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. primo, parti prima e seconda, Ed. Liguori.
- [SS] S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Ultima modifica 22/11/2025