AL210 - Algebra 2
a.a. 2011/2012
Crediti: 9
Docente: Francesca
Tartarone,
Dipartimento di Matematica, Stanza n. 309, tel. 06 57338228,
e-mail: tfrance@mat.uniroma3.it
Lezioni:
Lunedì 11-13 (Aula F), Giovedì 11-13 (Aula F).
Orario di ricevimento nel primo
semestre: Lunedì-Giovedì: ore 10-11
Esercitazioni:
Alice
Fabbri
Dipartimento di Matematica, Stanza n. 200, tel. 06 5733 8298,
e-mail: afabbri@mat.uniroma3.it
Orario
delle esercitazioni:
Venerdì: ore 14-16 (Aula F)
Orario
di ricevimento nel primo
semestre:
Venerdì dopo lezione.
Tutori:
Mirko
Moscatelli - Giorgio Scattareggia
Orario del tutorato: Lunedì: ore 9-11 (Aula F).
Avvisi
- Sono in rete i risultati dell'Appello X.
- Sono in rete i risultati
dell'Appello C.
Visione compiti: Lunedì 18 e Mrcoledì 20 Giugno, ore 11,30.
- Prenotazioni
per la prova orale - appello B (chi non è nell'elenco e deve
sostenere l'orale è pregato di farmelo sapere)
- Prenotazioni
per la prova orale - appello A (chi non è nell'elenco e mi ha
comunque
contattato via e-mail è pregato di farmelo sapere)
- Sono in rete i risultati dell'Appello A.
Visione compiti: Martedì 24 Gennaio, ore 11,30.
Orale: Giovedì 26 Gennaio o Giovedì 2 Febbraio. Prenotarsi via e-mail.
- Chi
è interessato a sostenere la prova orale prima dell’Appello A (tra
coloro che
hanno una votazione sufficiente in entrambi gli esoneri) deve
contattarmi via
e-mail entro Giovedì 12 Gennaio.
Chi
è interessato al Recupero del primo esonero deve prenotarsi via e-mail
entro e
non oltre le ore 13 di Venerdì 13 Gennaio.
ATTENZIONE:
Chi ha superato
gli esoneri deve comunque iscriversi per la
prova del 19 Gennaio attraverso il Portale dello Studente altrimenti
non gli potrà essere verbalizzato il voto finale.
- Venerdì
9 Dicembre ci sarà
l'esercitazione
- Il
secondo esonero è
fissato per il giorno 10 Gennaio 2012 alle ore 10.
- Lunedì
7 Novembre non ci sarà il tutorato.
- Venerdì
28 Ottobre
si
svolgerà un tutorato dalle 9 alle 1 in previsione dell'esonero.
- Giovedì
27 e
Venerdì
28 Ottobre verranno scambiate la lezione con l'esercitazione
(l'esercitazione si svolgerà Giovedi, ore 11-13, e la lezione si
svolgerà Venerdì, ore 14-16).
- La
prima prova di
valutazione in itinere è fissata per il giorno Venerdì 4 Novembre alle
ore 10.
- Lunedì
26
Settembre non ci sarà il tutorato. Il tutorato
comincerà Lunedì 3 Ottobre.
- Il
19
Settembre cominciano le lezioni ma NON il tutorato.
Testi
consigliati
- G.M.
Piacentini Cattaneo, Algebra,un approccio algoritmico,
Decibel -Zanichelli.
- D. Dikranjan - M.S. Lucido, Aritmetica e algebra,
Liguori.
Testi
avanzati
- I.N.
Herstein, Editori Riuniti.
- M. Artin, Bollati Boringhieri.
Sommario
Diario
delle lezioni
15/12: Campi finiti: costruzione ed esempi.
12/12: Dimostrazione del fatto che se A è un UFD anche A[X] è un UFD.
Estensioni di campi. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio
minimo di un elmento algebrico.
5/12: Ideali primi e massimali nei PID. K[X] è un dominio euclideo:
dimostrazione. Polinomi primitivi nell'anello A[X], dove A è un UFD.
1/12: Domini a Ideali
Principali (PID) e
domini Euclidei (ED). Esempi: Z, K[X], Z[i].
28/11: Minimo Comune Multiplo.
Colegamenti
fra MCD e mcm di due elementi. Lemma di Euclide negli anelli con il
MCD. I domini UFD hanno il MCD. Caratterizzazione degli UFD tramite le
catene ascendenti di ideali prinicipali.
24/11: Divisibilità fra elementi in un dominio di integrità. Elementi
associati, irriducibili e primi. Un elemento primo è sempre
irriducibile. Domini a fattorizzazione unica (UFD) e domini con il
Massimo Comun Divisore (MCD-domini).
Identità di bezout. Significato del MCD e dell'Identità di Bezout a
livello di ideali del dominio D. Lemma di Euclide. In un dominio di
Bezout ogni elemento irriducibile è anche primo.
21/11: Campo dei quozienti di un anello commutativo ed integro.
Caratteristica di un anello. Sottocampo fondamentale di un campo.
14/11: Teorema
di Krull sull'esistenza
degli ideali massimali in un anello unitario. Controesempio in un
anello non unitario. Omomomorfismi di anelli: prime proprietà ed
esempi.
10/11: Il quoziente di un ideale massimale è un campo. Relazioni fra
ideali primi e massimali. Lemma di Zorn.
7/11:
Relazioni
compatibili in un anello e corrispondenza con gli
ideali bilateri. Congruenza modulo un ideale bilatero. Anello
quoziente. Esempi in Z e negli anelli di polinomi.
Ideali primi e massimali in un anello. Il quoziente di un ideale primo
è un anello integro.
24/10:
Definizione di
anello: unitario,
commutativo, integro, campo o corpo. Esempi. Un domino finito è un
campo. Sottoanelli: definizione e prime
proprietà. Ideali: definizione
di ideale destro, sinistro o bilatero. Elementi invertibili
di un anello.
20/10:
Normalizzante di un sottogruppo:
prime proprietà ed esempi. Sottogruppi caratteristici: definizione e
prime proprietà. Prodotto diretto di gruppi.
17/10:
Teorema di Cauchy sull'esistenza di un elemento di ordine p. Classi di
coniugio in S_n: strutture cicliche.
13/10:
Azione
di un gruppo su un insieme. Esempi:
il coniugio. Orbite e stabilizzatori. Cardinalità delle orbite. Calcolo
del numero di orbite in un G-insieme X. Il centro di un p-gruppo non è
banale.
Un gruppo di ordine p^2 è sempre abeliano.
10/10:
Omomorfismi da Z_n in Z_m.
Teorema
di corrispondenza dei
sottogruppi tramite un omomorfismo di gruppi. Primo e secondo teorema
di
isomorfismo per i gruppi. Applicazioni.
7/10:
Gruppo quoziente. Teorema
Fondamentale di Omomorfismo per
i gruppi. Caratterizzazione dei gruppi ciclici di ordine infinito e
finito.
Centro di un gruppo. Automorfismi di un gruppo ed automorfismi interni.
3/10:
Omomorfismi di gruppi: prime
proprietà. Classi laterali
rispetto al nucleo di un omomorfismo. Relazioni compatibili di un
gruppo e sottogruppi normali.
Relazione di coniugio in un gruppo e caratterizzazione dei sottogruppi
normali
tramite i loro coniugati.
29/9:
Classi laterali di un sottogruppo.
Teorema di Lagrange e
suoi corollari (ordine di un elemento, esponente di un gruppo, ecc...).
Esempi.
Teorema di Cayley.
26/9:
Parità di una permutazione. Gruppi
diedrali.
22/9:
Sottogruppi di un gruppo ciclico:
struttura e
cardinalità. Gruppi simmetrici: scomposizione in cicli di una
permutazione,
ordine di una permutazione, trasposizioni.
19/9:
Definizione di gruppo. Notazione additiva e
moltiplicativa. Unicità dell'elemento neutro e dell'inverso. Gruppi
numerici e
di matrici. Ordine di un elemento. Sottogruppi. Sottogruppi generati da
un
insieme X.
Descrizione
breve del
corso
Gruppi:
Gruppi di permutazioni, diedrali, ciclici. Sottogruppi. Classi laterali
e
teorema di Lagrange. Omomorfismi. Sottogruppi normali e gruppi
quoziente.
Teoremi di omomorfismo.
Anelli: Anelli, domini, corpi e campi. Sottoanelli, sottocampi e
ideali.
Omomorfismi. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo. Ideali primi e
massimali.
Campo dei quozienti di un dominio. Divisibilità in un dominio. Campi:
Estensioni di campi (semplici, algebriche e trascendenti). Campo di
spezzamento
di un polinomio (cenni). Campi finiti.
Esercitazioni
Tutorato
Esoneri
Appelli
Modalità
di esame
Gli
esami consistono in una prova scritta ed una orale.Gli
studenti che hanno sostenuto; nel corso del semestre le prove
di valutazione parziale (``esoneri'') con una
votazione superiore o uguale a 15/30 devono sostenere la prova orale
durante gli Appelli A e B. Gli studenti che non la
sosterranno "perderanno" gli esoneri.
E' prevista una prova di
recupero del I esonero durante l'appello A.
Per tutti gli studenti che non
si avvalgono della possibilità di
sostenere gli esoneri, l'esame finale consisterà in una prova scritta
che dovrà essere superata con una votazione superiore o uguale a 15/30
ed una prova orale. Si noti che in presenza di una valutazione positiva
delle prove
parziali durante il corso l'eventuale consegna da parte dello studente
di una successiva prova scritta di esame comporta la rinuncia implicita
al "voto di esonero'' (cioè "se si consegna l'esame scritto si perde
il voto dell'esonero"). Pertanto, in tal caso, la valutazione del
profitto del corso sarà effettuata in base alla prova d'esame.