- Diario delle lezioni
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Lezioni 1 e 2 [25/9/06, 62 studenti in classe]
I numeri reali R, ordinamento totale dei numeri reali,
proprietà della somma e del prodotto dei numeri reali,
proprietà di compatibilità della somma e del prodotto con
l'ordinamento sui numeri reali. La nozione di campo totalmente
ordinato. I numeri naturali N, i numeri interi Z e i
numeri razionali Q come sottoinsiemi di R. I numeri
razionali non contengono
√2. Il valore assoluto.
- Lezioni 3 e 4 [26/9/06, 59 studenti in classe]
Proprietà del modulo dei numeri reali, disuguaglianza triangolare. Distanza tra numeri reali, proprietà
fondamentali della distanza di numeri reali (disuguaglianza triangolare), intorni sferici. Notazioni della teoria degli insiemi
(unione ∪,
intersezione ∩ e
complementare di sottoinsiemi di R). La nozione di sezione su R. L'assioma di Dedekind (o continuità
dei numeri reali). I numeri razionali non soddisfano l'assioma di Dedekind (inizio).
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- Esercitazioni 1 e 2 [27/9/06, 58 studenti in classe]
I numeri razionali non soddisfano l'assioma di Dedekind (fine). Esercizi dal libro di Giusti [G]: 2.2(a), 2.2(b), 2.2(g), 2.4(a,b,c).
Esercizio: Dimostrare che se se a,b ∈ R+ allora
a ≥ b ⇔ a2 ≥ b2.
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- Lezioni 5 e 6 [28/9/06, 62 studenti in classe]
Insiemi superiormente limitati e inferiormente limitati.
Maggioranti, minoranti, massimi e minimi di sottoinsiemi di R. Esempi. Definizione di estremo superiore e estremo inferiore.
Proprietà dell'estremo superiore.
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- Esercitazioni 3 e 4 [29/9/06, 61 studenti in classe]
Esercizio: dimostrare che l'insieme dei minoranti di un insieme limitato inferiormente ammette massimo. Esercizi dal libro di
Giusti [G]: 2.5, 2.6, 2.8(a), 2.11. 3.1(a), 3.1(c), 3.1(d), 3.1(e). 4.1(a,b,c,d).
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- Lezioni 7 e 8 [2/10/06, 62 studenti in classe]
Caratterizzazione dell'estremo superiore. Densità dei razionali nei reali (tra due reali c'è sempre un razionale). Teorema di permanenza
del segno per polinomi, Teorema dell'esistenza degli zeri per polinomi, Esistenza e unicità delle radici n-esime positive dei
numeri reali positivi.
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- Lezioni 9 e 10 [4/10/9/06, 54 studenti in classe]
Teorema dell'esistenza degli zeri per polinomi (fine). Insiemi aperti di R. Esempi. L'unione di una qualsiasi famiglia di aperti è un aperto.
L'intersezione di due aperti è aperto.
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- Esercitazioni 5 e 6 [5/10/06, 51 studenti in classe]
L'intersezione di un numero finito di aperti è aperto. Esempi di insiemi aperti e non aperti. Insiemi chiusi, punti di accumulazione e
derivato di un sottoinsieme di R. Esempi e controesempi. Il caso degli intervalli (chiusi e aperti). Esercizi dal libro di Giusti
[G]: 4.1 (e,f), 5.1.
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- Lezioni 11 e 12 [6/10/06, 46 studenti in classe]
Proprietà dei punti di accumulazione e del derivato. Caratterizzazione dei chiusi mediante i punti di accumulazione.
Il Teorema di Bolzano Weierstrass e sua dimostrazione. Esempi. I numeri complessi: somma e prodotto di numeri complessi, inverso di un
numero complesso non nullo. I numeri complessi sono un campo (soddisfano gli assiomi (B), (C) e (BC)).
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- Lezioni 13 e 14 [9/10/06, 46 studenti in classe]
Proprietà dei numeri complessi: parte reale, parte
immaginaria, coniugato. Norma, metrica complessa e
proprietà. Piano di Gauss, argomento di un numero complesso.
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- Lezione 15 e Esercitazioni 7 [10/10/06, 39
studenti in classe]
Argomento di un mumero complesso, forma trigonomerica (o polare) dei numeri complessi,
Formula di Eulero (ei π +1 = 0). Radici n-esime dei numeri complessi non nulli, esistenza e formule per
il calcolo. Esercizi dal Giusti [G]: 8.1, 8.6 e 8.8.
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- Esercitazioni 8 e Lezione 16 [11/10/06, 42
studenti in classe]
Esercizi dal Giusti [G]: 8.3, 8.8, 8.9(a,c). - Il Principio di Induzione. Esempi: 1 + 2 + ... + n = (n2 -
n)/2. 12 + 22 + ... + n2 =
(n(n + 1)(2n + 1))/6. (1+h)n≥1+hn (se h≥-1).
Il Fattoriale e i coefficienti binomiali). Il binomio di Newton (inizio).
- Lezioni 17 e 18 [12/10/9/06, 41 studenti in classe]
Il binomio di Newton (fine). Il triangolo di Tartaglia. Successioni di numeri reali. Esempi. La nozione di
limite di successione. Esempi.
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- Lezioni 19 e 20 [13/10/06, 44 studenti in classe]
Definizione di limite di una successione. Esempi. Limiti notevoli: 1/n, an, n1/n, p1/n,
(n+1)1/2-n1/2.....
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- Lezioni 21 e 22 [16/10/06, 47 studenti in classe]
Unicità del limite, le successioni convergenti sono limitate. Operazioni sulle successioni: somme prodotti e
quozienti di successioni convergenti e divergenti. Forme indeterminate nel calcolo dei limiti. Esempi. La successione
notevole an = na-n. Il Teorema dei Carabinieri (inizio).
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- Esercitazione 9 e 10 [17/10/06, 44 studenti in classe]
Dimostrazione del Teorema dei Carabinieri
e della permanenza del segno per successioni. Esempi: 4.1, 4.2 e 4.3 Esercizi dal Giusti [G]: 2.1 (a,b,c,d,e), 2.2 (a,b,c,d,g), 4.4 (a).
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- Lezioni 23 e 24 [18/10/06, 45 studenti in classe]
Serie, serie convergenti, serie divergenti e
serie indeterminate. Esempi: la serie geometrica. Successioni monotone e definitivamente monotone. Il limite di una successione crescente
è il suo estremo superiore. Serie a termini positivi. Criterio del confronto per serie sa termini positivi. Esempio. Il numero di Nepero e.
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- Lezioni 25 e 26 [19/10/06, 41 studenti in classe]
Il numero di Nepero come limite di
(1+1/n)n. Il numero di Nepero non è razionale. Calcolo approssimato del numero di Nepero. Potenze con esponente
reale. Proprietà delle potenze con esponenti razionali. Definizione di potenza con esponente reale (inizio)
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- Esercitazione 11 e 12 [20/10/06, -- studenti in classe]
Definizione di potenza con esponente reale (fine). Esercizi dal Giusti [G]: 4.4 (a..g), 6.1, 6.5, 6.6.
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- Lezioni 27 e 28 [23/10/06, 47 studenti in classe]
Definizione di Maggiornate e minorante definitivo.
Esempi. Definizione di Massimo e Minimo limite. Una successione converge se e solo se il massimo e minimo limite coincidono. Due diverse
caratterizzazioni di massimo e minimo limite. Esercizio dal Giusti [G]: 8.9(e)
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- Lezioni 29 e 30 [24/10/06, 41 studenti in classe]
Criteri di convergenza e divergenza per serie a termini positivi. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Esempi. Criterio di Cauchy per
serie a termini decrescenti e positivi. Esempi: La somma 1/na.
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- Esercitazione 13 e 14 [25/10/06, 44 studenti in classe]
Esercizi dal Giusti [G]: 8.9(h) pag 46, trovare
le soluzioni di:
(z+i)2=(i+31/2)3, 7.1, 7.2, 7.3 pag. 79, 10.1 pag 88, 14.1 pag. 104 (inizio).
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- Lezioni 31 e 32 [26/10/06, 42 studenti in classe]
Serie a segno variabile, il Teorema
dell'assoluta convergenza, serie assolutamente convergenti, Esempi. Esercizi.
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- Esercitazioni 15 e 16 [27/10/06, 44 studenti in classe]
Serie a segni alterni. Il criterio di Leibnitz. Esempi. Esercizi dal Giusti [G].
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- Lezioni 33 e 34 [30/10/06, 45 studenti in classe]
Serie telescopiche. Teorema
di Weierstrass (da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente). Successioni di
Cauchy. Una successione è di Cauchy se e solo se è convergente.
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- Esercitazione 17 e 18 [31/10/06, 33 studenti in classe]
Esercizi da [G]: 14.1 (fine); 14.4; 15.1; 15.3 (e), (f). Formula di Stirling (senza dimostrazione).
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- Esercitazione 19 e 20 [2/11/06, 34 studenti in classe]
Es. 1: costruire una successione che abbia tre sottosuccessioni non definitivamente costanti che tendano a tre limiti diversi.
Es. 2: data una successione arbitarria trovare una sottosuccessione che converga al massimo limite.
Es. 3: dimostrare che lim (1+1/(n+1))n=e=lim (1+1/n)(n+1).
Es. 4: dimostrare che se an è una successione monotona di numeri positivi che tende all'infinito allora
lim (1+1/an)an=e.
Es. 5: dimostrare che se x>0 allora lim (1+x/n)n=e.
Es. 6: dimostrare che se x è un numero reale allora lim (1+x/n)n=e.
Esercizio 15.3 (g) da [G].
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- Lezioni 35 e 36 [3/11/06, 33 studenti in classe]
Nozione primitiva di funzione reale di variabile reale.
Dominio, codominio, immagine.
Grafici. Esempi (polinomi, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche).
Funzioni invertibili. Sup, inf, massimo e minimo di funzioni.
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- Esercitazioni 21 e 22 [6/11/06, 35 studenti in classe]
Test in classe di preparazione alla prova d'esonero.
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- Esercitazioni 23 e 24 [8/11/06, 41 studenti in classe]
Test in classe (prima prova d'esonero).
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- Lezioni 37 e 38 [9/11/06, 38 studenti in classe]
Limite di funzioni. Esempi. limx → 0 (sin x)/ x =1. Teorema: f(x) tende ad L per x che tende a xo
se e solo se per ogni successione xn nel dominio di f privato di xo, la successione f(xn)
tende a L. Alcune conseguenze (operazioni con i limiti; il teorema dei carabinieri).
- Esercitazione 25 [13/11/06, 35 studenti in classe]
limx → 0 (1-cos x)/ x2= 1/2. limx → xo Ax =A xo;
(A>0). Es. 4.2 (primi due limiti), [G].
- Lezione 39 [13/11/06, 35 studenti in classe]
Limiti sulla retta ampliata (definizione in termini di intorni).
Teorema della permanenza del segno. limx → ∞ ex =∞ (segue da ex>x).
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- Lezioni 40 e 41 [14/11/06, 35 studenti in classe]
Limite destro e sinistro. Esistenza dei limiti destri/sinistri per funzioni monotone. Il massimo e minimo limite di una funzione.
Esempi.
limx → xo log x = log xo (per ogni xo > 0).
- Esercitazioni 26 e 27 [15/11/06, 34 studenti in classe]
Esercizi da [G]: 4.2 (fine); 4.3; 4.6; 4.7; 4.8.
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- Lezioni 42 e 43 [16/11/06, 34 studenti in classe]
Definizione di continuità. Caratterizzazione della continuità tramite successioni. Teorema della permanenza del
segno. Somma, prodotto, rapporto e composizione di funzioni continue. I polinomi, i rapporti di polinomi (nel loro dominio di
definizione), l'esponenziale, il logaritmo, il seno ed il coseno sono funzioni continue.
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- Lezione 44 [17/11/06, 33 studenti in classe]
Teorema dell'esistenza degli zeri per funzioni continue: dimostrazione costruttiva (metodo
di bisezione). Teorema dei valori intermedi: una funzione continua su di un intervallo assume tutti i valori compresi tra l'estremo
superiore e l'estremo inferiore dei suoi valori. L'immagine secondo una funzione continua di un intervallo è un intervallo.
- Lezione 28 [17/11/06, 33 studenti in classe]
Determinazione di radici di un polinomio di terzo grado a meno della seconda cifra decimale. Esercizi da [G02]: 7.1, 7.3.
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- Lezione 45 [20/11/06, 35 studenti in classe]
Un sottoinsieme E di R non è aperto se e solo se esiste una successione in Ec (complementare
di
E) convergente a xo in E.
Un sottoinsieme E di R non è chiuso se e solo se esiste una successione in E
convergente a xo in Ec.
Un sottoinsieme E di R è chiuso se e solo ogni successione in E convergente
ha limite in E.
Un sottoinsieme E di R è di dice compatto (per successioni) se da ogni successione in E
è possibile estrarre una sottosuccessione
convergente con limite in E.
Un sottoinsieme E di R è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
- Esercitazione 29 [20/11/06, 35 studenti in classe]
Es. 1 (numerazione dei razionali in [0,1]): Sia
r1 = 0,
r2 = 1,
r3 = 1/2,
r4 = 1/3,
r5 = 2/3,
r6 = 1/4,.... Determinare
r100 .
Es. 2: limx → 0 (1+x)1/x=e.
Es. 3: limx → 0 (1/x) log (1+x)=1.
Es. 3: limx → 0 (ex -1)/x =1.
Es. 4: limx → 0 (ax - bx)/x =log(a/b), per ogni a,b>0.
Esercizio 7.3, 10 da [G02].
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- Lezioni 46 e 47 [21/11/06, 35 studenti in classe]
Una funzione continua su un compatto assume massimo e minimo
(teorema di Weierstrass).
Una funzione continua su un compatto e iniettiva ha inversa continua. Uniforme continuità. Una funzione continua su un
compatto è uniformemente continua. Esempi.
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- Lezione 48 [22/11/06, 32 studenti in classe]
Definizione di derivata. Retta tangente nel punto ( xo, f(xo)) al grafico di una funzione differenziabile in xo.
Sia f una funzione continua in xo, allora
limx →xo (f(x)- α x - β)/(x-xo) =0 se e solo se f è differenziabile in
xo e α = f '(xo) e β= f(xo)- f '(xo) xo.
- Esercitazione 30 [22/11/06, 32 studenti in classe]
Calcolo delle derivate delle funzioni: xn; 1/x; √ x; ex; log x; senh x; cosh x; sen x; cos x.
Es 1.: sia
s1 = 0,
s2 = 1,
s3 = 0,
s4 = 1/2,
s5 = 1,
s6 = 0,
s7 = 1/3,
s8 = 2/3,
s9 = 1,
s10 = 0,
s11 = 1/4,
s12 = 1/2,
s13 = 3/4,... Calcolare
s1000000.
Risposta all'Es. 1 del 20/10/06: r100 = 7/18.
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- Lezione 49 [23/11/06, 33 studenti in classe]
Una funzione derivabile in x è continua in x.
Regole di derivazione (derivazione di somme, prodotti, reciproco, inversa, composizione di funzioni derivabili).
- Esercitazione 31 [23/11/06, 33 studenti in classe]
Derivata di: tan x, cotan x, arcsin x, log x (tramite la regola della derivazione di funzione inverse).
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- Lezione 50 [24/11/06, 31 studenti in classe]
Se xo è un punto interno ed è di massimo o minimo relativo per una funzione
f derivabile in xo, allora f '( xo)=0. Esempi e applicazioni al calcolo di massimi e minimi.
- Esercitazione 32 [24/11/06, 31 studenti in classe]
Esempio di una funzione derivabile in [0,1], non costante e con infiniti punti critici.
Derivata di: xa, ax, xx, arctan x.
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- Lezione 51 [27/11/06, 33 studenti in classe]
Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange su funzioni derivabili in un intervallo.
Una funzione continua su [a,b] e derivabile in (a,b) è crescente se e solo se
ha derivata non negativa in (a,b).
- Esercitazione 33 [27/11/06, 35 studenti in classe]
Derivata di log |x|. Esercizi da [G02]: 8.8 (1, 4); 8.14 (8).
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- Lezione 52 [28/11/06, 33 studenti in classe]
Se una funzione ha derivata nulla su di un intervallo allora è costante. Teoremi di de l'Hopital.
- Esercitazione 34 [28/11/06, 31 studenti in classe]
Calcolo del modulo di continuità per funzioni derivabili usando la formula di Lagrange ed esempi.
Esercizio 8.21 da [G02].
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- Lezioni 53 e 54 [29/11/06, 27 studenti in classe]
Definizione analitica e geometrica delle funzioni iperboliche e loro grafici. Calcolo delle derivate delle funzioni iperboliche e
delle loro
inverse. Asintoti verticali e obliqui. Esempi. Il grafico di y=(x2-1)1/2.
Dimostrazione della formula ex= Σk≥0 (xk/k!).
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- Esercitazioni 35 e 36 [30/11/06, 28 studenti in classe]
Equazione della retta tangente al grafico di una funzione y=f(x) passante per il punto (xo,f((xo)).
Esercizi da [G02]: 8.9; 8.10; 8.11; 8.13 (11). Grafici di y=1/(1+x), y=x2 - 4x + 3.
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- Esercitazioni 37 e 38 [1/12/06, 28 studenti in classe]
Esercizi da [G02]: 8.13 (5, 6); 8.15. Grafico di ex e di 7 cos x+ sen 2 x in [0,π].
Soluzione dell'esercizio 1 assegnato il 22/11/2006: s1000000= 1009/1413; in generale,
se dN:= [((9+8N)1/2-3)/2)] e bN:= dN (dN+3)/2
allora
sN=0 se N=bN e sN=(N - bN - 1)/(dN + 1) se N > bN.
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- Lezioni 55 e 56 [4/12/06, 25 studenti in classe]
Derivate successive. f, f', f" continue su (a,b), f'(xo)=0 e f"(xo)>0 implica che xo è un minimo relativo
stretto
per f in (a,b).
Funzioni convesse. Una funzione convessa è continua.
Una funzione derivabile è convessa se e solo se il suo
grafico è sopra ogni retta tangente al grafico. Una funzione derivabile due volte è convessa se e solo se f" non è negativa.
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- Lezione 57 [5/12/06, 32 studenti in classe]
Formula di Taylor (con resto di Lagrange).
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- Esercitazione 39 [5/12/06, 32 studenti in classe]
Applicazioni della formula di Taylor. Polinomi di Taylor di ex, log (1+x), sen x, cos x.
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- Lezione 58 [6/12/06, 27 studenti in classe]
Funzioni semplici (o costanti a tratti). Integrale di funzioni semplici.
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- Esercitazione 40 [6/12/06, 27 studenti in classe]
Es 1: Grafico di x2 e-x. Es 2: Grafico di e-x2. Es 3: Dimostrare che sen x =
Σk≥0 (-1)k
x2k+1/(2k+1)!.
Es 4: Trovare M tale che |x|2n+1/(2n+1)! ≤ 10-6 per ogni n≥ M.
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- Lezione 59 [7/12/06, 27 studenti in classe]
Definizione di integrale superiore ed integrale inferiore per funzioni limitate. Definizione di integrale di Riemann.
La funzione caratteristica dei razionali in [0,1] ha integrale inferiore uguale a 0 ed integrale superiore uguale ad 1 (e quindi
non è integrabile secondo Riemann).
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- Esercitazione 41 [7/12/06, 27 studenti in classe]
Es 1: ("mini Stirling") nn ≥ n! ≥ (n/e)n.
Massimo e minimo assoluto di f(x)=xn e- x e suo grafico.
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- Lezioni 60 e 61 [11/12/06, 25 studenti in classe]
Caratterizzazioni dell'integrabilità ("caratterizzazione con gli epsilon" e caratterizzazione tramite successioni di funzioni
semplici). Linearità e positività dell'integrale di Riemann. Parte positiva e parte negativa di una funzione:
f= f+ -f- e |f|=f++f-.
Se f ≤ g, allora f+ ≤ g+ e g- ≤ f-.
Se f è integrabile anche f+, f- e |f| sono integrabili.
Se f è integrabile |∫ f | ≤ ∫ |f|.
Es: Sia f la funzione che vale 1 sui razionali e - 1 sugli irrazionalil. Calcolare l'integrale superiore ed inferiore di f su
[0,1).
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- Lezione 62 [12/12/06, 26 studenti in classe]
Una funzione continua e limitata su di un intervallo è ivi integrabile.
Una funzione monotona e limitata su di un intervallo è ivi integrabile.
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- Esercitazione 42 [12/12/06, 26 studenti in classe]
Dimostrare, usando la formula di Taylor, che
Σk≥1 (-1)k-1
xk/k= log(1+x) per ogni |x| ≤ 1/2.
Grafico di x/(1-x) in [0,1).
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- Lezione 63 [13/12/06, 24 studenti in classe]
Additività dell'integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Area di figure piane delimitate da grafici di
funzioni integrabili.
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- Esercitazione 43 [13/12/06, 24 studenti in classe]
Integrale di xn. Integrale di cos2x tra 0 e π.
Integrale tra 0 e ∞ di: xe-x, 1/(1+x2).
Integrale tra 1 e ∞ di: 1/x e 1/x2.
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- Lezione 64 [14/12/06, 27 studenti in classe]
Teorema della media integrale. Teorema del cambio di variabile ("sostituzioni"). Integrazione per parti.
Definizione di integrale indefinito e primitiva.
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- Esercitazione 44 [14/12/06, 27 studenti in classe]
Calcolo dell'area del cerchio unitario. L'integrale tra 0 e ∞ di xn e - x è n!
Integrale su [0,L) e su [0,∞) di Σi≥1 (1/i)2 χ[i-1,i).
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- Esercitazioni 45 e 46 [18/12/06, 19 studenti in classe]
Studio del grafico di una funzione. Esempi dal testo di Giusti [G]: 10.4, 10.5, 10.6. Esercizio 10.4(1)pag. 385.
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- Lezioni 65 e 66 [19/12/06, 25 studenti in classe]
Definizione di seno e coseno per serie. Teorema sulla derivazione di serie. Derivate di seno e coseno. cos2x+sen2x=1.
Conservazione dell'energia per l'oscillatore armonico e, come conseguenza, formule di addizione per il seno e coseno.
cos(2)<-1/3. Zeri del coseno e definizione di π ( = doppio del primo zero positivo del coseno). Grafici di cos x e sen x.
Lunghezza di un grafico di una funzione C1. Se (x,y) è un punto sul cerchio unitario con y>0 e se t è la lunghezza
del grafico di (1-ξ2)1/2 per ξ in (x,1) allora x = cos t e y = sen t.
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- Esercitazioni 47 e 48 [20/12/06, 23 studenti in classe]
Integrazione. Integrazione per sostituzione e integrazione per parti. Esempi: 9.10, 9.11, 9.12. Esercizi vari. Esempi:
9.13, 9.14, 9.15, 9.16, 9.17, 9.18.
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- Esercitazioni 49 e 50 [21/12/06, 26 studenti in classe]
Calcolo delle aree mediante integrali: Esempio 9.9. Integrazione delle funzioni razionali: Esempi. 9.19, 9.20, 9.21, 9.22.
Metodo generale per l'integrazione di una funzione razionale in cui il denominatore ha solo radici reali semplici.
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- Esercitazioni 51 e 52 [22/12/06, 26 studenti in classe]
Ancora sull'integrazione delle funzioni razionali: Esempi: 9.23, 9.24, 9.25, 9.26. Metodo generale per l'integrazione
di una funzione razionale. Ancora integrali per sostituzione. Esempi: 9.27, 9.28. Integrazione di funzioni in seno e coseno:
sostitituzione per trasformare un integrale in seno e coseno in un integrale di una funzione razionale. Esempio 9.29 e
Esercizio 6 (pag 346). Polinomi di Taylor: metodi per il calcolo di polinomi di Taylor. Esempi vari.
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- Esercitazioni 53 e 54 [8/1/07, 25 studenti in classe]
Polinomi di Taylor. Esempi di calcolo dei polinomi di Taylor, esponenziale, seno, coseno, tangente, logaritmo, funzioni razionali, ...
Altre tecniche.
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- Esercitazione 55 [9/1/07, 28 studenti in classe]
Uso del polinomio di Taylor per il calcolo dei limiti. Esercizi vari.
Calcolo approssimato del valore delle funzioni (parte uno). Calcolo approssimato di cos(1).
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- Esercitazioni 56 e 57 [10/1/07, 27 studenti in classe]
Calcolo approssimato del valore delle funzioni (parte due). Stima dei resti (cos(1), pi greco, log(2),...).
Metodo di Newton per il calcolo approssimato delle radici delle funzioni. Esempi. Ancora esercizi sugli integrali.
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- Esercitazioni 58 e 59 [11/1/07, 26 studenti in classe]
Criterio integrale per serie a termini positivi. Esempi e esercizi. Lunghezza di una curva definita da un grafico. Lunghezza di un asteroide.
Lunghezza di un arco di parabola. Esempi e Esercizi vari.
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- Esercitazioni 60 e 61 [12/1/07, 29 studenti in classe]
Calcolo della lunghezza delle curve. Lunghezza di un arco di esponenziale. Esercizi vari dal testo di Demidovic.
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- Esercitazioni 62 e 63 [18/1/07, 21 studenti in classe]
Esercitazione scritta in preparazione del II esonero.
