Analisi Matematica 1
(canale fi-k)

Docente: Prof. Pierpaolo Esposito

Testi di riferimento
Esoneri e compiti d'esame
I esonero, giovedì 19/12/2019, ore 14-16.
Argomenti
II esonero-I appello, venerdì 31/1/2020, ore 9-11.
Argomenti

 Diario delle lezioni
Lezione 1 (1/10/2019): Richiami sulla costruzione dei numeri interi Z e razionali Q a partire dai numeri naturali N; assenza di radici quadrate in Q; massimo, maggiorante ed estremo superiore di un insieme. Costruzione assiomatica dei numeri reali R ed assioma dell'estremo superiore.
Lezione 2 (2/10/2019):  Costruzione dei numeri naturali N come il più piccolo insieme induttivo, principio di induzione ed esempi; disuguaglianza di Bernoulli; proprietà di Archimede.
Lezione 3 (3/10/2019): Calcolo combinatorio: permutazioni e disposizioni; formula del binomio di Newton tramite combinatoria, triangolo di Tartaglia e coefficienti binomiali.
Lezione 4 (4/10/2019): Formula del binomio di Newton per induzione; costruzione in R della radice quadrata.
Lezione 5 (8/10/2018): Costruzione in R della radice n-esima; densità di Q in R; caratterizzazione dell'estremo superiore.
Lezione 6 (9/10/2019): Costruzione del campo complesso; parte reale e immaginaria, coniugio, modulo e disuguaglianza triangolare; rappresentazione polare, prodotto in rappresentazione polare.
Lezione 7 (10/10/2019): Radici n-esime dell'unità. Esercizi su equazioni in campo complesso e principio di induzione.
Lezione 8 (11/10/2019): Esercizi su equazioni in campo complesso e principio di induzione.
Lezione 9 (15/10/2019): Caratterizzazione del sup/inf; parte intera e parte frazionaria; esercizi.
Lezione 10 (16/10/2019): Valore assoluto. Insiemi aperti e chiusi in R; punti interni, esterni e di frontiera; caratterizzazione degli insiemi aperti/chiusi in termini di frontiera; esempi.
Lezione 11 (17/10/2019): Punti di accumulazione e punti isolati; caratterizzazione degli insiemi aperti/chiusi in termini di punti d'accumulazione; enunciato del Teorema di Bolzano-Weierstrass; controesempi.
Lezione 12 (18/10/2019): Dimostrazione del Teorema di Bolzano-Weierstrass. Limite della radice n-esima di p e n.
Lezione 13 (22/10/2019): Limite degli esponenziali; confronti di ordine di infinito tra n, esponenziali, fattoriale, n^n.Confronto di ordine di infinito tra log n e n. Limite della radice n-esima di fattoriale di n. Definizione di limite finito e infinito.
Lezione 14 (23/10/2019): Operazioni con i limiti e forme indeterminate. Esempi: limiti di funzioni razionali e con radicali. Successioni convergenti sono limitate.
Lezione 15 (24/10/2019): Permanenza del segno e confronto tra limiti. Casi generali dei limiti di confronto tra ordini di infinito.
Lezione 16 (25/10/2019): Sottosuccessioni; legame tra limiti di una successione e sue sottosuccessioni. Limiti di successioni monotone.
Lezione 17 (29/10/2019): Definizione del numero di Nepero e; caratterizzazione come serie; approsimazione di e e stima dell'errore.
Lezione 18 (30/10/2019): Esercizi su principio di induzione e sup/inf. Testo
Lezione 19 (31/10/2019): Esercizi su sup/inf, su numeri complessi e su equazioni in campo complesso. Testo
Lezione 20 (5/11/2019): Irrazionalità di e. Costruzione delle potenze con esponente reale come estremo superiore, defnizione equivalente come limite di approssimazioni razionali; proprietà delle potenze con esponente reale; "continuità" dell'esponenziale in 0.
Lezione 21 (6/11/2019): Esercizi su equazioni in campo complesso e limiti di successioni. Testo
Lezione 22 (7/11/2019): Massimo/minimo limite; caratterizzazione del massimo/minimo limite; legame tra la convergenza di una successione ed il suo massimo/minimo limite; esempi.
Lezione 23 (8/11/2019): Massimo/minimo limite come limite di sup/inf definitivi; legame tra massimo/minimo limite e i limiti delle sottosuccessioni convergenti; successioni limitate hanno estratte convergenti. Caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite successioni; insiemi compatti; gli insiemi compatti coincidono con gli insiemi chiusi e limitati.
Lezione 24 (12/11/2019): Completezza di R. Funzioni, dominio e co-dominio; immagine e pre-immagine; iniettività, suriettività e funzione inversa.
Lezione 25 (13/11/2019): Esercizi su limiti di successioni. Testo
Lezione 26 (14/11/2019): Esercizi su limiti di successioni. Testo
Lezione 27 (15/11/2019): Esempi delle principali funzioni inverse. Intorni dei punti finiti e di +/- infinito; definizione generale di limite di funzione con gli intorni.  Limite notevole di seno e coseno.
Lezione 28 (19/11/2019): Teorema ponte. Confronti di infinito tra (log x)^alpha, x^beta, A^x con A>1, x^x; limite di A^x all'infinito. Limite di  (1+1/x)^x a +/- infinito. Proprietà dei limiti (permanenza del segno, confronto, operazioni con i limiti); validità delle operazioni con i limiti e forme indeterminate. Limite destro/sinistro e relazione con il limite completo. Limiti di funzioni monotone e continuità del logartimo. Limite di (1+x)^1/x in zero, limite notevole del logaritmo e dell'esponenziale.
Lezione 29 (20/11/2019): Esercizi su limiti di funzioni. Testo
Lezione 30 (21/11/2019): Funzioni continue; continuità delle funzioni elementari; continuità di somma, prodotto, quoziente, composizione.
Lezione 31 (22/11/2019): Teoremi della permanenza del segno, degli zeri e dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Cenni alla continuità della funzione inversa.
Lezione 32 (26/11/2019): Definizione di derivata e significato geometrico. Calcolo della derivata di sin x, cos x, x^n, e^x, log x.  Regole di derivazione  per: somma, prodotto, quoziente, composizione, inversa.
Lezione 33 (27/11/2019): Esercizi su limiti e derivate. Testo
Lezione 34 (28/11/2019): Teorema di Fermat e di Rolle. Procedimento per determinare massimo/minimo assoluto di una fz. su insieme compatto. Teorema di Lagrange e monotonia di funzioni derivabili.
Lezione 35 (29/11/2019): Esercizi su derivate e studio di funzione. Testo
Lezione 36 (3/12/2019): Funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti. Teorema di Cauchy. Teorema di de L'Hôpital ed esempi.
Lezione 37 (4/12/2019): Esercizi su studio di funzione. Testo
Lezione 38 (5/12/2019): Formula di Taylor, formula di Peano e di Lagrange per il resto.
Lezione 38 (6/12/2019): Sviluppo di Taylor per l'esponenziale. Somma geometrica; sviluppi di Taylor per: seno, coseno, logaritmo, arco-tangente; cenni agli sviluppi in serie di Taylor.
Lezione 40 (10/12/2019): Introduzione alla teoria dell'integrazione. Definizione di integrale di Riemann e proprietà.
Lezione 41 (11/12/2019): Esercizi sui limiti tramite sviluppi di Taylor e formula di del'Hopital. Testo
Lezione 42 (12/12/2019): Funzioni uniformemente continue; funzioni continue su compatti sono uniformemente continue. Integrabilità delle funzioni continue.
Lezione 43 (13/12/2019): Teorema della media integrale, I e II teorema fondamentale del calcolo integrale.
Lezione 44 (18/12/2019): Esercizi di riepilogo. Testo
Lezione 45 (19/12/2019) I Esonero.
Lezione 46 (7/1/2019): Integrazione per parti ed esercizi. Cambio di variabili negli integrali. Sostituzione con tg(x/2) per espressioni in seno/coseno.
Lezione 47 (8/1/2019): Integrazione delle fz. razionali. Esercizi. Testo
Lezione 48 (9/1/2019): Sostituzione con tgx per espressioni in seno/coseno. Esercizi. Integrazione di espressioni in potenze frazionarie di ax+b/cx+d. Integrazione di espressioni in radici di ax^2+bx+c: sostituzioni di Eulero; sostituzione con seno/coseno.
Lezione 49 (10/1/2020) Integrali impropri; integrabilità di x^alpha in (0,1) e (1,∞).  Criterio del confronto. Esempi.
Lezione 50 (14/1/2020) Introduzione alle serie e serie geometrica. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Esempi.
Lezione 51 (15/1/2020) Esercizi sugli integrali. Testo
Lezione 52 (16/1/2020) Criterio del rapporto e della radice. Serie armonica. Esempi.
Lezione 53 (17/1/2020) Criterio di condensazione di Cauchy. Serie armoniche generalizzate. Esempi.
Lezione 54 (21/1/2020) Criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz. Esempi.
Lezione 55 (22/1/2020) Esercizi sulle serie. Testo
Lezione 56 (23/1/2020) Esercizi di riepilogo sugli integrali.
Lezione 57 (24/1/2020) Esercizi sulle serie. Testo
Lezione 58 (28/1/2020) Esercizi di riepilogo sulle serie.

Programma sintetico di massima 
Insiemi numerici (N,Z,Q e R), costruzione assiomatica di R, costruzione di N e principio di induzione, i numeri complessi; elementi di topologia in R e teorema di Bolzano-Weierstrass; funzioni reali di variabile reale, limiti di funzione e proprietà, limiti di successione, limiti notevoli, il numero di Nepero; funzioni continue e loro proprietà;  derivata di funzione e proprietà, i teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l'Hopital, formula di Taylor), funzioni convesse/concave; grafico di funzione; integrazione secondo Riemann e proprietà, integrabilità delle funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per sostituzione e per parti, regole di integrazione; serie numeriche, convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza per serie a termini positivi e per serie a termini qualsiasi; sviluppi in serie di Taylor; integrali impropri.