LezioniAL4_11

Settimana 1: Campi di numeri. Un campo di numeri è un ampliamento algebrico semplice di Q. Esempi: ampliamenti quadratici e ciclotomici. Polinomio caratteristico di un elemento: traccia e norma.
Esercizi 1

Settimana 2: Relazione tra il polinomio minimo e il polinomio caratteristico. Immersioni di un campo numerico in C: Caso quadratico e ciclotomico. Elementi coniugati. La traccia è lineare e la norma è moltiplicativa.
Esercizi 2

Settimana 3: Interi algebrici: definizioni equivalenti e prime proprietà. Caso quadratico.
Discriminante di una n-pla di Q(theta). Discriminante di una base e relazioni col discriminante del polinomo minimo di theta. Caso quadratico e ciclotomico.
Esercizi 3

Settimana 4: Gruppi abeliani liberi finitamente generati: cambiamenti di base, sottogruppi e quozienti. Esistenza di basi intere. Discriminante rispetto a basi intere. Alcuni esempi.

Settimana 5: Un algoritmo per determinare basi intere. Alcuni esempi. Ideali negli anelli di interi algebrici e loro basi intere. Gli anelli di interi algebrici sono domini di Dedekind. Richiami sulla fattorizzazione: domini euclidei, principali, a fattorizzazione unica, di Bezout, col massimo comune divisore. Gli anelli di interi algebrici sono atomici.
Esercizi 4

Settimana 6: Ancora sulla fattorizzazione. Un anello di interi algebrici è a fattorizzazione unica se e soltanto se è a ideali principali. Il problema delle unità: enunciato del Teorema di Dirichlet, dimostrazione nel caso quadratico. Cenni sulla classificazione di anelli di interi quadratici che sono euclidei o a fattorizzazione unica: Per d = -1, -2, -3, -7, -11, l'anello degli interi è euclideo rispetto alla norma. Esempi di anelli di interi quadratici che non sono a fattorizzazione unica.
Esercizi 5

Prima prova scritta

Settimana 7: Un anello di interi ciclotomici che non è a fattorizzazione unica. Norma di un ideale e prime proprietà. Il caso degli interi quadratici.

Settimana 8: Ideali frazionari e ideali invertibili. In un anello di interi algebrici ogni ideale proprio non nullo è invertibile e prodotto di ideali primi. Ideali primi di Z[i]. Ideali primi in anelli di interi quadratici. Ramificazione.
Esercizi 6

Settimana 9: La norma di ideali è moltiplicativa. Ideali primi in anelli di interi algebrici: grado e indice di ramificazione. La relazione n = e₁f₁+ ... + e_gf_g. Studio della ramificazione: un metodo di calcolo.

Settimana 10: Anelli di interi ciclotomici.
Esercizi 7

Settimana 11: Studio della ramificazione per gli ampliamenti di Galois. Caso ciclotomico.

Settimana 12: Il Gruppo delle Classi. La costante di Minkowsky. Calcolo di esempi. Cenni sulla dimostrazione del Teorema di Fermat per i primi regolari.
Esercizi 8

Seconda prova scritta

Dipartimento di Matematica

Roma TRE