Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL420 - Teoria Algebrica dei Numeri

a.a. 2014/2015 - I Semestre


Diario delle Lezioni


Settimana 1: Introduzione al corso. Numeri interi algebrici e loro caratterizzazione. Campi numerici e loro anello degli interi. Immersioni nel campo complesso. Polinomio caratteristico di un elemento. Norma e traccia.
Esercizi

Settimana 2: Anelli di interi quadratici. Discriminante di una n-pla. Formule per il calcolo. Esempi. Esistenza di basi intere.

Settimana 3: Discriminante di un campo numerico. Anelli di interi ciclotomici. Sottogruppi di gruppi liberi finitamente generati. Ricerca di basi intere.
Esercizi

Settimana 4: Norma di un ideale. Gli anelli di interi algebrici sono di Dedekind. Ideali frazionari e invertibili di un dominio. Prime proprietà degli ideali primi di O_K. Ideali di norma fissata. Carattere di finitezza di O_K.
Esercizi
Ideali frazionari

Settimana 5: Ideali primi in anelli di interi quadratici. Studio della ramificazione. Ogni ideale di O_K è invertibile ed è prodotto di ideali primi.

Settimana 6: Prima prova di esame. Moltiplicatività della norma. Richiami sulla fattorizzazione nei domini. Fattorizzazione in O_K.

Settimana 7: Fattorizzazione negli anelli di interi quadratici. Classificazione dei domini di interi quadratici euclidei. L'anello degli interi del p-esimo ampliamento ciclotomico non è a fattorizzazione unica per p = 23.
Esercizi

Settimana 8: Equazioni di Pell. Il gruppo delle unità degli anelli di interi quadratici. Enunciato del Teorema delle unità di Dirichlet. Il Gruppo delle Classi: prime proprietà.
Esercizi

Settimana 9: Finitezza del gruppo delle classi. Ideali primi in O_K: grado e indice di ramificazione. Studio della ramificazione in anelli di interi del tipo Z[theta].
Esercizi

Settimana 10: Ramificazione di primi nel caso di Galois. Il discriminante di un campo ciclotomico. L'anello degli interi ciclotomici è Z[xi].
Esercizi

Settimana 11: Ramificazione in anelli di interi ciclotomici. La dimostrazione del Teorema di Fermat per i primi regolari.

Settimana 12: Esercizi di ricapitolazione.