Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL420 - Teoria Algebrica dei Numeri

a.a. 2016/2017 - II Semestre


Diario delle Lezioni


Settimana 1: Introduzione al corso. Campi numerici. Polinomio caratteristico di un elemento; relazione col polinomio minimo. Norma e traccia di un elemento. Immersioni di un campo numerico nel campo complesso. Elementi coniugati.
 Esercizi

Settimana 2: Il discriminante di una n-pla. Formula per il calcolo. Esempi. Numeri interi algebrici. L'anello degli interi di un campo numerico e loro prime proprietà. Richiami di Teoria dei Moduli.
Esercizi

Settimana 3: Anelli di interi quadratici e ciclotomici. Richiami sulle estensioni integrali. Definizione e prime proprietà delle basi intere. Correzione degli esercizi.

Settimana 4: Esistenza di basi intere. Il discriminante di un campo numerico. Sottogruppi di gruppi liberi finitamente generati. Ricerca di basi intere. Gli anelli di interi algebrici sono domini di Dedekind. La norma di un ideale e sue prime proprietà.
Esercizi
 
Settimana 5: Ideali in anelli di interi quadratici: basi su Z e norma, ideali primi e ramificazione. Proprietà degli ideali negli anelli di interi: invertibilità, decomposizione in ideali primi, carattere di finitezza, fattorizzazione.
Esercizi

Settimana 6: Congruenze quadratiche e ramificazione in anelli di interi quadratici. Il discriminante del polinomio ciclotomico. Esercizi.

Prova di esame intermedia: Lunedì 10 Aprile, ore 14, aula 009.
Settimana 7/8: Moltiplicatività della norma. Come fattorizzare un ideale in ideali primi. Teorema di Dedekind. Ideali primi di O_K: grado e indice di ramificazione. p è totalmente ramificato nel p^r-simo ampliamento ciclotomico.
Esercizi
Settimana 9: L'anello degli interi ciclotomici è Z[\xi].  Ramificazione in ampliamenti di Galois. Ramificazione in Z[\xi].

Settimana 10: Richiami sulla fattorizzazione nei domini. Fattorizzazione negli anelli di interi quadratici. Il 23-simo anello degli interi ciclotomici non è a fattorizzazione unica. Il problema delle unità: caso quadratico. Enunciato del Teorema di Dirichlet.
Esercizi

Settimana 11: Il gruppo delle classi di un dominio di Dedekind. Finitezza del gruppo delle classi di O_K. Primi regolari. Il Lemma Fondamentale. Costante di Minkowski.  Come calcolare il gruppo delle classi.
Esercizi

Settimana 12: