Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL310 - Istituzioni di Algebra
Superiore
a.a. 2010/2011 - I Semestre
Diario delle Esercitazioni e Tutorato
(a cura di Antonio Cigliola)
Settimana 1:
21/9: Ricapitolazione delle proprietà
degli
anelli di polinomi. Esercizi 1.
Settimana
2:
28/9:
Richiami
sulle
estensioni
quadratiche.
Estensioni
biquadratiche.
Estensioni
dei
razionali
ottenute
con l'aggiunta di una radice cubica e di una radice
quadrata. Correzione di alcuni esercizi. Esercizi
2
Settimana
3:
5/10: Campo di spezzamento di un polinomio:
definizione e proprietà. Teorema di esistenza del campo di
spezzamento. Esempi e costruzione di alcuni campi di spezzamento in
caratteristica zero, due e tre.
Settimana 4:
12/10: Ulteriori
esempi di campi di spezzamento in caratteristica finita. Immersioni in
C. Automorfismi del campo di spezzamento di un polinomio. Esempi di
gruppi di Galois di polinomi a coefficienti razionali di
cardinalità 2, 3, 4, 5 e 6.
Esercizi 3
Settimana
5:
19/10:
Esempi di
costruzione del campo con 64 elementi. Automorfismo di Frobenius.
Analisi del reticolo dei campi finiti. Determinazione del gruppo di
Galois per estensioni finite di campi finiti.
Settimana
6:
26/10:
Regola
dei
segni
di
Harriot-Descartes.
Ampliamenti trascendenti. Lemma
del teorema di Luroth. Estensioni e polinomi ciclotomici in
caratteristica zero o positiva. Gruppo di Galois di un'estensione
ciclotomica. Svolgimento di esercizi in preparazione alla prima prova
in itinere. Esercizi 4
Prima prova di valutazione
intermedia: Lunedì 8
Novembre, ore 9:30, aula F
Settimana
7:
9/11:
Correzione
del
compito.
Settimana
8:
16/11: Estensioni
e polinomi ciclotomici: complementi. Storia e dimostrazione di Dedekind
dell'irriducibilità su Q del polinomio ciclotomico.
Polinomi simmetrici elementari,
polinomi di Newton e formule di Newton. Il problema di Newton con la
risoluzione di Ruffini. Sistemi simmetrici e formule di Waring.
Discriminanti. Determinante di Vandermonde.
Polinomi a coefficienti razionali
con gruppo di Galois metaciclico di ordine p(p-1). Esercizi 5
Settimana
9:
22/11: Studio del
gruppo di Galois di un polinomio biquadratico irriducibile a
coefficienti razionali. Svolgimento di esercizi.
Settimana
10:
30/11:
Risoluzione di esercizi
Settimana 11:
7/12:
Polinomi
a coefficienti razionali con gruppo di Galois totale. Teorema di
corrispondenza: applicazioni ed esempi. Corrispondenza di Galois per
estensioni di grado quattro. Corrispondeza di Galois per polinomi a
coefficienti razionali con gruppo di Galois diedrale di grado tre e
quattro. Risolventi
di Galois per estensioni galoisiane. Esercizi
6
Settimana 12:
14-16/12:
Corrispondenza di Galois per estensioni
ciclotomiche. Esempio del tredicesimo e del quindicesimo ampliamento
ciclotomico. Periodi di Gauss. Reticolo e corrispondenza di Galois per
estensioni di campi finiti. Esempio di polinomio a coefficienti
razionali con gruppo di Galois isomorfo al gruppo dei quaternioni reali.
Risolubilità di equazioni algebriche. Costruibilità con
riga e compasso. Esempi.
Il teorema fondamentale dell'algebra: storia e dimostrazione di Artin.
Svolgimento di esercizi in preparazione alle prove d'esame.
Breve illustrazione dei temi facoltativi d'esame. Esercizi 7
Seconda
prova
di
valutazione
intermedia: Lunedì
10
Gennaio
2011,
ore 14:30.