AM110 - ANALISI MATEMATICA 1 - 20410405 (9 cfu)

[24/9/26] La settimana prossima comincerà il "corso di raccordo" tenuto dal prof. Ursini a cui siete tutti invitati ad andare (il corso è indispensabile per chi ha gli OFA).
Il corso si terrà tutti i giorni (da lunedì a venerdì), dalle 14 alle 16 in aula A (Vasca Navale), da lunedì 28/9 a venerdì 9/10.
Durante queste due settimane non ci sarà lezione di analisi il mercoledì pomeriggio; continuano, naturalmente, le lezioni della mattina.

[16/9/26] L'orario della prima settimana di lezione sarà il seguente (AULA M1):
lunedì 21/9: 9-10 (LC); alle 10 comincerà la "Giornata della Matricola" [programma]
mercoledì 23/9: 9-11 (LB);
mercoledì 23/9: 14-16 (LC);
giovedì 24/9: 9-11 (LC);
venerdì 25/9: 11-13 (LC).

Ricevimento

e-mail

Informazioni sul corso

Programma sintetico: Assiomatica di ℝ e suoi sottoinsiemi principali. Teoria dei limiti (successioni e funzioni). Continuità, derivabilità e grafici. Calcolo di primitive.
Obiettivi formativi generali
Acquisire una buona conoscenza dei fondamenti e dei teoremi principali dell'Analisi Matematica su ℝ (dagli assiomi dei numeri reali al calcolo delle primitive) e relative tecniche di dimostrazione; sviluppare abilità per risolvere esercizi e problemi in tale ambito scientifico.
Tutorato
Il tutorato va inteso come "luogo" dove studiare (teoria ed esercizi), avendo a disposizione i tutori a cui chiedere eventualmente suggerimenti e chiarimenti.
Modalità d'esame
L'esame consiste in un test scritto ed un colloquio orale. In ogni appello d'esame (A, B,...) ci sarà uno scritto e un orale.
Per svolgere il colloquio orale è necessario superare il test scritto.
Durante le lezioni (e quindi prima dell'appello A) ci saranno due "esoneri": il superamento degli esoneri equivale a superare il test scritto.
Superati esoneri o scritto degli appelli A o B, è possibile sostenere l'orale o all'appello A oppure all'appello B (se si opta per l'appello A e non si supera l'orale bisogna ripetere anche la prova scritta). Per gli appelli successivi (da C in poi) scritti e orali vanno sostenuti contestualmente (in altri termini, non si può sostenere l'orale nell'appello successivo a quello in cui si è superato lo scritto).
Modalità d'esame per gli iscritti all'AA 2023-24 e AA precedenti
L'esame scritto è unico per tutti; per l'esame orale è possibile portare il programma dell'AA corrente o, in alternativa, quello dell'AA di immatricolazione previa comunicazione tramite e-mail almeno una settimana prima della data dell'orale.
Parti fondamentali/"avanzate"
Come nello studio di qualunque argomento scientifico, vi sono parti fondamentali, la cui conoscenza è imprescindibile per il percorso proposto, e parti più "avanzate" - o più "tecniche" - importanti e stimolanti, ma non altrettanto imprescindibili; queste ultime verranno evidenziate con un asterisco (*). Una preparazione che aspiri ai livelli più alti di valutazione dovrà comprendere anche le dimostrazioni delle parti contrassegnate con * (gli enunciati e definizioni - salvo esplicito avviso contrario - sono invece tutti fondamentali).
DAD
Linee guida per la didattica in presenza e a distanza
Nel caso specifico di AM110 si potrà avere accesso alle registrazioni delle lezioni previa approvazione, a seguito di presentazione di motivata e documentata istanza, da parte degli uffici competenti dell'Ateneo.

Matematica e IA
Gli strumenti di intelligenza artificiale sono ormai parte dell'ambiente in cui si studia e si fa matematica. Per informazioni e riflessioni sul loro uso nello studio della matematica si veda Math and AI.

Informazioni sul corso di raccordo

Alcuni esercizi on-line

sezioni 1-4

sezioni 1, 2, 4, 6-7, 12, 21-23

sezioni 6, 8

Diario delle lezioni/esercitazioni

testo [C]

^**

Lezione 1 [21/9/26] Introduzione al corso.
Lezione 2 e 3 [23/9/26] Prerequisiti: quantificatori logici; teoria ingenua degli insiemi. [Par 1.0.1]
Esercizi: Es 1.1-1.4 (ossia, da Es 1.1 a Es 1.4 inclusi). Esercizi aggiuntivi sul prologo
Lezione 4 e 5 [23/9/26] Relazioni; relazioni d'equivalenza e relazioni d'ordine; funzioni; operazioni binarie [Par 1.0.2].
I primi dodici assiomi dei numeri reali [pag 6].
Esercizio: In quanti modi si possono elencare le 4 lettere a, b, c, d in modo tale che b segua sempre a? (Ad esempio, cadb è un elenco ammissibile mentre dbca non lo è).
Lezione 6 e 7 [24/9/26] Discussione dell'esercizio assegnato nella lezione 5.
Assiomi dei numeri reali: gli assiomi di connessione tra somma, prodotto e relazione d'ordine; l'assioma di completezza di Dedekind [par 1.1.1]. Proprietà algebriche elementari [Proposizione 1.4]. Definizioni standard (sottrazione, divisione, primi nove numeri naturali,...) [Definizione 1.5].
Anticipazioni sulla dimostrazione dell'irrazionalità di radice di due [cfr. p. 41].
Esercizi: Es 1.7, 1.8 (!), 1.9, 1.13 (!)
Lezione 8 e 9 [25/9/26] Completamento della discussione sulle proprietà algebriche elementari dei numeri reali; in particolare, dimostrazione completa di: "x · 0= 0 per ogni x reale;" e di "1 > 0" [Par 1.1.2 tutto].
Esercizi: Es 1.12 (!), 1.14, 1.18 (!), 1.19, esercizi aggiuntivi sul par 1.1.2 (le soluzioni sono generate con IA).
Lezione 10 e 11 [28/9/26] Riepilogo teoremi elementari della struttura algebrica di ℝ (unicità degli elementi neutri, unicità di opposto/reciproco; leggi di cancellazione; x · 0= 0 per ogni x reale; (-1) · x = -x; 1 > 0).
Notazione per le funzioni ed esempi: la funzione identità (con dominio ℝ);
x² con dominio ℝ, con dominio { x ≥ 0} e {x≤ 0} (queste sono tre funzioni diverse).
Funzioni iniettive, suriettive e invertibili. Preimmagine o controimmagine di una funzione; vedi, ad esempio, qui ;
funzioni razionali esplicite (ad esempio f(x)=(x³+x² -7)/(x²-1) con dominio { x ≠ 1,-1 };
funzioni caratteristiche di un insieme [Definizione 1.3].
Il massimo tra due numeri e definizioni di modulo di x; proprietà del modulo [Par 1.1.3 fino a metà pag. 12; per la dimostrazione che |x · y|=|x|·|y| si veda Note e commenti ].
Altre definizioni (questa parte verrà ripresa nell'esercitazione di giovedì prossimo): funzioni pari e dispari [Def 1.8]; media aritmetica e distanza [Def 1.12]; funzione segno di x [Def 1.10]; funzione parte positiva e parte negativa [Def 1.13]; funzioni monotòne [Def 1.15].
[Tutta la sezione 1.1]
Esercizi: Es 1.19 (min {x,y} := x se x ≤ y; y se y ≤ x); 1.20 (!); 1.21 (!).
esercizi elementari su funzioni e modulo (seconda versione) (Esercizi e soluzioni preparati con l'ausilio dell'IA).
altri esercizi elementari e funzioni monotòne (Esercizi e soluzioni preparati con l'ausilio dell'IA).
Lezione 12 e 13 [30/9/26] Insiemi induttivi e definizione di ℕ; gli "assiomi di Peano" (come proprietà); esempi di insiemi induttivi (ℝ, ℝ₊, I₁, I₂, etc.). Principio di induzione; esempi [cfr. pag. 15 e 16]. ℕ è chiuso rispetto a somma e prodotto [Proposizione 1.20].
Definizione di ℤ e ℚ [Definizioni 1.39 e 1.49].
Esercizi: Es 1.22, 1.23, 1.24.
Lezione 14 e 15 [1/10/26] Definizioni: 1.2 (massimo, maggiorante, etc); 1.8 (in particolare funzioni pari/dispari); 1.10 (funzione segno di x); 1.12 (media e distanza); 1.13 (parte positiva/negativa); 1.15 (funzioni monotone).
Discussione di esercizi assegnati.
Lezione 16 e 17 [2/10/26] Induzione e ordine dei numeri naturali; cfr. nota con lo stesso titolo nelle Note e commenti (Aggiornato al 2/10/2026). Attenzione: tutte le dimostrazioni di questa nota - tranne il Lemma A e il Teorema B - sono con asterisco * (vedi "Parti fondamentali/avanzate" nelle Informazioni sul corso ).
Definizioni ricorsive (o "algoritmiche"): Definzioni 1.28, 1.29, 1.36-(1); una discussione teorica dettagliata (**) verrà fatta mercoledì 14/10 nella lezione pomeridiana (la data è da confermare).
Esercizi: Esercizi sul principio di induzione (seconda versione) (Esercizi e soluzioni preparati con l'ausilio dell'IA).
Lezione 12 e 13 [5/10/26] Potenze ennesime [Proposizioni 1.30 e 1.31]. Definizione di polinomi, rette, etc. [p. 21 e 22]. Disuguaglianza di Bernoulli [Lemma 1.32]. Somme geometriche [Prop. 1.33, Eq (1.35)]. Cambio di indice nelle sommatorie [vedi Nota "Cambi di indice nelle somme finite" nel file Note e commenti (Aggiornato al 6/10/2026)]
Esercizi: Es 1.25 - 1.32 (ossia, da 1.25 a 1.32 inclusi).
Lezione 14 e 15 [7/10/26] Formula per xⁿ- yⁿ [Prop 1.34]. Coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton [Prop 1.38].
Esercizi: Es 1.33 (!), Es 1.34.
esercizi su somme geometriche e binomio di Newton (Esercizi e soluzioni preparati con l'ausilio dell'IA).

Esoneri ed esami

Testo consigliato

[C] Chierchia, L.: Analisi su ℝ. Guida ai principi dell'analisi matematica McGraw-Hill, 2025, 250 pagine
Errata-corrige (Aggiornato 21/9/2026)
Note e commenti (Aggiornato al 6/10/2026)
Souzioni degli esercizi del testo

Altri testi

[C2019] Chierchia, L.: Corso di analisi, prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su ℝ McGraw-Hill, 2019, 390 pagine

[R] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw Hill, 1976

[O] John M.H. Olmsted The Real Number System , 1962, 216 pages

Esercizi

[Rm3.x] Esercizi@RomaTre.x

[Rm3.y] Esercizi@RomaTre.y

[UTV] Esercizi@Tor Vergata

[AB] Amar, M.; Bersani, A.: Analisi Matematica I, Esercizi e richiami di teoria, LaDotta, 2013

[B] Bramanti, M.: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 Esculapio, 2011

[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi.chierchia@uniroma3.it