AM110 - ANALISI MATEMATICA 1 - 20410405 (9 cfu)

AA 2026-2027 - I Semestre

DOCENTI: Proff. Luigi Chierchia , Luca Biasco

TUTORI: Simone Corriano, Federico Cruciani

Indice

Avvisi

Orario [sito] [pdf]

Ricevimento

Informazioni generali

Informazioni sul corso

Testi consigliati. Esercizi in rete

sito web di AM110 - AA 2025/26

Informazioni sul corso di raccordo

Diario delle lezioni

Esercizi con (!)

Fogli di esercizi aggiuntivi e soluzioni

Esoneri ed esami

Matematica e IA

AVVISI

[30/10/26] Le lezioni riprenderanno regolarmente in aula M1 da lunedì prossimo 2/11/26.

[29/10/26] Per problemi tecnici (lavori all'aula M1) le lezioni di oggi e domani non saranno registrate.

[28/10/26] Simulazione primo esonero. Soluzioni verranno discusse nella lezione di domani 29/10/26.

[28/10/26] Altri esercizi su induzione (soluzioni)

[28/10/26] Le lezioni di domani e dopodomani (29 e 30 ottobre) si dovrebbero svolgere in aula M2.

[27/10/26] Risultati Primo test OFA aa 26-27

[23/10/26] A meno di avviso contrario ci sarà lezione di analisi tutti i mercoledì pomeriggio.

[19/10/26] Questa settimana farò lezione anche mercoledì pomeriggio e (contrariamente a quanto annunciato in precedenza) sarà un'esercitazione sui limiti.

[13/10/26] La lezione pomeridiana (14-16) di domani mercoledì 14/10/26 è cancellata; verrà recuperata mercoledì 21/10/26 (14-16).

[9/10/26] L'orario della prossima settimana è il seguente: Lu/Me/Ve mattina LC, Gio LB; mercoledì pomeriggio (14-16) LC: discuterò il teorema di ricorsione [Teorema 1.27] e la dimostrazione dell'espansione decimale dei numeri naturali [Proposizione 1.52] [tutto materiale (**)]
Mercoledì 14/10/26 alle 16 (dopo la mia lezione pomeridiana) in aula M1 si terrà un colloquium dal titolo "On the History of Quantifiers: A Mathematical Point of View" tenuto dal prof. Christian Retoré: l'argomento è di carattere generale e siete tutti invitati [ locandina del colloquium ]

[7/10/26] Il tutorato comincerà venerdì 16/10/26 in aula M1, ore 16-18.

[2/10/26] Per informazioni/materiale didattico relativo al corso di raccordo tenuto dal Prof. Ursini si veda qui .

[2/10/26] Ho riorganizzato il diario delle lezioni di ieri e oggi; si noti in particolare l'assegnazione degli asterischi.

[28/9/26] ATTENZIONE: il corso di raccordo si tiene in aula A (Via della Vasca Navale) (non in M1 come erroneamente annunciato precedentemente).

[24/9/26] La settimana prossima comincerà il "corso di raccordo" tenuto dal prof. Ursini a cui siete tutti invitati ad andare (il corso è indispensabile per chi ha gli OFA).
Il corso si terrà tutti i giorni (da lunedì a venerdì), dalle 14 alle 16 in aula A (Vasca Navale), da lunedì 28/9 a venerdì 9/10.
Durante queste due settimane non ci sarà lezione di analisi il mercoledì pomeriggio; continuano, naturalmente, le lezioni della mattina.

[16/9/26] L'orario della prima settimana di lezione sarà il seguente (AULA M1):
lunedì 21/9: 9-10 (LC); alle 10 comincerà la "Giornata della Matricola" [programma]
mercoledì 23/9: 9-11 (LB);
mercoledì 23/9: 14-16 (LC);
giovedì 24/9: 9-11 (LC);
venerdì 25/9: 11-13 (LC).

Ricevimento

e-mail

Informazioni sul corso

Programma sintetico: Assiomatica di ℝ e suoi sottoinsiemi principali. Teoria dei limiti (successioni e funzioni). Continuità, derivabilità e grafici. Calcolo di primitive.
Obiettivi formativi generali
Acquisire una buona conoscenza dei fondamenti e dei teoremi principali dell'Analisi Matematica su ℝ (dagli assiomi dei numeri reali al calcolo delle primitive) e relative tecniche di dimostrazione; sviluppare abilità per risolvere esercizi e problemi in tale ambito scientifico.
Tutorato
Il tutorato va inteso come "luogo" dove studiare (teoria ed esercizi), avendo a disposizione i tutori a cui chiedere eventualmente suggerimenti e chiarimenti.
Modalità d'esame
L'esame consiste in un test scritto ed un colloquio orale. In ogni appello d'esame (A, B,...) ci sarà uno scritto e un orale.
Per svolgere il colloquio orale è necessario superare il test scritto.
Durante le lezioni (e quindi prima dell'appello A) ci saranno due "esoneri": il superamento degli esoneri equivale a superare il test scritto.
Superati esoneri o scritto degli appelli A o B, è possibile sostenere l'orale o all'appello A oppure all'appello B (se si opta per l'appello A e non si supera l'orale bisogna ripetere anche la prova scritta). Per gli appelli successivi (da C in poi) scritti e orali vanno sostenuti contestualmente (in altri termini, non si può sostenere l'orale nell'appello successivo a quello in cui si è superato lo scritto).
Modalità d'esame per gli iscritti all'AA 2023-24 e AA precedenti
L'esame scritto è unico per tutti; per l'esame orale è possibile portare il programma dell'AA corrente o, in alternativa, quello dell'AA di immatricolazione previa comunicazione tramite e-mail almeno una settimana prima della data dell'orale.
Parti fondamentali/"avanzate"
Come nello studio di qualunque argomento scientifico, vi sono parti fondamentali, la cui conoscenza è imprescindibile per il percorso proposto, e parti più "avanzate" - o più "tecniche" - importanti e stimolanti, ma non altrettanto imprescindibili; queste ultime verranno evidenziate con un asterisco (*). Una preparazione che aspiri ai livelli più alti di valutazione dovrà comprendere anche le dimostrazioni delle parti contrassegnate con (*) (gli enunciati e definizioni - salvo esplicito avviso contrario - sono invece tutti fondamentali).
DAD
Linee guida per la didattica in presenza e a distanza
Nel caso specifico di AM110 si potrà avere accesso alle registrazioni delle lezioni previa approvazione, a seguito di presentazione di motivata e documentata istanza, da parte degli uffici competenti dell'Ateneo.

Matematica e IA
Gli strumenti di intelligenza artificiale sono ormai parte dell'ambiente in cui si studia e si fa matematica. Per informazioni e riflessioni sul loro uso nello studio della matematica si veda Math and AI.

Informazioni sul corso di raccordo

Alcuni esercizi on-line

sezioni 1-4

sezioni 1, 2, 4, 6-7, 12, 21-23

sezioni 6, 8

Diario delle lezioni/esercitazioni

testo [C]

I fogli di esercizi aggiuntivi e le loro soluzioni sono preparati con l'ausilio dell'IA.

(Le soluzioni sono contenute nel foglio oppure scaricabili separatamente.)

Lezione 1 [21/9/26] Introduzione al corso.
Lezioni 2 e 3 [23/9/26] Prerequisiti: quantificatori logici; teoria ingenua degli insiemi. [Par 1.0.1]
Esercizi: Es 1.1-1.4 (ossia, da Es 1.1 a Es 1.4 inclusi).
Esercizi aggiuntivi sul prologo
Lezioni 4 e 5 [23/9/26] Relazioni; relazioni d'equivalenza e relazioni d'ordine; funzioni; operazioni binarie [Par 1.0.2].
I primi dodici assiomi dei numeri reali [pag 6].
Esercizio: In quanti modi si possono elencare le 4 lettere a, b, c, d in modo tale che b segua sempre a? (Ad esempio, cadb è un elenco ammissibile mentre dbca non lo è).
Lezioni 6 e 7 [24/9/26] Discussione dell'esercizio assegnato nella lezione 5.
Assiomi dei numeri reali: gli assiomi di connessione tra somma, prodotto e relazione d'ordine; l'assioma di completezza di Dedekind [par 1.1.1]. Proprietà algebriche elementari [Proposizione 1.4]. Definizioni standard (sottrazione, divisione, primi nove numeri naturali,...) [Definizione 1.5].
Anticipazioni sulla dimostrazione dell'irrazionalità di radice di due [cfr. p. 41].
Esercizi: Es 1.7, 1.8 (!), 1.9, 1.13 (!)
Lezioni 8 e 9 [25/9/26] Completamento della discussione sulle proprietà algebriche elementari dei numeri reali; in particolare, dimostrazione completa di: "x · 0= 0 per ogni x reale;" e di "1 > 0" [Par 1.1.2 tutto].
Esercizi: Es 1.12 (!), 1.14, 1.18 (!), 1.19
Esercizi aggiuntivi sul par. 1.1.2
Lezioni 10 e 11 [28/9/26] Riepilogo teoremi elementari della struttura algebrica di ℝ (unicità degli elementi neutri, unicità di opposto/reciproco; leggi di cancellazione; x · 0= 0 per ogni x reale; (-1) · x = -x; 1 > 0).
Notazione per le funzioni ed esempi: la funzione identità (con dominio ℝ);
x² con dominio ℝ, con dominio { x ≥ 0} e {x≤ 0} (queste sono tre funzioni diverse).
Funzioni iniettive, suriettive e invertibili. Preimmagine o controimmagine di una funzione; vedi, ad esempio, qui ;
funzioni razionali esplicite (ad esempio f(x)=(x³+x² -7)/(x²-1) con dominio { x ≠ 1,-1 };
funzioni caratteristiche di un insieme [Definizione 1.3].
Il massimo tra due numeri e definizione di modulo di x; proprietà del modulo [Par 1.1.3 fino a metà pag. 12; per la dimostrazione che |x · y|=|x|·|y| si veda Note e commenti ].
Altre definizioni (questa parte verrà ripresa nell'esercitazione di giovedì prossimo): funzioni pari e dispari [Def 1.8]; media aritmetica e distanza [Def 1.12]; funzione segno di x [Def 1.10]; funzione parte positiva e parte negativa [Def 1.13]; funzioni monotòne [Def 1.15].
[Tutta la sezione 1.1]
Esercizi: Es 1.19 (min {x,y} := x se x ≤ y; y se y ≤ x); 1.20 (!); 1.21 (!).
Esercizi elementari su funzioni e modulo
Altri esercizi elementari e funzioni monotone
Lezioni 12 e 13 [30/9/26] Insiemi induttivi e definizione di ℕ; gli "assiomi di Peano" (come proprietà); esempi di insiemi induttivi (ℝ, ℝ₊, I₁, I₂, etc.). Principio di induzione; esempi [cfr. pag. 15 e 16]. ℕ è chiuso rispetto a somma e prodotto [Proposizione 1.20].
Definizione di ℤ e ℚ [Definizioni 1.39 e 1.49].
Esercizi: Es 1.22, 1.23, 1.24.
Lezioni 14 e 15 [1/10/26] Definizioni: 1.2 (massimo, maggiorante, etc); 1.8 (in particolare funzioni pari/dispari); 1.10 (funzione segno di x); 1.12 (media e distanza); 1.13 (parte positiva/negativa); 1.15 (funzioni monotone).
Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 16 e 17 [2/10/26] Induzione e ordine dei numeri naturali; cfr. nota con lo stesso titolo nelle Note e commenti (Aggiornato al 13/10/2026). Attenzione: tutte le dimostrazioni di questa nota - tranne il Lemma A e il Teorema B - sono con asterisco (*) (vedi "Parti fondamentali/avanzate" nelle Informazioni sul corso ).
Definizioni ricorsive (o "algoritmiche"): Definizioni 1.28, 1.29, 1.36-(1); una discussione teorica dettagliata (**) verrà fatta mercoledì 14/10 nella lezione pomeridiana (la data è da confermare).
Esercizi:
Esercizi sul principio di induzione
Lezioni 18 e 19 [5/10/26] Potenze ennesime [Proposizioni 1.30 e 1.31]. Definizione di polinomi, rette, etc. [p. 21 e 22]. Disuguaglianza di Bernoulli [Lemma 1.32]. Somme geometriche [Prop. 1.33, Eq (1.35)]. Cambio di indice nelle sommatorie [vedi Nota "Cambi di indice nelle somme finite" nel file Note e commenti (Aggiornato al 13/10/2026)]
Esercizi: Es 1.25 - 1.32 (ossia, da 1.25 a 1.32 inclusi).
Lezioni 20 e 21 [7/10/26] Formula per xⁿ- yⁿ [Prop 1.34]. Coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton [Prop 1.38].
Esercizi: Es 1.33 (!), Es 1.34.
Esercizi su somme geometriche e binomio di Newton .
Lezione 22 [8/10/26] Discussione di esercizi dal file Esercizi sul principio di induzione (versione del 12/10/26).
Lezioni 23 e 24 [9/10/26] Proprietà fondamentali di ℤ e ℚ [par 1.3 tutto; il Lemma 1.5 e la Proposizione 1.52 con (**)]
Esercizi: Es 1.35 (!), 1.36 (!).
Un esercizio su somme finite con indice in ℤ .
Lezioni 25 e 26 [12/10/26] Estremo superiore/inferiore e assioma di Dedekind [Sez. 1.5, p. 35 e 36]; proprietà archimedea; parte intera/frazionaria di x ∈ ℝ ; densità di ℚ in ℝ [sez 1.5.2].
Esercizi: Es 1.46-1.56 (Es 1.46 e 1.47 con !)
Esercizi su sup/inf/max/min e su parte intera/frazionaria (soluzioni) .
Lezioni 27 e 28 [14/10/26] Definizione di insieme finito e infinito; se f è iniettiva da {1 ≤ k ≤ n} in {1 ≤ k ≤ m} allora n ≤ m; definizione di cardinalità di insiemi finiti; un sottoinsieme B di un insieme finito A è finito e se B è contenuto propriamente in A, allora #B < #A. [par 1.4, p. 31 e 32; il Lemma 1.62 è con(*)]
Successioni [Definizione 1.26] e insiemi numerabili. L'unione numerabile di insiemi finiti non vuoti disgiunti è numerabile [Proposizione 1.65-(i)]. Numerabilità di ℤ e ℚ. Un insieme è infinito se e solo se contiene un insieme numerabile (uso dell'assioma della scelta numerabile)[Proposizione 1.66-(i)]
ℝ è un insieme infinito non numerabile [Teorema 1.78].
Esercizi: Es 1.39-1.44.
Esercizio su intervalli annidati (!).
Lezioni 29 e 30 [15/10/26] Discussione degli esercizi assegnati il 12/10/26.
Lezioni 31 e 32 [16/10/26] Radici e potenze con esponente razionale [Sez 1.6 tutta]
Esercizi: Es 1.58 (!), 1.59 (*), 1.60 (!), 1.61, 1.62 (!), 1.63-1.76, 1.68 (!).
Lezioni 33 e 34 [19/10/26] La definizione classica di limite (Cauchy). Esempi di esistenza e non esistenza di limite ["Limiti di funzioni definite su ℝ tranne al più un punto", p. 51 e 52].
Esercizi su punti di accumulazione/isolati/interni (soluzioni).
Esercizi sulla definizione classica di limite.
Lezioni 35 e 36 [21/10/26] Limiti (finiti) di successioni e limite infinito di funzione [pp. 52 e 53]. Il sistema reale esteso: intervalli, intorni e punti di accumulazione [Sez 2.2 fino a par 2.2.2 escluso].
Esercizi: 2.6, 2.7, 2.8, 2.10 (!) (fatto in classe), 2.11, 2.12, 2.13, 2.14.
Lezioni 37 e 38 [21/10/26] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 39 e 40 [22/10/26] Discussione di esercizi dal file
Esercizi su limiti di successioni e alcuni limiti infiniti (soluzioni)
Lezioni 41 e 42 [23/10/26] Definizione generale di limite in ℝ^* e prime conseguenze della definizione di limite [Par 2.2.2].
Esercizi: Es 2.9, 2.15, 2.16.
Esercizi sulla definizione generale di limite (soluzioni).
Esercizi su punti di accumulazione/isolati/interni (soluzioni).
Lezioni 43 e 44 [26/10/26] Algebra dei limiti e algebra dei limiti estesa [par 2.4.1 tutto].
Esercizi:
Esercizi sull'algebra dei limiti (soluzioni).
Lezioni 45 e 46 [28/10/26] Limiti laterali e funzioni monotòne [Sez 2.3]. Limiti notevoli di successioni [Sez 2.5, p. 67 e 68; il Lemma 2.38 e con *].
Esercizi: Es 2.17, 2.18, 2.19 (!)
Lezioni 47 e 48 [29/10/26] Simulazione primo esonero con correzione alla lavagna.
Simulazione primo esonero (soluzioni ChatGPT)
Lezioni 49 e 50 [30/10/26] Baby Stirling [Lemma 2.41] e limite notevole (n!)^1/n ~ n/e.
Caratterizzazioni tramite successioni [Par 2.5.3 tutto, Teorema ponte con *].
Esercizi: Es 2.26, 2.29 (!)