Analisi matematica 1
Corsi di laurea in Ingegneria, Canale DAM-K

AA 2015-2016 - I Semestre

Prof. L. Chierchia

Esercitazioni: Prof. S. Centurioni

Indice
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Alcune informazioni sul corso
Sito Analisi Matematica 1 AA 2014-2015
Orari
Diario delle lezioni
Testi consigliati
Esami

Avvisi


visione scritti, discussione orale, verbalizzazione: venerdì 23/9/16, ore 17:00, aula 211 Dipartimento di Matematica e Fisica - Sezione Matematica (Largo San Leonardo Murialdo 1).

Alcune informazioni sul corso

• Il programma dettagliato del corso è costituito dal diario delle lezioni.
  (Per un programma sintetico sui contenuti dell'intero corso si fa riferimento alle informazioni reperibili sui siti dei vari collegi didattici).
• Gli Esercizi assegnati vanno intesi come strumento per la piena comprensione della teoria e come strumento di preparazione al superamento dei test/esami.
• L'esame consiste in una prova scritta ed un colloquio orale.

• Orario delle lezioni (dall' 1/10/2015 al 21/1/2016)
  Lu, ma, gio: 8:30-10:00; me: 9:30-11:00 - aula N18 ( via della Vasca Navale 109 )

Diario delle lezioni [se non altrimenti specificato, la numerazione di pagine, paragrafi, esempi, esercizi si riferiscono al testo [B]. ]
• Lezione 1 [1/10/15] Richiami di insiemistica [par 1.1].
  Esercizi assegnati: Es 1.1.

• Lezione 2 [5/10/15] Assiomatica (o proprietà caratterizzanti) di R: i quindici assiomi "algebrici" (4 assiomi per la somma, 4 assiomi per il prodotto, 4 assiomi per la relazione d'ordine ≤, tre assiomi che mettono in relazione somma, prodotto e ≤). Proprietà elementari dei numeri reali. (Scaricare il file1.pdf )
  Esercizi assegnati: Svolgere attentamente tutti i 100 test dal primo esercizio 'a sbarramento' della prima prova intermedia AA 13-14 ( Risposte )

• Lezione 3 [6/10/15] Insiemi induttivi e definizione di N, Z e Q. Principio di induzione (Scaricare il file2.pdf ). Disuguaglianza di Bernoulli; [par 1.5].
  Maggioranti ed estremo superiore. Il sedicesimo assioma dei numeri reali (ogni sottoinsieme di R non vuoto e limitato superiormente ammette estremo superiore) [par 1.3.2]. Definizione di radice di 2 tramite estremo superiore.
  Esercizi assegnati: Dimostrare che se a e b sono numeri positivi allora a > b se e solo se a² > b².
  Es. 1.3, 1.17.

• Lezione 4 [7/10/15] Esercitazione sul primo esercizio 'a sbarramento' della prima prova intermedia AA 13-14.

• Lezione 5 [8/10/15] Minoranti ed estremo inferiore [par 1.3.2 tutto]. Valore assoluto [par 1.3.1]: Disuguaglianza triangolare e altre proprietà del modulo (scaricare il file3.pdf ). Funzioni iniettive e suriettive [par 2.4]. Definizione di insieme finito: un insieme A si dice finito se esiste un numero naturale n ed una funzione j:A → {1,...,n} iniettiva e suriettiva; in tal caso si dice che la cardinalità di A è n: in formule, #A=n.
  Esercizi assegnati: Es 1.2, 2.9.

• Lezione 6 [12/10/15] Somma (o progressione) geometrica [formula (4.19), p. 120]; una conseguenza della formula (4.19): fattorizzazione di aⁿ - bⁿ.
  Radici e potenze [par 1.3.3 fino all'esempio 1.11 incluso]: definizione di radici ennesime tramite estremo superiore. Definizione di a^r con r razionale e a>0; definizione di a^x con a>0 e x reale; proprietà.
  Esercizi assegnati: Es 1.4, 1.5, 1.6.

• Lezione 7 [13/10/15] Definizione del logaritmo in base a≠ 1 e a > 0 come sup {s ∈ R: a^s < x}. Il logaritmo in base a di x è la funzione inversa della funzione y -> a^y.
  y= log_a x è l'unica soluzione di a^y=x [Teorema 1.13]. Proprietà del logaritmo [p. 17,18,19].
  Esercizi assegnati: Es 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11.

• Lezione 8 [14/10/15] Funzioni: definizione di funzione come grafico; definizione di successione [def. 2.2]; dominio, codominio, immagine; funzioni iniettive e suriettive; funzione inversa; funzioni composte [2.1, 2.4, 2.5, 2.6 fino metà p. 58]
  Esercizi assegnati: 2.1, 2.2, 2.3, 2.9, 2.19, 2.11, 2.12, 2.13.

• Lezione 9 [15/10/15] Funzioni monotone [par 2.2.1]; funzioni simmetriche e periodiche [par 2.2.2]; funzioni limitate, sup, max etc di funzioni [par 2.3]. Operando con le funzioni [par 2.7]. Equazioni e disequazioni: metodo grafico [par 2.8].
  Esercizi assegnati: Es 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 2.17.

• Lezione 10 [19/10/15] Svolgimento di esercizi dal primo capitolo di [B].

• Lezione 11 [20/10/15] Definizione geometrica delle funzioni trigonometriche: R² come spazio vettoriale; segmenti e poligonali in R² e loro lunghezza; definizione di arccos x per 0 ≤ x ≤ 1 come estremo superiore delle lunghezze delle poligonali iscritte nella porzione di circonferenza unitaria con ascisse tra x e 1; definizione di t -> x=cos t , per 0 ≤ t ≤ π/2, come funzione inversa di x -> t= arcos x. Definizione di sin t come radice (positiva) di 1- cos² t (per 0 ≤ t ≤ π/2); estensione (per "archi supplentari") per π/2 ≤ t ≤ π e poi (per archi "opposti") per π ≤ t ≤ 2 π [scaricare il file coseno-seno.pdf ] . Tangente e cotangente. Proprietà delle funzioni trigonometriche (in particolare formule per addizione e formule parametriche). Grafici delle funzioni trigonometriche. [par 2.2.3, 2.6.1 e Appendice 1.A].
  Esercizi assegnati: Es 2.14, 2.15, 2.16.

• Lezione 12 [21/10/15] Equazioni quadratiche e parabole [Appendice 2.A]. I numeri complessi [par 1.4 fino alla Formula di Eulero (1.25)].
  Esercitazioni: Svolgimento esercizio 2.16, r).
  Esercizi assegnati: Verificare che |z₁ z₂| = |z₁| |z₂|.
  Fare i primi 6 esercizi del seguente file4.pdf
  Svolgere gli esercizi delle prime tre pagine del seguente file5.pdf

• Lezione 13 [22/10/15] Formula di De Moivre e radici ennesime di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra e fattorizzazione di polinomi di grado n [tutto par 1.4, incluso par 1.4.1].
  Esercizi assegnati: Es 1.13 e 1.14.
  Svolgere tutti gli esercizi dei file file4.pdf e file5.pdf

• Lezione 14 [26/10/15] Esercizi svolti in classe sul secondo capitolo di [B] con particolare riferimento ai numeri complessi.

• Lezione 15 [27/10/15] Intorni; retta estesa; punti di accumulazione [par 3.1 fino alla definizione 3.5 inclusa].
  Il derivato di un insieme E è, per definizione, l'insieme D(E) dei punti di accumulazione di E.
  Esercizi assegnati: Dimostrare le seguenti affermazioni: D( (a,b))=[a,b] (con a < b); D({1/(1+n): n naturale})={0}; D(E)=+∞ se e solo se E non è limitato superiormente; D({razionali in (0,1)})=[0,1]; D({irrazionali in (0,1)})=[0,1].
  Es 3.1, 3.2, 3.3.

• Lezione 16 [28/10/15] Insiemi aperti, chiusi; frontiera; interno e chiusura. Teorema 3.11 (Un insieme non vuoto chiuso e limitato di R ammette minimo e massimo; dimostrazione alternativa) [par 3.1.1].
  Teorema di Bolzano-Weierstrass. Massimi e minimi locali (forti) [Def 3.3]; proprietà vere definitivamente [Def 3.8].
  Esercizi assegnati: Es 3.4, 3.5, 3.6, 3.7.

• Lezione 17 [29/10/15] Definizione di limite (su R^*); esempi; unicità del limite [Par 3.2 fino al teorema 3.13 incluso].
  Esercizi assegnati: Es 3.9.
  Es: Sia f(x)=x se x è razionale e f(x)=x² se x è irrazionale. Dimostrare che il limite di f(x) per x->x_o esiste se e solo se x_o=0,1 e +∞.

• Lezione 18 [2/11/15] Esercizi svolti in classe sui numeri complessi e sul capitolo 3 del [B].

• Lezione 19 [3/11/15] Conseguenze dell'esistenza del limiti: definita limitatezza e teorema della permanenza del segno; limite destro e sinistro; limite per eccesso e difetto [completare par 3.2]. Algebra dei limiti [teorema 3.18].
  Esercizi assegnati: Es 3.8 e 3.9.

• Lezione 20 [4/11/15] Dimostrazione del punto (iii) del teorema 3.18. Teorema del confronto [teorema 3.19]; aritmetica parziale di R^* [teorema 3.20]; [par 3.3 fino esempio 3.16 incluso].
  Esercizi assegnati: Completare la dimostrazione del Teorema 3.20.

• Lezione 21 [5/11/15] Limiti e funzioni monotone [Teorema 3.21]; esistenza dei limiti delle funzioni trascendenti elementari [p. 92 e 93]; cambio di variabile nei limiti (limite di funzioni composte) [Teorema 3.22]; [tutto il paragrafo 3.3, incluso tutti gli esempi].
  Esercizi assegnati: Es 3.10.

• Lezione 22 [9/11/15] Esercizi svolti in classe su: numeri complessi; limiti (esercizi sulla dimostrazione di limiti usando ε e δ ed esercizi su forme indeterminate presi dal capitolo 3 del [B]).

• Lezione 23 [10/11/15] Funzioni infinitesime e simbolo o(1) [par 3.4]. Limiti notevoli di funzioni trigonometriche [par 3.5]. Infiniti, infinitesimi e confronti [par. 3.6].
  Esercizi assegnati: Completare tutti gli esercizi del capitolo 3 (Es 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16, 3.17, 3.18).
  [D]: da Es 181 a Es 240.

• Lezione 24 [11/11/15] Il numero di Nepero e [par 4.2]. Limiti notevoli che coinvolgono e ed il logaritmo naturale [par 5.1]. Funzioni iperboliche [par 5.1.1].
  Esercizi assegnati: Es 4.4, 4.5, 4.6, 5.1. Da [D]: da Es 241 a 270.

• Lezione 25 [12/11/15] Svolgimento e discussione di esercizi sui limiti.

• Lezione 26 [16/11/15] Esercizi svolti in classe sui limiti.

• Lezione 27 [17/11/15] Successioni convergenti, divergenti e irregolari; permanenza del segno; una successione convergente è limitata; confronto; le successioni definitivamente monotone sono regolari; ordini di infinito [par 4.1]. Sottosuccessioni: una successione ha limite L in R^* se e solo se ogni sua sottosuccessione ha limite L [par 4.3]. Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ha una sottosuccessione convergente [Teorema 4.7].
  [Scaricare il file6.pdf ].
  Esercizi assegnati: 4.2, 4.3. Es da [D]: da 170 a 180.

• Lezione 28 [18/11/15] Successioni fondamentali (o di Cauchy): una successione fondamentale è limitata; una successione è convergente se e solo se è fondamentale [par 4.4] [dimostrazione di "fondamentale" ⇒ "convergenza": "fondamentale" ⇒ limitata ⇒ (per Bolzano-Weierstrass) esiste una sottosuccessione convergente ad L ⇒ (poiché fondamentale) tutta la successione converge ad L].
  Successioni e limiti di funzione: il teorema "ponte" [teorema 5.5]. Criterio per la non esistenza di limiti.
  Proposizione: una successione in un insieme chiuso E convergente ha limite in E [per assurdo: se il limite fosse in E^c (che è aperto) esisterebbe un intorno del limite tutto contenuto in E^c e la successione apparterrebbe definitivamente a tale intorno contraddicendo il fatto che la successione è in E].
  Insiemi compatti (per successioni); gli insiemi di R compatti sono gli insiemi chiusi e limitati [par 5.6; Teorema 5.7].
  Notazione f(x)=o(xⁿ) per x -> 0 [par 5.3] e riformulazione dei limiti notevoli: per x->0 si ha:
  e^x=1+ x + o(x)
  log(1+x)=x+o(x)
  sen x = x + o(x)
  cos x= 1 - x²/2 + o(x²)
  (1+x)^a= 1 + a x + o(x)
  senh x = x + o(x)
  cosh x= 1 + x²/2 + o(x²)
  
  Esercizi assegnati: Es 5.8.

• Lezione 29 [19/11/15] Serie numeriche: definizioni e proprietà elementari; code di una serie; linearità delle serie; criterio necessario per la convergenza [teorema 4.13]. Esempi: serie geometrica, serie di Mengoli [par 4.7].
  Serie telescopiche: una serie ∑ a_k si dice telescopica se a_k = b_k - b_k+1; in tal caso, si ha a₁ + a₂ + ...+ a_n = b₁ - b_n+1 e quindi la serie si comporta come la successione {b_k}; in particolare, se b_k -> L, allora ∑ a_k = b₁ - L.
  Convergenza assoluta, criterio di convergenza assoluta, criterio di Cauchy [par 4.9.1].
  Divergenza della serie armonica e convergenza della serie ∑ 1/k².
  Criterio del confronto per serie a termini positivi [Teorema 4.17]. La serie armonica generalizzata per α ≤ 1 e α ≥ 2 [Esempio 4.13].
  Esercizi assegnati: [D]: da 2401 a 2426.

• Lezione 30 [23/11/15] Esercizi svolti in classe su limiti e serie (da [D]).

• Lezione 31 [24/11/15] Criterio del confronto asintotico [par 4.8.1]; criterio del rapporto e criterio della radice [par 4.8.3]. Definizione della funzione esponenziale: exp(x)=1+x+x²/2! + ...+ xⁿ/n! + ...; per il criterio del rapporto tale serie converge assolutamente per ogni numero reale x. Teorema: exp(x)=e^x [senza dimostrazione].
  Esercizi assegnati: Es 4.9, 4.10, 4.11. [D]: da 2427 a 2469.

• Lezione 32 [25/11/15] Criterio della condensazione [par 4.8.2]. Criterio di Leibnitz [par 4.9.2].
  Esercizi assegnati: 4.12, 4.13, 4.14, 4.15, 4.16.
  [D]: da 2470 a 2483; da 2510 a 2559.

• Lezione 33 [26/11/15] Esercizi svolti in classe da [D] su limiti e serie.

• Lezione 34 [30/11/15] Esercizi vari svolti in classe su limiti e serie.

• Lezione 35 [1/12/15] Continuità (definizione con limiti e carartterizzazione con ε e δ). Teoremi che derivano dai teoremi sui limiti [par 6.1].
  Continuità di: polinomi e funzioni razionali; potenze reali, esponenziali, funzioni trigonometriche [dimostrazioni coi limiti notevoli]; modulo di x, parte positiva e negativa di una funzione continua, max{f,g} e min{f,g}=-max {-f,-g} (con f e g continue); [x] e {x} in x_o non intero.
  Esercizi assegnati: Es 6.1. [D]: da 313 a 336.

• Lezione 36 [2/12/15] Classificazione delle disconituità [par 6.2].
  Teorema degli zeri per funzioni continue su intervalli chiusi [teo, 6.8]; teorema dei valori intermedi [teo. 6.8].
  Funzioni continue e topologia: Le funzioni continue trasformano intervalli in intervalli; le funzioni continue trasformano compatti in compatti.
  Teorema di Weierstrass su massimi e minimi di funzioni continue su compatti.
  Esercizi assegnati: Es 6.2 e 6.3.

• Lezione 37 [3/12/15] Continuità e monotonia [Teo 6.12]; una funzione invertibile e continua su di un intervallo ha inversa continua [Teo 6.13 nel caso X intervallo].
  Definizione di derivata [def 7.3]. Esempio 7.1 e 7.2. Derivabile ⇒ continua [Teo 7.6]. Regole di derivazione di somma, prodotto, reciproco, rapporto [Teo 7.12 con dimostrazione]; derivata di funzioni composte [Teo 7.13]. Derivate di funzioni elementari: xⁿ con n intero; x^α con α reale; e^x; log x.
  Esercizi assegnati: [D]: da 368 a 378; da 390 a 400; da 409 a 416.

• Lezione 38 [7/12/15] Esercizi svolti in classe su continuità e calcolo di derivate.

• Lezione 39 [9/12/15] Interpretazione geometrica e cinematica della derivata.
  Rapporto incrementale e crescita locale [Lemma 7.5]. Derivata della funzione inversa [Teorema 7.14]: applicazione al logaritmo e arcoseno.
  Estremi locali e derivate: teoremi di Fermat. Rolle e Cauchy [Teoremi 7.15, 7.19 e 7.20].

• Lezione 40 [10/12/15] Teorema del valor medio o di Lagrange come corollario del teorema di Cauchy [par 7.7].
  Monotonia e derivata [par 7.7.1].
  Derivate successive [definizione per ricorrenza su n: f: (a,b) → R derivabile n ≥ 2 in x₀ significa che esiste la derivata di ordine n-1 in (a,b) e che esiste il limite del rapporto incrementale (f^(n-1)(x) - f^(n-1)(x₀))/(x-x₀) per x → x₀ (dove f^(k)(x)=D^kf(x) denota la derivata di ordine k in x)]; par 7.8.
  Proposizione Se f è derivabile in (a,b) e Df(c)=0 con c ∈ (a,b) e D²f(c)>0, allora c è un punto di minimo locale stretto.
  Dim. Per il teorema di permanenza del segno esiste un intorno di c, I=(c-r,c+r) tale che il rapporto incrementale (Df(x)-Df(c))/(x-c)= Df(x)/(x-c)>0 in I-{c}; quindi Df(x) > 0 per c < x < c+r e Df(x) < 0 per c-r < x < c; dunque f è strettamente decrescente per c-r < x < c e strettamente crescente per c < x < c+r il che implica f(c) < f(x) per ogni x in I-{c}. QED
  Asintoti [par 5.2].
  Funzioni convesse e concave [definizione per funzioni derivabili 2 volte: f convessa in (a,b) ⇔ D²f ≥ 0 in (a,b); strettamente convessa ⇔ D²f > 0]; [teorema 7.30 senza dim]; definizione di flesso [def 7.31].
  Studio di funzioni [par 7.10].
  Coefficienti binomiali [Appendice 1.B].
  Esercizi assegnati: Es 7.6, 7.8, 7.9, 7.10, 7.11. Es 5.2.
  Da [D]: da 409 a 563. Da 667 a 691. Da 756 a 765. Da 811 a 859. Da 891 a 990.

• Lezione 41 [14/12/15] Esercizi svolti in classe sul programma della prima prova intermedia.

• Lezione 42 [15/12/15] Teorema di de l'Hopital (Bernoulli) [par 7.7.2: in particolare teorema 7.2 (con la dimostrazione nel testo) e teorema 7.3].
  Esercizi svolti in classe.

• Lezione 43 [16/12/15] Polinomio e formula di Taylor, teorema 7.34 di Peano-Taylor [par 7.11].

• Lezione 44 [17/12/15] Esercizi svolti in classe.

• Lezione 45 [21/12/15] Esercizi svolti in classe.

• Lezione 46 [22/12/15] Esercizi svolti in classe.

• Lezione 47 [7/1/16] Introduzione al concetto di integrale. L'integrale di f tra a e b definito come "area" dell'epigrafo E_f(a,b):={(x,y): a ≤x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} per una funzione positiva (continua su [a,b]) e come area con segno per una funzione che cambia segno (un numero finito di volte e continua su [a,b]). Definizione di funzione integrale F(x):= area (E_f(a,x)).
  Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Newton-Leibnitz): Se f è continua su [a,b] allora la sua funzione integrale F(x) è derivabile in [a,b] e F'(x)=f(x).
  Corollario (del teorema fondamentale del calcolo e del teorema di Lagrange): Se f è C¹([a,b]) allora l'integrale tra a e b di f ' è uguale a f(b)-f(a).

• Lezione 48 [11/1/16] Esercizi svolti in classe sul calcolo integrale.

• Lezione 49 [12/1/16] Definizione di integrale di Riemann: suddivisioni (relazione tra suddivisioni, suddivisione unione, ampiezza); somme inferiori e somme superiori. Lemma 8.3 e definizione di integrabilità. Definizione di area di una figura piana A delimitata da due grafici A:= {(x,y): a ≤ x ≤ b; g(x) ≤ y ≤ f(x)} con f e g integrabili su [a,b] e g ≤ f, come l'integrale da a a b di (f-g).
  Un esempio negativo: la funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann. [par 8.1].

• Lezione 50 [13/1/16] Funzioni integrabili secondo Riemann:
  1) funzioni costanti a tratti [f: [a,b] → R si dice costante a tratti se esiste una suddivisione D={x₀=a < x₁ < ...< x_n=b} e numeri reali c_i tali che f(x)=c_i se x_i-1 < x < x_i, con 1 ≤ i ≤ n].
  2) funzioni limitate e monotone su [a,b]
  3) funzioni limitate e continue a tratti su [a,b] [f: [a,b] → R si dice continua a tratti se esiste una suddivisione D={x₀=a < x₁ < ...< x_n=b} tale che f à continua su (x_i-1 , x_i) per ogni 1 ≤ i ≤ n].
  Funzioni Lipschitziane e dimostrazione dell'integrabilità delle funzioni Lipschitziane su [a,b] ( file7.pdf aggiornato il 14-1-16).
  [par 8.2]
  Proprietà dell'integrale e teorema della media integrale [par 8.3].
  Funzioni integrali e teorema fondamentale del calcolo [par 8.4].
  Funzioni primitive e integrale indefinito [par 8.5].
  Esercizi assegnati: es 8.2; es 8.6. [D]: da 1031 a 1050.

• Lezione 51 [14/1/16] Integrazione per sostituzione [par 8.6.2 incluso esempi e esercizi].
  Esercizi assegnati: [D]: da 1051 a 1210.

• Lezione 52 [18/1/16] Esercizi svolti in classe su integrazione.

• Lezione 53 [19/1/16] Integrazione per parti [par 8.6.1 incluso esempi ed esercizi]. Integrabilità in senso impropio [par par 8.7 tutto, incluso esempi ed esercizi].
  Esercizi assegnati: [D]: da 1211 a 1254. [D]: da 1546 a 1575.

• Lezione 54 [20/1/16] Esercizi svolti in classe su formula di Taylor e su integrali.
  Esercizi assegnati: [D]: da 766 a 770 (e sviluppi in serie delle principali funzioni: [D] p. 308).
  Tutti gli esercizi su [D] relativi alla integrazione (cap IV e cap V fino al par 7 incluso).

• Lezione 55 [21/1/16] Esercitazione sul calcolo di integrali.

Esami

Prova intermedia : 23/12/15; 9:00-11:00


Prova Integrativa e Primo appello : 27/1/16; 9:00-11:00; aule: N18 (Dam-Far), N15 (Fas-Geg), N16 (Geh-K).
Orale: 8/2/2016 aula N18 ore 9:00.

Secondo appello 20/6/2016 ore 9:00-11:00 (scritto); aula N18.

Terzo appello 11/7/16 ore 9:00-11:00 (scritto); aula N18.

Quarto appello 21/9/16 ore 9:00-11:00 (scritto); aula N18.

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