AM300 - Analisi Matematica 5 (9 cfu)
AA 2022-2023 - II Semestre
AVVISI
- [18/2/23] Il corso comincerà mercoledì 22/2/23.
Diario delle lezioni/esercitazioni
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Lezioni 1 e 2 [22/2/23]
Richiami: definizione di rettangolo in Rn. Definizione di insieme elementare. Unione, intersezione e differenza di due
insiemi elementari
sono insiemi elementari. Definizione di insieme trascurabile. Esempi e confronto con la nozione di misura di Peano-Jordan nulla. Un'unione
numerabile di insiemi trascurabili è un insieme trascurabile. Definizione di "quasi ovunque". Funzioni a gradini e definizione
dell'insieme S(E).
Enunciato: una successione crescente di funzioni a gradini con integrali uniformemente limitati converge quasi ovunque.
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Lezioni 3 e 4 [24/2/23]
Una successione crescente di funzioni a gradini con integrali uniformemente limitati converge quasi ovunque: dimostrazione. Definizione della
classe F(E) delle funzioni che sono limite quasi ovunque di una successione crescente di funzioni a gradini con integrali uniformemente
limitati.
Definizione di integrale di Lebesgue per funzioni in F(E). Lemma: l'integrale di Lebesgue preserva le disuguaglianze tra funzioni in F(E).
Lemma: se una successione fk di funzioni a gradini decresce quasi ovunque a zero, allora il limite dell'integrale di
fk
nullo.
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Lezioni 5 e 6 [27/2/23]
Lemma: se una successione decrescente di funzioni a gradini positive fk è tale che il limite
dell'integrale di
fk nullo, allora fk tende
a zero quasi ovunque.
Osservazione: la funzione di Dirichlet appartiene alla classe F(E).
Osservazione: Se f è limite quasi ovunque di una
successione crescente di funzioni a gradini la cui successione degli integrali diverge, allora f non appartiene a F(E).
Lemma: se f è
Riemann-integrabile su un rettangolo limitato E, allora f e -f appartengono a F(E) e il valore dell'integrale di f nel senso di Lebesgue
coincide col valore dell'integrale di f nel senso di Riemann.
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Lezioni 7 e 8 [1/3/23]
Lemma: se f e -f appartengono a F(E),
allora f quasi ovunque uguale a una funzione Riemann-integrabile. Esempio di funzione f appartenente a F(E),
ma non uguale quasi ovunque a una funzione Riemann-integrabile, quindi t.c. -f non appartiene a F(E).
L'insieme F(E) non è uno spazio vettoriale né un'algebra.
Definizione dello spazio vettoriale
ℒ1
e integrale di Lebesgue di funzioni in
ℒ1. Prime proprietà dell'integrale di Lebesgue su
ℒ1.
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Lezioni 9 e 10 [3/3/23]
Teorema di convergenza monotona di Beppo Levi: enunciato e dimostrazione. Esempio: l'ipotesi di monotonia nell'enunciato
&wgrave; necessaria. Data una serie di funzioni in
ℒ1
tale che la serie degli integrali dei moduli converga, allora la serie
di funzioni converge quasi ovunque a un limite in
ℒ1
e l'integrale della serie è uguale alla serie degli integrali.
Se f è una funzione in
ℒ1
tale che l'integrale di |f| è nullo, allora f=0 quasi ovunque. Enunciato del
teorema di convergenza dominata di Lebesgue.
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Lezioni 11 e 12 [6/3/23]
Teorema di convergenza dominata di Lebesgue: dimostrazione. Lemma di Fatou. Proposizione: se le fk sono in
ℒ1,
fk converge a f q.o. e |f| ≤ g, con g in ℒ1, allora f ∊
ℒ1.
Applicazione: Teorema di derivazione sotto il segno di integrale.
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Lezioni 13 e 14 [8/3/23] (esercitazione) Discussione di esercizi vari.
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Lezioni 15 e 16 [10/3/23] (esercitazione) Discussione di esercizi vari.
Definizione varie
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Lezioni 17 e 18 [13/3/23]
Teorema di Vitali-Lebesgue.
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Lezioni 19 e 20 [15/3/23]
Definizione di L1 e teorema di Riesz-Fischer.
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Lezioni 21 e 22 [17/3/23] (esercitazione) Discussione degli esercizi assegnati.
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Lezioni 23 e 24 [20/3/23] Spazi L2 e teorema di Riesz-Fischer.
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Lezioni 25 e 26 [22/3/23] Teorema di Fubini.
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Lezioni 27 e 28 [24/3/23] (esercitazione) Discussione degli esercizi assegnati.
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Lezioni 29 e 30 [27/3/23]
Funzioni e insiemi misurabii secondo Lebesgue. Combinazioni lineari, max/min,
reciproco (se diversa da zero) di funzioni misurabili sono misurabilei.
Gli insiemi misurabili formano una sigma-algebra.
La misura di Lebesgue è sigma-additiva.
Gli insiemi trascurabili coincidono con gli insiemi misurabili di misura nulla.
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Lezioni 31 e 32 [29/3/23]
Il limite q.o. di funzioni misurabili è misurabile. f è misurabile se e solo se f -1 di un aperto è
misurabile.
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Lezioni 33 e 34 [3/4/23]
Teorema del cambio di variabili nelle integrazioni. Il caso lineare.
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Lezioni 35 e 36 [5/4/23]
Fine della dimostrazione del teorema di cambio di variabili nellintegrazione.
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Lezioni 37 e 38 [12/4/23]
Coefficienti di Fourier di funzioni L1. Lemma di Riemann-Lebesgue. Disuguaglianza di Bessel.
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Lezioni 39 e 40 [14/4/23]
Serie di Fourier di funzioni regolari: convergenza puntualle della serie di Fourier di una funzione Riemann integrabile in punti di differenziabilità.
Relazione tra decadimento dei coeffienti di Fourier e regolarità della funzione.
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Lezioni 41 e 42 [17/4/23]
Teoria delle serie di Fourier in L2.
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Lezioni 43 e 44 [19/4/23]
(esercitazione) Discussione di esercizi vari.
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Lezioni 45 e 46 [24/4/23]
Trasformata di Fourier per funzioni L1 e sue proprietà.
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Lezioni 47 e 48 [28/4/23]
Il teorema di inversione per funzioni C2 a supporto compatto.
Es Dimostrare la formula di Parseval per funzioni C2 a supporto compatto.
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Lezioni 49 e 50 [3/5/23]
La trasformata di Fourier in L2(R).
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Lezioni 51 e 52 [5/5/23]
L'oscillatore armonico smorzato.
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Lezioni 53 e 54 [8/5/23]
Esempi di EDO (Equazioni Differenziali Ordinarie) con infinite soluzioni del problema di Cauchy e con blow up in tempi finiti.
Il problema di Cauchy per sistemi di EDO e sua formulazione integrale; enunciato del teorema di esistenza e unicità.
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Lezioni 55 e 56 [10/5/23]
Operatore di Picard e algoritmo per costruire soluzioni di sistemi di EDO.
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Lezioni 57 e 58 [12/5/23]
Lemma di Gronwall. Tempi di esistenza. Unicità.
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Lezioni 59 e 60 [15/5/23]
Soluzioni locali, massimali e globali del problema di Cauchy. Criteri di estensione.
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Lezioni 61 e 62 [17/5/23]
Criterio di massimalità per funzione con crescita al più lineare in x.
Sistemi nxn lineari a coefficienti variabili: lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione n.
Wronskiano e formula di Abel-Liouville.
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Lezioni 63 e 64 [19/5/23] (esercitazione)
Esercitazioni su EDO esplicitamente risolubili.
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Lezioni 65 e 66 [22/5/23] (esercitazione)
Esercitazioni su EDO esplicitamente risolubili.
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Lezioni 67 e 68 [24/5/23] (esercitazione)
Esercitazioni su EDO.
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Lezioni 69 e 70 [26/5/23] (esercitazione)
Esercitazioni su EDO (Clairault e sistemi Hamiltoniani su
R2).
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Lezioni 71 e 72 [29/5/23] (esercitazione)
Sistemi Hamiltoniani ad un grado di libertà (esempi e classificazione delle orbite).