Analisi Matematica 1
(canale fi-k)

Docente: Prof. Pierpaolo Esposito


Testi di riferimento
Esoneri e compiti d'esame
I esonero, giovedì 20/12/2018, ore 10-12. Argomenti
Testo con soluzioni
II esonero-I Appello, lunedì 28/1/2019, ore 9-11. Argomenti
Testo con soluzioni
II Appello, lunedì 17/6/2019, ore 14-16.
Testo con soluzioni
III Appello, lunedì 1/7/2019, ore 14-16.
Testo con soluzioni
IV Appello, lunedì 16/9/2019, ore 14-16.
Testo con soluzioni

Diario delle lezioni
Lezione 1 (2/10/2018): Richiami sulla costruzione dei numeri interi Z e razionali Q a partire dai numeri naturali N; assenza di radici quadrate in Q; massimo, maggiorante ed estremo superiore di un insieme.
Lezione 2 (3/10/2018): Costruzione assiomatica dei numeri reali R ed assioma dell'estremo superiore; costruzione dei numeri naturali N come il più piccolo insieme induttivo, principio di induzione ed esempi.
Lezione 3 (4/10/2018): Cenni di calcolo combinatorio; formula del binomio di Newton, triangolo di Tartaglia e coefficienti binomiali; disuguaglianza di Bernoulli; proprietà di Archimede.
Lezione 4 (5/10/2018): Densità di Q in R; caratterizzazione dell'estremo superiore; costruzione in R della radice quadrata; esempi.
Lezione 5 (8/10/2018): Costruzione del campo complesso; parte reale e immaginaria, coniugio, modulo e disuguaglianza triangolare; rappresentazione polare, prodotto in rappresentazione polare.
Lezione 6 (9/10/2018): Radici n-esime dell'unità. Esercizi su equazioni in campo complesso e principio di induzione.
Lezione 7 (10/10/2018): Esercizi su sup/inf. Funzioni, dominio e co-dominio; immagine e pre-immagine; iniettività, suriettività e funzione inversa.
Lezione 8 (11/10/2018): Insiemi aperti e chiusi in R; punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati; caratterizzazione degli insiemi aperti/chiusi; chiusura di un insieme; esempi.
Lezione 9 (12/10/2018): Teorema di Bolzano-Weierstrass; controesempi.
Lezione 10 (16/10/2018): Limite della radice n-esima di p e n; limite degli esponenziali; confronti di ordine di infinito tra n, esponenziali, fattoriale, n^n.
Lezione 11 (17/10/2018): Parte intera e parte frazionaria. Confronto di ordine di infinito tra log n e n. Limite della radice n-esima di log n e fattoriale di n.
Lezione 12 (18/10/2018): Definizione di limite finito e infinito. Operazioni con i limiti e forme indeterminate. Successioni convergenti sono limitate.
Lezione 13 (19/10/2018): Permanenza del segno e confronto tra limiti. Sottosuccessioni; legame tra limiti di una successione e sue sottosuccessioni. Limiti di successioni monotone.
Lezione 14 (23/10/2018):  Equivalenza tra la costruzione delle potenze con esponente reale tramite estremo superiore e tramite limite di approssimazioni razionali; proprietà delle potenze con esponente reale.
Lezione 15 (24/10/2018): Definizione del numero di Nepero e; caratterizzazione come serie; irrazionalità di e.
Lezione 16 (25/10/2018): Esercizi su equazioni in campo complesso e principio di induzione. Testo
Lezione 17 (26/10/2018): Massimo/minimo limite; caratterizzazione del massimo/minimo limite; legame tra massimo/minimo limite e i limiti delle sottosuccessioni convergenti; esempi.
Lezione 18 (31/10/2018): Esercizi su sup/inf e limiti di successioni. Testo
Lezione 19 (6/11/2018): Caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite successioni; insiemi compatti; gli insiemi compatti coincidono con gli insiemi chiusi e limitati. Completezza di R.
Lezione 20 (7/11/2018): Intorni dei punti finiti e di +/- infinito; definizione generale di limite di funzione con gli intorni. Teorema ponte. Confronti di infinito tra (log x)^alpha, x^beta, A^x con A>1, x^x; limite di A^x all'infinito.
Lezione 21 (8/11/2018): Esercizi su limiti di successione/funzione e massimo/minimo limite. Testo
Lezione 22 (9/11/2018): Esercizi su limiti di successione/funzione e massimo/minimo limite. Testo
Lezione 23 (13/11/2018): Limite di  (1+1/x)^x a +/- infinito. Limite notevole di seno e coseno. Proprietà dei limiti (permanenza del segno, confronto, operazioni con i limiti); validità delle operazioni con i limiti e forme indeterminate.
Lezione 24 (14/11/2018): Limite destro/sinistro e relazione con il limite completo. Limiti di funzioni monotone e continuità del logartimo. Limite di (1+x)^1/x in zero, limite notevole del logaritmo e dell'esponenziale.
Lezione 25 (15/11/2018): Funzioni continue; continuità delle funzioni elementari; continuità di somma, prodotto, quoziente, composizione.
Lezione 26 (16/11/2018): Teoremi della permanenza del segno, degli zeri e dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Cenni alla continuità della funzione inversa.
Lezione 27 (20/11/2018): Definizione di derivata e significato geometrico. Calcolo della derivata di sin x, cos x, x^n, a^x.  Regole di derivazione  per: somma, prodotto, quoziente, composizione.
Lezione 28 (21/11/2018): Derivata della funzione inversa e calcolo delle derivata di arcsin x, arccos x,  arctan x, x^alpha. Esercizi sulle derivate. Testo
Lezione 29 (22/11/2018): Teorema di Fermat e di Rolle. Procedimento per determinare massimo/minimo assoluto di una fz. su insieme compatto. Teoremi di Cauchy e Lagrange. Monotonia di funzioni derivabili; funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti.
Lezione 30 (23/11/2018): Asintoto verticali, orizzontali e obliqui; studio di fz. ed esercizi.
Lezione 31 (27/11/2018): Esercizi su studio di fz. Teorema di de L'Hôpital.
Lezione 32 (28/11/2018): Formula di Taylor, formula di Peano e di Lagrange per il resto. Sviluppo di Taylor per l'esponenziale.
Lezione 33 (29/11/2018): Somma geometrica; sviluppi di Taylor per: seno, coseno, logaritmo, arco-tangente; cenni agli sviluppi in serie di Taylor.
Lezione 34 (30/11/2018): Esercizi sui limiti tramite sviluppi di Taylor e formula di del'Hopital. Seno e coseno iperbolico. Criterio per massimi/minimi locali.
Lezione 35 (4/12/2018) Esercizi su studio di fz. e limiti tramite sviluppi di Taylor e formula di del'Hopital.
Lezione 36 (5/12/2018) Definizione di integrale di Riemann e proprietà; integrabilità delle funzioni continue; teorema della media integrale, I teorema fondamentale del calcolo integrale.
Lezione 37 (6/12/2018) Esercizi su studio di fz. e limiti tramite sviluppi di Taylor e formula di de l'Hopital. Testo
Lezione 38 (7/12/2018) II teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti ed esercizi.
Lezione 39 (11/12/2018) Cambio di variabili negli integrali. Sostituzione con tgx o tg(x/2) per espressioni in seno/coseno. Esercizi.
Lezione 40 (12/12/2018) Integrazione delle fz. razionali ed esercizi.
Lezione 41 (13/12/2018) Esercizi su studio di fz. e limiti tramite sviluppi di Taylor. Testo
Lezione 42 (14/12/2018) Integrazione di espressioni in potenze frazionarie di ax+b/cx+d. Esercizi.
Lezione 43 (18/12/2018) Integrazione di espressioni in radici di ax^2+bx+c: sostituzioni di Eulero; sostituzione con seno/coseno oppure con seno/coseno iperbolico. Esercizi.
Lezione 44 (19/12/2018) Esercizi vari sugli integrali. Testo
Lezione 45 (20/12/2018) I Esonero.
Lezione 46 (21/12/2018) I Esonero.
Lezione 47 (8/1/2019) Integrali impropri; integrabilità di x^alpha in (0,1) e (1,∞). Introduzione alle serie e serie geometrica.
Lezione 48 (9/1/2019) Criterio del confronto e del confronto asintotico. Serie armonica. Criterio della radice.
Lezione 49 (10/1/2019) Criterio del rapporto. Esercizi.
Lezione 50 (11/1/2019) Esercizi su integrali e serie. Testo
Lezione 51 (15/1/2019) Criterio di condensazione di Cauchy. Serie armoniche generalizzate. Esercizi.
Lezione 52 (16/1/2019) Criterio della convergenza assoluta. Serie telescopiche. Esercizi.
Lezione 53 (17/1/2019) Criterio di Leibnitz. Esercizi.
Lezione 54 (18/1/2019) Esercizi vari sulle serie. Testo
Lezione 55 (14/2/2019) Svolgimento degli esercizi del primo appello.
Lezione 56 (2/6/2019) Svolgimento di esercizi in preparazione agli appelli della sessione estiva.
Lezione 57 (21/6/2019) Svolgimento degli esercizi del secondo appello.
Lezione 58 (5/9/2019) Svolgimento di esercizi in preparazione all'ultimo appello.


Programma sintetico di massima 
Insiemi numerici (N,Z,Q e R), costruzione assiomatica di R, costruzione di N e principio di induzione, i numeri complessi; elementi di topologia in R e teorema di Bolzano-Weierstrass; funzioni reali di variabile reale, limiti di funzione e proprietà, limiti di successione, limiti notevoli, il numero di Nepero; funzioni continue e loro proprietà;  derivata di funzione e proprietà, i teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l'Hopital, formula di Taylor), funzioni convesse/concave; grafico di funzione; integrazione secondo Riemann e proprietà, integrabilità delle funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per sostituzione e per parti, regole di integrazione; serie numeriche, convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza per serie a termini positivi e per serie a termini qualsiasi; sviluppi in serie di Taylor; integrali impropri.