Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL420 - Teoria Algebrica dei Numeri
a.a. 2010/2011 - II Semestre
Diario delle Lezioni
Settimana 1: Campi
numerici. Ampliamenti algebrici semplici di Q. Ampliamenti
finiti. Il Teorema dell'Elemento Primitivo. Esempi: ampliamenti
quadratici, ampliamenti ciclotomici.
Esercizi
Settimana 2:
Immersioni di un campo numerico nel campo complesso. Elementi
coniugati, traccia e norma. Esempi.
Richiami di Teoria dei Moduli:
generatori, quozienti, omomorfismi, operazioni tra sottomoduli. Ideali
frazionari. Moduli liberi finitamente generati: basi e rango.
Esercizi
Settimana 3:
Omomorfismi tra moduli liberi.
Cambiamento di base. Gruppi abeliani liberi. Ogni sottogruppo di un
gruppo abeliano libero finitamente generato è libero. Quozienti
di un gruppo libero.
Interi algebrici: prime proprietà. Anelli di interi quadratici.
Esercizi
Settimana 4:
Discriminante rispetto a una base. Metodi
di calcolo. Esistenza di basi intere. Il discriminante di un campo
numerico: caso quadratico e ciclotomico. Un algoritmo per la ricerca di
basi intere.
Esercizi
Settimana 5:
L'anello degli interi del p-esimo
ampliamento ciclotomico. Ideali
negli anelli di interi algebrici e loro basi intere: caso quadratico.
Gli anelli di interi algebrici sono noetheriani di dimensione uno.
Richiami sulla fattorizzazione: domini euclidei, di Bezout, principali,
a fattorizzazione unica, col massimo comune divisore. Caso noetheriano
e di dimensione uno. Esempi di fattorizzazione non unica in anelli di
interi quadratici.
Esercizi
Settimana
6:
Norma di un ideale. L'anello degli interi
ciclotomici non è a fattorizzazione unica per p = 23. Un
criterio perché un anello di interi algebrici sia a
fattorizzazione unica oppure euclideo. Classificazione degli anelli di
interi quadratici
euclidei non reali. Cenni sul problema della fattorizzazione negli
anelli di interi quadratici. Il gruppo delle unità degli anelli
di interi quadratici.
Esercizi
Settimana 7:
Enunciato del Teorema delle Unità di Dirichlet.
Elementi primi di Z[i]. Gli anelli di interi algebrici sono di
Dedekind. Ideali invertibili.
Settimana 8:
Ogni ideale di un anello di interi
algebrici è invertibile. Ogni ideale di un anello di interi
algebrici è prodotto di ideali primi univocamente determinati.
Settimana 9:
La norma di ideali
è moltiplicativa. Anelli di interi quadratici: ideali coniugati,
norma, ideali primi, fattorizzazione in ideali primi, esempi di primi
inerti, decomposti e ramificati.
Esercizi
Settimana 10:
Congruenze
quadratiche. Studio della ramificazione negli anelli di
interi quadratici. Ideali primi negli anelli di interi algebrici: grado
e indice di ramificazione. La relazione n = e1f1+ ... + egfg.
Settimana 11:
Studio della ramificazione negli anelli di
interi algebrici: un metodo di calcolo. Caso degli ampliamenti
di Galois. Se l'ampliamento è di Galois, il prodotto degli
ideali coniugati è principale,
generato dalla norma.
Esercizi
Settimana 12:
Studio della ramificazione negli anelli di
interi ciclotomici.
Esercizi
Settimana 13:
Il gruppo delle classi di ideali. Il numero delle classi. Calcolo
di esempi. Primi regolari. Cenni sulla dimostrazione del Teorema di
Fermat per i primi regolari.
Esercizi