AL310 - Istituzioni di Algebra Superiore: Teoria delle equazioni

A.A. 2017/2018 - I Semestre - Crediti 7



Informazioni Generali

Docenti Valerio Talamanca Francesco Pappalardi
Ricevimento per appuntamento Martedì 11 - 13
Ufficio209209
Telefono 06 5733 8247 06 5733 8243
E-mail valerio at mat.uniroma3.it pappa at mat.uniroma3.it
TUTORI Chiara CAMERINI e
Giuseppe Gianclaudio PIETRAZZINI
Lezioni:
Lunedì09 - 11(Aula F)
Martedì16 - 18(Aula F)
Mercoledì11 - 13(Aula F)
Lunedì14 - 16(Aula 009 - TUTORATO)
DESCRIZIONE DEL CORSO



Informazioni Generali Avvisi Diario delle Lezioni Testi Consigliati Programma Tutorato/Esercizi proposti Esoneri/Esami

Avvisi:

  • [05/12/17] La seconda prova in itinere è fissata per Lunedì 18 Dicembre avrà luogo alle ore 9:00 in Aula F invece che alle ore 11:00
  • [26/09/17] La prima prova in itinere è fissata per Venerdì 10 Novembre alle ore 11:00
  • [26/09/17] La seconda prova in itinere è fissata per Lunedì 18 Dicembre alle ore 11:00 (NB. Orario spostato alle ore 9:00)
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    Diario delle Lezioni:

    1. [25/09/17] Presentazione del corso, informazioni, equazioni di terzo grado e formula di risoluzione di Cardano, L'idea della Teoria di Galois. Generalità e Richiami su Anelli, sottoanelli, campi, omomorfismi.
    2. [26/09/17] Caratteristica di un campo. Ancora generalità sui campi, sottocampi, Anelli di polinomi, Fattorizzazione dei polinomi, radici razionali dei polinomi. Algoritmo per la fattorizzazione dei polinomi. I coefficienti di un polinomio sono le funzioni simmetriche elementari nelle radici.
    3. [27/10/17] Criterio di Eisenstein - irriducibilità del p-esimo polinomio ciclotomico. Esempi
    4. [02/10/17] Teorema della dimensione. Esempi. Estensioni algebriche semplici (campi a gambo). Calcoli nelle estensioni algebriche semplici. Sottoanelli e sottocampi generati da sottoinsiemi.
    5. [03/10/17] Elementi algebrici e trascendenti di una estensione. Polinomio minimo e sue caratterizzazioni. Estensioni algebriche e trascendenti. Un estenione è finita se e solo se è algebrica e finitamente generata. Numeri trascendenti e numeri algebrici. Problemi e fatti sui numeri trascendenti, numerabilità dei numeri algebrici. Campi algebricamente chiusi. Chiusura algebrica di un campo in un estensione.
    6. [04/10/17] Un esempio di numero trascendente. Campi algebricamente chiusi e loro caratterizzazione. Chiusura algebrica di un campo in un estensione. F-Omomorfismi di campi. F-omomorfismi su estensioni semplici. (fino alla Proposizione 2.1 inclusa)
    7. [09/10/17] F-Omomorfismi di campi su estensioni semplici. Proposizioni 2.1 e 2.2. Esercizi dal primo tutorato dell'AA 2016/17
    8. [10/10/17] Esercizi dal primo tutorato dell'AA 2016/17
    9. [16/10/17] F-Omomorfismi di campi. F-omomorfismi su estensioni semplici. Campi di spezzamento e esistenza del campo di spezzamento.
    10. [17/10/17] Esempi: campi di spezzamento di polinomi di grado 2, 3 e 4 e loro possibile grado. ProprietÓ dei campi di spezzamento
    11. [18/10/17] Radici multiple, polinomi irriducibili con radici multiple e loro proprietà. Polinomi separabili e campi perfetti. Esempi di campi imperfetti.
    12. [23/10/17] Fine dei campi perfetti. Automorfismi di campi. Automorfismi del campo di spezzamento di un polinomio separabile. Esempi.
    13. [24/10/17] Ancora sugli automorfismi. Il Lemma di Artin. Campo degli invarianti. Prima forma del teorema di corrispondenza di Galois. Struttura del reticolo dei sottocampi di Q[ζn], n < 8
    14. [25/10/17] Ancori sulle estensioni di Galois. ESERCIZI
    15. [30/10/17] ESERCITAZIONE
    16. [31/10/17] ESERCITAZIONE
    17. [10/11/17] PROVA IN ITINERE
    18. [13/11/17] Correzione della prima prova in itinere
    19. [14/11/17] Il Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois. Inizio dimostrazione. Esempio: Il reticolo dei sottocampi del campo di spezzamento del polinomio X4-2, Il suo gruppo di Galois è diedrale, il reticolo dei sottogruppi di D4.
    20. [15/11/17] Fine dimostrazione del Teorema di corrispondenza di Galois. Esempi: il reticolo dei sottocampi di Q7). Gruppi di Galois come sottogruppi di Sn
    21. [20/11/17] Costruzioni con riga e compasso: Definizione di punti costruibili con riga e compasso. Costruzioni elementari con riga e compasso: mediana di un segmento, cerchio per tre punti, perpendicolare ad una retta data per un punto sulla retta e per un punto esterno alla retta, parallela ad una retta per un punto, circonferenza con centro un punto dato e raggio dato, bisezione di un angolo. Numeri reali costruibili: definizione e dimostrazione che l'insieme dei numeri costruibili forma un campo. La radice di un numero costruibile è costruibile.
    22. [21/11/17] Caratterizzazione dei numeri costruibili in base all'estensione dei razionali che generano. Impossibilità di soluzione con riga e compasso dei problemi classici. Duplicazione del cubo, trisecazone di un angolo, quadratura del cerchio. Poligoni regolalari costruibili: se un poligono regolare con p lati, p primo, è costruibile allora p è un primo di Fermat. Se un numero reale alpha genera un estensione di Galois di grado un potenza di due allora α e' costruibile. Caratterizzazione dei poligoni regolari che sono costruibili con riga e compasso.
    23. [22/11/17] Gruppi risolubili e estensioni risolubili. Enunciato del Teorema di Galois sulla risolubilità dei polinomi. La definizione di discriminante. Proprietà del discriminante. Discriminante di polinomi di grado 2 e 3.
    24. [27/11/17] Gruppi di Galois dei polinomi come sottogruppi del gruppo delle permutazioni delle radici.Ancora sui gruppi di Galois come sottogruppi di Sn. Gruppi transitivi e polinomi irriducibili. Classificazione dei sottogruppi transitivi S3, S4 e S5 (senza dimostrazioni). Permutazioni pari e sottocampo generato dalla radice quadrata del discriminante. Esempi.
    25. [28/11/17] Polinomi di grado quattro. Risolvente cubica. Problema inverso di Galois (enunciato). Polinomi aventi gruppo di Galois isomorfo a Sp.
    26. [29/11/17] Campi finiti. proprietà, esempi, enumerazione dei polinomi irriducibili, gruppo di Galois di un campo finito.
    27. [04/12/17] La chiusura algebrica di un campo finito. Estensioni semplici e Teorema dell'Elemento Primitivo. Esercizi sui campi finiti dai compiti degli anni precedenti.
    28. [05/12/17] Dimostrazione del Teorema fondamentale dell'algebra usando la Teoria di Galois. Dimostrazione dell'irriducibilità di tutti i polinomi ciclotomici. Risoluzioni di esercizi dagli esami degli anni passati.
    29. [06/12/17] LEZIONE ANNULLATA
    30. [11/12/17] SOLUZIONE DELLA PROVA IN ITINERE DELL'ANNO ACCADEMICO 2016/2017
    31. [12/12/17] Periodi di Gauss e altri esercizi
    32. [13/12/17] Esempio di Polinomio con gruppo di Galois Quaternionico e altri esercizi
    33. [18/12/17] SECONDA PROVE IN ITINERE


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    Esoneri/Esami:

  • Esame di metà semestre 10 Novembre 2017, ore 11
    RISULTATI ESAME DI METÀ SEMESTRE
    MATRICOLA 1 2 3 4 5 6 7 8 TOT
    417186 2 1 1 4 0 3 0 4 15
    429071 ASS
    440694 2 4 3 4 0 4 1 4 22
    442054 2 2 1 4 0 3 2 4 18
    443490 2 3 3 4 3 1 0 4 20
    462991 3 0 1 4 1 0 0 0 9
    464304 2 1 3 3 1 4 4 0 18
    470270 2 0 1 4 1 4 4 4 20
    471996 0 1 2 3 3 4 0 0 13
    472719 1 0 1 4 1 1 0 1 9
    475036 4 0 2 4 0 4 4 0 18
    475226 1 0 1 4 0 4 3 4 17
    475396 3 0 1 1 3 3 1 4 16
    484483 2 2 0 4 1 2 4 4 19
    484484 4 2 3 4 4 4 1 3 25
    485625 4 3 4 4 0 4 2 4 25
    486893 4 2 3 0 4 4 1 0 18
    488764 2 0 1 4 0 0 4 0 11
    489622 4 1 0 4 0 4 0 4 17
    492799 3 3 2 4 0 4 1 2 19
    498346 2 0 1 4 3 0 0 0 10
    499355 2 2 2 4 1 2 4 1 18
    500221 3 1 2 4 0 3 4 1 18
    500490 2 4 1 4 1 4 4 1 21
    506920 2 0 1 2 2 3 4 0 14
    515056 2 0 1 3 4 4 1 0 15

  • Esame di fine semestre 18 Dicembre 2017, ore 9:00
  • Appello A 31/01/2018, 11:00-13:00, Aula G
  • Appello B 23/02/2018, 11:00-13:00, Aula G
  • Appello C 04/06/2018, 11:00-13:00, Aula G
  • Appello X 21/09/2018, 11:00-13:00, Aula G
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    Tutorato/Esercizi:

    1. TUTORATO 1 23 Ottobre 2017
    2. TUTORATO 2 30 Ottobre 2017
    3. TUTORATO 3 03 Novembre 2017
    4. TUTORATO 4 20 Novembre 2017
    5. TUTORATO 5 27 Novembre 2017
    6. TUTORATO 6 04 Dicembre 2017
    7. TUTORATO 7 11 Dicembre 2017


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    Testi consigliati:


  • J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes v4.22 (March 30, 2011).
  • S. Gabelli. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Springer UNITEXT (La Matematica per il 3+2) 2008, XVII, 410 pagg., ISBN: 978-88-470-0618-8
  • E. Artin.Galois Theory. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES Number 2. 1942.
  • C. Procesi.Elementi di Teoria di Galois. Decibel, Zanichelli, (Seconda ristampa, 1991).
  • M. Artin. Algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ 1991.
  • D. Dummit and R. Foote. Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ 1991.
  • T. W. Hungerford. Algebra Reprint of the 1974 original. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer-Verlag, New York-Berlin. 1980 .
  • N. Jacobson. Lectures in abstract algebra. III. Theory of fields and Galois theory. Second corrected printing. Graduate Texts in Mathematics, No. 32. Springer-Verlag, New York-Heidelberg 1975.
  • S. Lang. Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York 2002.
  • J. Rotman. Galois theory. Universitext. Springer-Verlag, New York 1998.
  • I. Stewart. Galois theory. Second edition. Chapman and Hall, Ltd., London 1989.
  • J. Stillwell. Elements of algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York. 1994
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