AC01 Analisi complessa 1

AA 2009-2010 - II Semestre (L. Chierchia)

Indice
Avvisi
Orari
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Esercizi
Bibliografia
Esoneri ed esami

AVVISI

• [23/6/10] La visione dello scritto dell'appello A e l'orale avrà luogo venerdì 25 alle ore 10:00 nello studio 210 del Dipartimento di Matematica.

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• [21/6/10] L'appello A del 23/6/10 (10:00-12:00) si terrà in aula 211 (Dip Mat).
• [26/5/10] La lezione di giovedì 27/5/10 è spostata a lunedì 31/5/10 dalle 16:00-18:00 in aula B3.
• [27/5/10] Il II esonero avrà luogo il 3/6/10, ore 10-12, in aula 211.
• [25/5/10] La lezione di mercoleddì 26/5 avrà luogo in aula G dalle 12:00 alle 12:45.
• [18/5/10] La lezione di giovedì 20/5 avrà luogo in aula C (stesso orario) e il tutorato di venerdì 21/5 in aula G (stesso orario).
• [4/5/10] Attenzione mercoledì 5/5/10 NON ci sarà lezione.
• [8/4/10] Il primo esonero verterà sul materiale svolto in classe fino alla lezione 22 (singolarità isolate incluse).
• [6/4/10] Il tutorato di venerdì 9/4/2010 avrà luogo regolarmente.

• Orario lezioni / esercitazioni / tutorato:
  - lezioni: lunedì 9-11 e giovedì 14-16, aula F (complesso aule, Largo San L. Murialdo 1)
  - esercitazioni: mercoledì 12-13, aula F (Silvia Brannetti)
  - tutorato: venerdì 16-18, aula F (Roberto Svaldi)

  Orario di ricevimento:

  Giovedì 16:00-18:00 - Studio 210, Dipartimento di Matematica

Diario delle lezioni


• Lezioni 1 e 2 [22/2/10] Il campo complesso: richiami sui numeri complessi, metrica, topologia, convergenze, etc. Serie geometrica, sirie esponenziale e trigonometriche. Formula di Eulero. Definizione di funzione olomorfa (o analitica). Equazioni di Cauchy-Riemann.
  Richiami sui numeri complessi
  Il logaritmo complesso
  Esercizi consigliati (da [A]): cap 1, par 1.1, 1.2, 1.4, 1.5; cap 2, par 2.2; cap 2, par 1.2.

• Lezioni 3 e 4 [25/2/10] Condizione necessaria e sufficiente affinché f= u + i v, con u e v C¹, sia olomorfa è che u e v soddisfino le equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche e funzioni coniugate. Gli operatori ∂_z e ∂_z¯. Lemma di Poincaré. Costruzione di funzioni coniugate di funzioni armoniche. Teorema di Hadamard sulle serie di potenze. Le serie di potenze convergenti sono funzioni olomorfe.
  Esercizi consigliati (da [A]): cap 2, par 2.4.

• Lezioni 5 e 6 [4/3/10] Trasformazioni lineari fratte: struttura di gruppo; rappresentazione standard. La sfera di Riemann. Le trasformazioni lineari fratte mandano cerchi/rette in cerchi/rette. Prese due triple di punti distinti sulla sfera di Riemann esiste un'unica trasformazione lineare fratta che manda la prima tripla sulla seconda tripla.
  Esercizi consigliati (da [A]): cap 3, par 3.1, par 3.2.

• Lezioni 7 e 8 [8/3/10] Condizioni sufficienti affinché una funzione olomorfa sia costante. |f '|² coincide con il determinante jacobiano della mappa (x,y) -> (u,v). Inverse di funzioni olomorfe. exp(z), cos z, sen z: definizioni e proprietà. Il logaritmo complesso: funzione multivoca e rami olomorfi. Il ramo principale Log z. L'argomento complesso arg z. Le funzioni arccos z e arcsen z.
  Esercizi consigliati (da [A]): cap 2, par 3.2, par 3.4.

• Lezioni 9 e 10 [11/3/10] Angoli. Mappe conformi. Una mappa è conforme se e solo se è analitica con derivata diversa da zero. Enunciato del teorema della mappa di Riemann. Esempi di diffeomorfismi analitici tra domini complessi (disco, semipiano, striscia, quadrante, settori, complementare di un segmento).
  Esercizi consigliati (da [A]): cap 3, par 4.2.

• Lezioni 11 e 12 [15/3/10] Integrazione complessa Integrale di una funzione continua da [a,b] in C: linearità e disuguaglianza in modulo. Curve orientate e integrale di f(z)dz su una curva orientata: invarianza per parametrizzazioni; integrale sulla curva opposta; integrale su "somme di curve". Integrale in |dz| e lunghezza di curve; integrale in dz coniugato. Teorema: sia f continua su una regione A. L'integrale di fdz dipende solo dagli estremi delle curve se e solo se f=F' con F analitica in A. Corollario: l'integrale di (z-z₀)ⁿ su una curva chiusa è zero per ogni n intero diverso da -1 (nel caso di n negativo la curva non deve passare per z₀).
  Esercizi consigliati (da [A]): cap 4, par 1.3.

• Lezioni 13 e 14 [18/3/10] IL teorema di Goursat (teorema di Cauchy su rettangoli). Il teorema di Goursat con singolarità. Il teorema di Cauchy su dischi con singolarità.
  Esercizi consigliati: cap 5 di [P].

• Lezioni 15 e 16 [22/3/10] Indice: definizione, esempi, proprietà fondamentali. Formula di Cauchy.
  Esercizi consigliati: cap 5 di [P]; [A] cap 4 par 2.2; [(4) ].

• Lezioni 17 e 18 [25/3/10] Il teorema fondamentale del calcolo in campo complesso: ripasso e discussione (inclusa derivazione di funzioni composte in campo complesso). Derivazione complessa sotto segno di integrale. Se f è analitica, allora f ' è analitica. Formula integrale di Cauchy per le derivate.

• Lezioni 19 e 20 [29/3/10] Teorema di Morera. Stime di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Singolarità eliminabili (o rimovibili); condizione necessaria e sufficiente. Teorema di Taylor (sviluppo finito di Taylor con rappresentazione integrale del resto). Zeri di funzioni analitiche. Se f è analitica e non identicamente 0 i suoi zeri sono isolati. Ordine di uno zero. Principio di identità per funzioni analitiche.
  Esercizi consigliati: [A] cap 4 par 2.3, es 5 par 3.2. Esercizi sul principio di identità: (5)

• Lezioni 21 e 22 [1/4/10] Poli. Ordine algebrico. Singolarità essenziali. Teorema di Weierstrass sulle singolarità essenziali. Teorema 10 di [A] (p. 131).
  Esercizi consigliati: [A] cap 4 par 3.2. [P] par 7.1. [E] (6)

• Lezioni 23 e 24 [8/4/10] Struttura locali di funzione analitiche. Ogni funzione analitica non costante è localmente una mappa n-1 ([A], Teorema 11, p.131). Teorema della mappa aperta. Principio del massimo e lemma di Schwarz ([A], cap 4, par 3.4).

• Lezioni 25 e 26 [19/4/10] Omologia di curve e catene. Il teorema generale di Cauchy su curve omomloghe a zero.

• Lezioni 27 e 28 [22/4/10] Insiemi semplicementi connessi. Il teorema di Cauchy su insiemi sempicemente connessi. Se f è analitica in A semplicemente connesso e mai zero è possibile definire un ramo analitico di log f. Periodo e residuo in una singolarità isolata. Teorema dei residui.

• Lezioni 29 e 30 [26/4/10] Il principio dell'argomento. Teorema di Rouché. Integrale tra 0 e infinito di x^a R(x).
  Teorema di Weierstrass sulla convergenza uniforme di funzioni analitiche. Teorema di Hurwitz.

• Lezioni 31 e 32 [29/4/10] Serie di Taylor. Serie di Taylor delle funzioni elementari. Serie di Laurent.

• Lezioni 33 e 34 [3/5/10] Espansione in somme parziali: teorema di Mittag-Leffler. Espansione in somme parziali di: π²/sen² πz; π cot π z; π/ sen π z.

• Lezione 35 [6/5/10] Prodotti infiniti (convergenza e convergenza assoluta). Prodotti canonici. Rappresentazione di Weierstrass di funzioni intere con infiniti zeri.

• Lezione 36 e 37 [10/5/10] Rappresentazione canonica di sen π z. La funzione Gamma di Eulero. Rappresentazione canonica di 1/Γ. Equazioni funzionali. Derivata seconda logaritmica. Formula di duplicazione di Legendre.

• Lezione 38 e 39 [13/5/10] Formula di Stirling.

• Lezione 40 e 41 [17/5/10] Formula di Stirling (fine dimostrazione). Formula integrale per la funzione gamma.

• Lezione 42 e 43 [20/5/10] Formula di Eulero per la funzione zeta di Riemann (rappresentazione prodotto). Estensione analitica di zeta (unico polo in s=1 con residuo 1). Calcolo dei valori della zeta in 0 e negli interi negativi. Gli zeri non banali della zeta sono nella striscia critica 0 ≤ t ≤ 1.

• Lezione 44 e 45 [24/5/10] Equazione funzionale della zeta di Riemann. I residui della funzione gamma; formula di moltiplicazione Gauss per gamma.

• Lezione 46 [26/5/10] Principio del valor medio e principio del massimo per funzioni armoniche. Formule di Poisson, Jensen e Poisson-Jensen.

• Lezione 47 e 48 [31/5/10] Ordine di fuzioni intere. Teorema di Hadamard. Funzioni di ordine intero λ con genere λ-1.

Diario delle esercitazioni
• Esercitazione 1 [24/2/10] [A] cap 1 par 1.1 es 1; par 1.2 es 1; par 1.4 es 3; par 2.2 es 2, 4.

• Esercitazione 2 [3/3/10] [A] cap 1 par 2.3 es 1; cap 2 par 1.2 es 4, par 2.4 es 2, 9.

• Esercitazione 3 [10/3/10] [A] cap 2 par 3.2 es 4; par 3.4 es 4, 6.
  (1) es 35.04, 1; es 35.05, 1.
  (2) es 8.51, 2.

• Esercitazione 4 [17/3/10] (1) es 35.04, 4; es 35.05, 3; es 35.06, 2.
  (2) es 35.11, 3; es 35.13, 3.

• Esercitazione 5 [24/3/10] [A]: cap 3 par 2.2 es 1, 2, 3.
  (4) n. 3, 6.
  [P]: 5.15.

• Esercitazione 6 [31/3/10] (5) : n. 1, 3, 5, 6, 7
  [P]: 6.13 b), 6.14 a)

• Esercitazione 7 [7/4/10] (4) n. 1, 8. [A] cap 3, par 4.2, es 3. (2) es 35.15.

• Esercitazione 8 [21/4/10] Correzione esonero.

• Esercitazione 9 [28/4/10] [A] cap 4, par 5.3, es 1: (a), (f); es 3: (b). Integrale tra 0 e ∞ di (cos x - cos 2x)/x² e sen³ x/ x³.

• Esercitazione 10 [6/5/10] Integrale tra 0 e π di log (sinx). Integrale tra tra 0 e ∞ di sen(ax)/senh x.

• Esercitazione 11 [12/5/10] [A] cap 4, par. 5.3, es. 3 (i). [A] cap 4, par. 5.2, es. 2. Esercizi su serie di Laurent.

• Esercitazione 12 [19/5/10] [A] cap 5, par. 2.1, es 1 e 5. [A] cap 5, par. 2.2, es 1 e 2. Integrale tra 0 e ∞ di (log x)/[x^1/3 (1+x²)]

Esercizi
• Tutti gli esercizi su [A] relativi al materiale svolto in classe (vedi Diario delle lezioni )
• Esercizi su [P] relativi al materiale svolto in classe.
• Funzioni coniugate [ Risposte ]
• Mappe conformi: (1) (2) (3) [Risposte: (R1) (R2) (R3) ]
• Teorema di Cauchy: (4)
• Principio di identità: (5)
• Singolarità isolate: (6)

Esoneri ed esami

I Esonero: 15/4/10; 10:00-12:00, aula G.

Testo

II Esonero: 3/6/10; 10:00-12:00, aula 211.

Testo


Appello A: 23/6/10; 10:00-12:00; aula 211 (Dip Mat).

Testo

Appello B: 13/7/10; 10:00-12:00; aula 211 (Dip Mat).

Testo

Appello C: 10/9/10; 10:00-12:00.

Testo

Appello D: 13/1/11; 10:00-12:00.

Testo

Bibliografia
[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

[L] Lang, Serge Complex analysis. (English summary) Fourth edition. Graduate Texts inMathematics, 103. Springer-Verlag, New York, 1999. xiv+485 pp. ISBN 0-387-98592-1

[P] Pap, Endre Complex Analysis Through Examples and Exercises Kluwer Texts in the Mathematical Sciences, V. 21 (Hardcover, 1999)

[E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions Mir, 1974.

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it