AM110 - Analisi matematica 1 (9 cfu)

AA 2019-2020 - I Semestre

Prof. Luigi Chierchia

Esercitazioni: Prof. Silvia Mataloni

Tutorato: Davide Ciaccia, Bruno Renzi

Indice

Avvisi

Orario delle lezioni

sito web di AM110 - AA 2018/19

Programma di massima del corso

Programma dettagliato del corso

Detailed program of the course (english)

Diario delle lezioni

Diario delle esercitazioni

Testi consigliati

Esoneri ed esami

AVVISI

[7/9/20] L'orale dell'appello X si terrà il 9/9/20 alle 15:30 (NON alle 16:00).

[7/9/20] L'orale dell'appello X si terrà il 9/9/20 alle 15:30 in aula 211. Possono accedere solo gli studenti che hanno riportato la sufficienza (incluso 18-).

[20/6/20] Attenzione: le modalità d'esame descritte con avviso del 4/6/20 sono cambiate. Tutto avverrà tramite Teams. Dovreste aver ricevuto tramite e-mail d'Ateneo l'invito alla prova del 22/6/20; in caso contrario, contattatemi.

[19/6/20] Lunedì 22/6/20 si terrà una prova (senza valutazione) Teams in vista dell'esame del 24/6/20. Ho mandato un messaggio tramite GOMP a tutti i prenotati: chi non avesse ancora risposto a quel messaggio è pregato di contattarmi tramite mail il più presto possibile.

[4/6/2020] Modalità di esame per l'appello del 24/6/2020:
1) tutti gli studenti di laurea devono prenotarsi per l'esame su GOMP
2) i candidati dovranno comunicarmi tramite mail (usare preferibilmente la mail ufficiale user@stud.uniroma3.it) l'intenzione di sostenere l'esame entro il 21/6/20
3) il 24/6/20 alle 9:00 manderò per mail ad ogni candidato un test individuale a scelta multipla la cui griglia di risposta (e solo quella) mi andrà inviata tramite mail entro le 9:30
4) Nel caso le risposte sia pervenute entro l'ora indicata al precededente punto e la valutazione sia sufficiente (maggioranza di risposte esatte), il candidato verrà invitato all'esame orale tramite Teams; si procederà in ordine alfabetico a partire dalle ore 10:00
5) L'esito dell'esame orale verrà - in ogni caso - registrato su GOMP
[20/1/20] Gli eventuali esonerati assieme a coloro che supereranno lo scritto dell'Appello A potranno sostenere l'orale o all'Appello A o all'Appello B (e gli esami orali degli appelli A e B saranno entro una settimana dallo scritto del rispettivo appello).
[13/1/20] Domani martedì 14/1/20 si terrà un tutorato straordinario in aula M1 dalle 14 alle 16 per la preparazione al secondo esonero.
[10/1/20] Possono fare il secondo esonero del 15/1/20 solo coloro che hanno riportato un voto sufficiente al primo esonero (non è necessario prenotarsi al secondo esonero).
Gli studenti che superino gli esoneri o lo scritto di un appello devono sostenere la prova orale. Le prove orali si terranno di norma entro una settimana dallo scritto.
Chi superi gli scritti dell'appello A può sostenere l'orale anche all'appello B.
[24/12/19] Argomenti facoltativi: Numeri algebrici e non numerabilità di R
[18/12/19] Per esercitarsi sulle serie consiglio i seguenti esercizi: [GE]: Cap 4: 1-58. [D]: 2401-2484, 2510-2559. Consiglio inoltre di consultare il materiale disponibile (con molti esercizi svolti) degli anni precedenti sui siti della didattica interattiva e sull' archivio della didattica interattiva .
[16/12/19] Per esercitarsi sui limiti consiglio i seguenti esercizi: [GE]: Cap 3, 1-89; Cap 5, 87-183. [D]: 170-270. Consiglio inoltre di consultare il materiale disponibile (con molti esercizi svolti) degli anni precedenti sui siti della didattica interattiva e sull' archivio della didattica interattiva .
[20/11/29] Errata-corrige [C] p. 73: in (i) e (ii) sostituire |x-x_o| < δ con 0 < |x-x_o| < δ .
[18/11/19] Venerdì 22/11/10 (9:15-10:45) si terrà una esercitazione dedicata alla correzione, visione e discussione del primo esonero.
[1/10/19] Le esercitazioni questa settimana si terranno martedì (14:30-16:00) e venerdì (9:15-10:45).
[1/10/19] Il tutorato comincerà la settimana prossima. Come spiegato in classe, durante il tutorato è possibile svolgere esercizi assegnati con la supervisione dei tutori (gli studenti magistrali Davide Ciaccia e Bruno Renzi). Durante il tutorato non verranno assegnati nuovi esercizi, né verranno svolti esercizi alla lavagna.
[25/9/19] L'orario di ricevimento è mercoledì 16-18 nello studio 210 (Sez di Matematica).

Programma di massima del corso

Insiemi, relazioni e funzioni.
Assiomi dei numeri reali.
Proprietà algebriche elementari. Valore assoluto.
Insiemi induttivi e numeri naturali; principio di induzione. Definizioni ricorsive.
Insiemi finiti e infiniti.
Numeri interi e razionali.
Estremo superiore e inferiore.
Radici e potenze con esponente razionale.
Intervalli, intorni, punti interni, isolati e d'accumulazione.
Retta estesa e definizione di limite.
Limiti laterali. Algebra dei limiti.
Successioni e limiti; limiti notevoli; il numero di Nepero.
Caratterizzazioni tramite successioni. Ricorrenza.
Continuità e prime proprieà; discontinuità.
Teorema di esistenza degli zeri.
Limiti per funzioni composte e inverse.
Continuità di funzioni inverse.
Esponenziali; logaritmi; funzioni iperboliche e loro inverse. Limiti notevoli.
Serie numeriche: definizioni ed esempi.
Criteri di convergenza per serie a termini positivi (confronto, radice, rapporto, condensazione).
Criteri di convergenza per serie a termini reali.
Serie esponenziali.
Funzioni trigonometriche (definizione per serie) e proprietà fondamentali; definizione analitica di pi greco.
Funzioni trigonometriche inverse.

Diario delle lezioni

Se non altrimenti specificato il diario si riferisce al testo consigliato

Lezioni 1 e 2 [23/9/19] Cenni di logica e teoria ingenua degli insiemi [Cap 1, par. 1.1.1].
Lezioni 3 e 4 [25/9/19] Discussione "intuitiva" dell'irrazionalità di radice di 2 e dell'infinità dei numeri primi.
Definizione di relazioni e funzioni [Cap 1, par 1.1.2]
Es assegnati: Es 1.2.
Lezioni 5 e 6 [30/9/19] Definizione assiomatica dei numeri reali. Proprietà algebriche elementari. [Par 1.2 e 1.3 fino al punto (iii) della Prop.1.10]
Es assegnati: Es 1.1, 1.3, 1.4 (vedere la Definizione 1.7).
Es: Dimostrare che l'unico numero reale x tale x = -x è x=0 usando gli assiomi e il punto (i) della Proposizione 1.10.
Es 1.5, 1.6, 1.7.
Lezioni 7 e 8 [2/10/19] Funzioni elementari: valore assoluto, segno di x, parte positiva/negativa di x. Distanza e media aritmentica. [Par 1.3.1].
Definizione dei numeri naturali. [Par 1.4 fino a 1.4.1 escluso].
Es assegnati: Es 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12.
Esercizi da [GE] sulle disequazioni: Cap. 2, es. da 9 a 17, 19, 25, 30.
Lezioni 9 e 10 [7/10/19] Corollario 1.26, Proposizione 1.27, Principio del minimo, Corollario 1.29.
Es assegnati: Es 1.13.
Lezioni 11 e 12 [9/10/19] Successioni. Enunciato teorema di ricorsione [Teorema 1.31]. Definizioni ricorsive di sommatoria, produttoria, fattoriale, potenze ennesime. Disuguaglianza di Bernoulli [Lemma 1.38].
Es assegnati: Es 1.14, 1.15, 1.17, 1.18.
Lezioni 13 e 14 [14/10/19] Proprietà delle potenze con esponente in N (Proposizioni 1.36 e 1.37). Somme geometriche (Proposizioni 1.39 e 1.40).
Es assegnati: Es 1.16, 1.19.
Lezioni 15 e 16 [16/10/19] Coefficiente binomiali e sue proprietà. Binomio di Newton.
Funzioni composte e funzioni inverse. Insiemi finiti e infiniti.
Esercizi assegnati (da scaricare)
Es da 1.22 a 1.26.
Lezioni 17 e 18 [21/10/19] Insiemi numerabili. L'unione numerabile di insiemi finiti a due a due disgiunti è numerabile. L'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile. 2^N non è numerabile. [Par 1.4.4 completo].
Lezioni 19 e 20 [23/10/19] Estremo superiore ed estremo inferiore. Equivalenza dell'esistenza dell'estremo superiore col XVI assioma dei numeri reali. Caratterizzazione dell'estremo superiore/inferiore. N non è limitato ("Proprietà archimedea"). inf(A)=-sup(-A). [Par 1.6] Esercizi assegnati [GE], cap 2, Es 46-67 (da 46 a 67 inclusi).
Lezioni 21 e 22 [28/10/19] Par 1.7 (tutto). Par 1.5.2 (definizioni ed enunciati).
Lezioni 23 e 24 [30/10/19] Radici ennesime [p. 56 e 57]
Esercizi assegnati [GE], cap 2, Es 33-38.
Lezioni 25 e 26 [4/11/19] Proprietà delle potenze/esponenziali con esponente razionale. [cap 1.8]
Esercizi assegnati Es 1.43-1.51.
Lezioni 27 e 28 [6/11/19] Proprietà delle funzioni monotone. Riassunto definizioni e proprietà di potenze con esponenti in N, Z, Q. [Fine Cap 1]
Lezioni 29 e 30 [18/11/19] Retta estesa. Intervalli, intorni. Punti interni, isolati e d'accumulazione. [par 2.1, 2.2, 2.3]
Esercizi assegnati Es 2.1-2.6. Trovare i punti interni, isolati e d'accumulazione degli insiemi dati negli Es 94-103, cap 2 di [GE].
Lezioni 31 e 32 [20/11/19] Definizione generale di limite. Unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. Esempi.
Esercizi assegnati:
Es 2.7, 2.9-2.11.
Es: Dimostrare per induzione che 2^n-1 ≥ n, per ogni n ∈ N.
Es 1-4, 6, 8, 9, 11, 12 cap 3 di [GE].
Lezioni 33 e 34 [25/11/19] Teoremi del confronto. Limiti laterali. [par 2.4 e 2.5]
Es 2.12, 2.13, 2.14.
Esercizi (da scaricare)
Lezioni 35 e 36 [27/11/19] Algebra dei limiti e algebra dei limiti estesa [Par 2.6].
Lezioni 37 e 38 [2/12/19] Limiti notevoli di successioni; il numero di Nepero. Caratterizzazioni tramite successioni. [Par 2.7 fino a 2.7.3 incluso]
Es 2.17-2.23.
[GE] cap 3: 21-35.
Lezioni 39 e 40 [4/12/19] Continuità. Punti di disconituinità. Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue (esistenza del primo zero e metodo di bisezione). [par 2.8 fino p. 97]
Lezioni 41 e 42 [6/12/19] Teorema dei valori intermedi. Composizione di limiti e cambi di variabili nei limiti. Continuità di funzioni inverse. [Tutto il par 2.8 Sostituire il Teorema 2.66 con la nuova versione del Teorema 2.66 (senza ipotesi sulla continuità di f); Proposizione 2.68: solo enunciato.]
Es 2.26-2.27.
[GE] Cap 5: es 173, 174, 178-180.
Lezioni 43 e 44 [9/12/19] Definizione delle funzioni esponenziali su R e loro proprietà (stretta monotonia, proprietà algebriche, contonuità di esponenziali e potenze con esponente reale). Logaritmi e loro proprietà. [Par 3.1 e 3.2]
Es 3.1, 3.3.
Lezioni 45 e 46 [11/12/19] Funzioni iperboliche e loro inverse [Par 3.3, 3.4]. Limiti notevoli di esponenziali e logaritmi [Par 3.5].
Es 3.4-3.8.
Lezioni 47 e 48 [13/12/19] Discussione sulle varie definizioni delle funzioni trigonometriche. Giustificazione "geometrica" del limite notevole (sin x)/x -> 1 per x -> 0. Da tale limite segue che (1- cos x)/x² -> 1/2 per x -> 0.
Serie numeriche: definizioni ed esempi. [Par 4.1: attenzione per l'Esempio 4.4, guardare l'errata-corrige]
Es 4.4 e 4.5. Per esercizi sui limiti vedi Avvisi .
Lezioni 49 e 50 [16/12/19] Proprietà delle serie. Criteri del confronto, radice e rapporto. [Par. 4.2 (4.2.1 facoltativo) Par 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3]
Es 4.6-4.6.
Lezioni 51 e 52 [18/12/19] Criterio di condensazione di Cauchy. Somme per parti e criterio di Abel-Dirichlet. Criterio di Leibniz. [Completare Par 4]
Es 4.9.
Lezioni 53 e 54 [20/12/19] Serie esponenziale e relazione con e^x. Stime sulle code esponenziali e irrazionalità di e. Serie delle funzioni iperboliche. [Par 5.1].
Numeri algebrici e non numerabilità di R (materiale facoltativo)
Lezioni 55 e 56 [8/1/20] Definizione per serie delle funzioni trigonometriche; definizione analitica di π; proprietà delle funzioni trigonometriche (assumendo il Teorema 5.10). [Capitolo 5 tranne la dimostrazione del Teorema 5.10 e della Proposizione 5.11].
Lezioni 57 e 58 [10/1/20] Dimostrazione del Teorema 5.10 e cenni della dimostrazione della Proposizione 5.11 [Materiale facoltativo].

Diario delle esercitazioni

le parti in corsivo sono di teoria

Esercitazioni 1 e 2 [24/9/19]
Esercizi da [G3] ( insiemi_G3.pdf ).
Esercitazioni 3 e 4 [1/10/19] Completamento proprietà algebriche elementari dei numeri reali (Proposizione 1.10 e 1.11).
Svolgimento di esercizi di p. 16.
Esercitazioni 5 e 6 [4/10/19] "Principio di induzione". Proposizione 1.25
Es assegnati: Dimostrare la Proposizione 1.24.
Esercitazioni 7 e 8 [8/10/19] Discussione di esercizi su principio di induzione e disequazioni coi moduli.
Esercitazioni 9 e 10 [15/10/19] Discussione di esercizi su proprietà delle potenze da [C] e disequazioni coi moduli da [GE]
Esercitazioni 11 e 12 [18/10/19] Laboratorio sugli esercizi assegnati .
Esercitazioni 13 e 14 [22/10/19] Discussione di esercizi assegnati.
Esercitazioni 15 e 16 [29/10/19] Esercizi su sup e inf.
Esercitazioni 17 e 18 [5/11/19] Esercizi di preparazione all'esonero.
Esercitazione 19 [7/11/19] Esercizi di preparazione all'esonero.
Esercitazioni 20 e 21 [8/11/19] Esercizi di preparazione all'esonero.
Esercitazioni 22 e 23 [19/11/19] Esercizi su punti d'accumulazione/isolati/interni.
Esercitazione 24 [21/11/19] Esercizi sulla definizione di limite.
Esercitazioni 25 e 26 [22/11/19] Correzione e discussione del primo esonero.
Esercizio .
Esercitazioni 27 e 28 [26/11/19] Esercizi sulla definizione di limite.
Esercitazione 29 e 30 [3/12/19] Esercizi sull'algebra dei limiti.
Esercitazione 31 [5/11/19] Esercizi legati al numero di Nepero.
Esercitazione 32 e 33 [10/12/19] Esercizi su limiti.
Esercitazione 34 [12/12/19] Esercizi su limiti con funzioni iperboliche, etc.
Esercitazione 35 e 36 [17/12/19] Esercizi su serie a termini positivi.
Esercitazione 37 [19/12/19] Esercizi su serie (anche contenenti paramteri).
Esercitazioni 38 e 39 [9/1/20] Esercizi su limiti e serie contenenti funzioni trigonometriche.

Esoneri ed esami

Esonero 1 : 13/11/19; 9-11, aula M1.
Testo (con risposte)

Esonero 2 : 15/1/20; 9-11, aula M1.
Testo (con risposte)

Appello A : 28/1/20; 9-11, aula M1.
Testo (con risposte)

Appello B : 5/2/20; 9-11, aula M1.
Testo (con risposte)

Appello X : 9/9/20; 9-11, aula M1.
Testo (con risposte)
Risultati

Testi consigliati

[C] Chierchia, L.: Corso di analisi, prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; McGraw-Hill, 2019, 390 pagine

[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000

[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010

Altri testi

[O] Olmsted, J. M.H.: The Real Number System , 1962, 216 pages

[G2] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991 (edizione fuori commercio; Libreria Efesto )

[G3] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002

[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991 (edizione fuori commercio)

[B] Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica - McGraw-Hill (2011) - piattaforma Connect (esercizi a scelta multipla)

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it