AM450 - Analisi Funzionale

AA 2017-2018 - II Semestre

Prof. L. Chierchia

Indice
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Programma di massima del corso
Programma definitivo del corso
Lezioni
Testi consigliati
Esami

AVVISI

Programma di massima del corso

Spazi normati, spazi di Hilbert, spazi di Banach (definizioni ed esempi).
Spazi di Hilbert: ortogonalità; principio del minimo; proiezioni; teorema di Riesz-Frechét; dualità, operatore aggiunto; topologia e convergenza debole.
Serie di Fourier.
Spazi di Banach: teorema delle contrazioni; invertibilità (metodo di continuità); spazio duale;
teoria di Fredholm e teorema spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert;
teoremi di Banach-Steinhaus, mappa aperta, grafico chiuso e Hahn-Banach; applicazioni alle serie di Fourier.
Seminorme e spazi di Frechét (cenni).
Trasformata di Fourier.

Programma definitivo del corso

Il programma definitivo coincide con il diario delle lezioni

Lezioni
• Hilbert Spaces (Garrett) Spazi prehilbertiani (Sez 1).

• Completamento di spazi metrici. Principio del minimo. Ortogonalità e proiezioni. Insiemi ortonormali e basi.
  Es 1: Dimostrare che ogni spazio metrico ammette un completamento.
  Es 2: Dimostrare che ℓ² (successioni complesse a quadrato sommabile) è uno spazio di Hilbert.
  Es 3: Sia V uno spazio pre-hilbertiano e W il sottospazio lineare generato da n elementi ortonormali x₁,...,x_n. Dimostrare che la proiezione ortogonale p_W su W è data da p_W x = ∑ < x , x_j > x_j.

• Serie generalizzate su spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Bessel. Espansione in una base ortonormale ("Teorema di Fourier"). Identità di Parseval. Isomorfismo canonico di spazi di Hilbert.
  Es 4: Dimostrare che {e^{i n x}: n ∈ Z } è un sistema ortonormale completo su L²(0, 2π).
  Es 5: Completare i dettagli relativi all'isomorfismo canonico di spazi di Hilbert.
  Rudin: capitoli 4 e 5 di [R1] su spazi di Hilbert e spazi di Banach (questa è una referenza alternativa a [G] per la parte introduttiva su spazi di Hilbert e spazi di Banach)

• Spazi di Banach. Esempi. Operatori lineari e limitati. Teorema di Baire. Insiemi nowhere dense, insiemi di prima e seconda categoria (Baire).
  [Cap 5, Rudin].
  Es 6: Dimostrare che il Teorema di Baire è equivalente a: ogni spazio metrico completo non vuoto è di seconda categoria.
  Es 7: Sia X=[0,1] e per ogni ε > 0, sia V_ε := ∪ { x ∈ X: |x- p/q|<ε/2^p+q } dove l'unione è estesa alle coppie di naturali co-primi (p,q) tali che 0 < p < q. Trovare c > 0 tale che mis(V_ε) < c ε .
  Es 8: esercizi 5 e 11 di [Rudin, p 112].

• Discussione di parte dell' Es 6. Teorema della applicazione aperta.

• Teorema di massimalità di Hausdorff (enunciato). Teorema di Hanh-Banach.
  Es 9 : esercizio 18 cap 4 [Rudin, p. 94]
  Es 10: esercizi 6, 8 e 9 cap 5 [Rudin, p. 112, 113]
  Teorema di massimalità di Hausdorff [Rudin]

• Dimostrazione del teorema d masimalità di Hausdorff. Conseguenze del teorema di Hahn-Banach. Spazi duali, bi-duali e riflessivi.

• Teorema di rappresentazione di Riesz (teorema 4.12 [Rudin, cap 4]) e riflessività degli spazi di Hilbert.
  Es 11 : esercizio 16 cap 5 (teorema del grafico chiuso) [Rudin, p. 114]

• Separabilità in spazi di Hilbert Teorema II.7 [RS] .
  Esempi: gli spazi di successioni ℓ^p, 1≤ p≤ ∞ e c_o: inclusioni insiemistiche. Disuguaglia di Hölder e Hölder estremale. Norme p e completezza.

• Separabiltà di ℓ^p per 1 ≤ p < ∞. Non Separabilità di ℓ^∞.
  Dualità negli ℓ^p: (ℓ^p)^*=ℓ^q (1 < p,q < ∞ coniugati). (ℓ¹)^*=(c₀)^* = ℓ^∞ ≠ ℓ¹: quindi ℓ¹ e c₀ non sono riflessivi.
  Es 12: Dimostrare che uno spazio di Banach X è riflessivo se e solo se X^* è riflessivo (Es 22, (a) Ch. III [RS] ): quindi ℓ^∞ non è riflessivo.

• Svolgimento dell'esercizio 12.
  Spazi topologici: Basi di intorni. Spazi separabili e primo-numerabili. Reti. Caratterizzazione della chiusura tramite reti.

• Spazi T₁, di Hausdorff e normali. Topologie deboli: la topologia σ(X,Y).
  Ch. IV [RS]
  Es 13, 14 e 15 testi

• Topologie deboli in spazi di Banach: Sez IV.5 di Ch. IV [RS] .
  Teorema di Tychonoff
  Es 16 e 17: Es 29 e 40 del Ch. IV [RS].

• Operatori compatti. Alternativa di Fredholm e teoria di Riesz Fischer.
  [GT] Par 5.3
  Es 18: dimostrare che gli operatori a rango finito, l'inverso del Laplaciano su L²₀(T^d) (funzioni L² periodiche in d variabili a media nulla), gli operatori integrali su C([0,1]) con nucleo continuo sono operatori compatti.

• Lo spettro di operatori compatti (Teorema 5.5 [GT]). Aggiunti in spazi di Banach e spazi di Hilbert (VI.2 [RS]). T compatto se e solo se T^* compatto (Lamma 5.9 [GT]). La chiusura del rango di T coincide con l'ortogonale del nucleo di T^* (Lemma 5.10 [GT]).

• Proprietà elementari di autovalori e autovettori di operatori autoaggiunti. Funzioni analitiche a volori in spazi di Banach. Propriet´ analitiche del risolvente (Teorema VI.5 e corollario [RS]). Teorema di Hilbert-Schmidt (enunciato e discussione della parte "facile").

• Serie di Neumann del risolvente, analiticità ad infinito. Lo spettro è un insieme non vuoto e compatto di C. Teorema di Hadamard per funzioni analitiche a valori operatori. Teorema sul raggio spettrale: r(T)= lim ||Tⁿ||^1/n; se Tè autoaggiunto, allora r(T)=||T||.
  Es 19: Es 9 del Ch. VI [RS]

• Dimostrazione del teorema spettrale per operatori autoaggiunti.
  Trasformata di Fourier: definizioni e proprietà [R1,cap 9].

• Teorema di inversione in L¹ [R1, teorema 9.11]

• Trasformata di Fourier in L² Ch. 9 [R1]
  Es 20: Sia f : R → R continua e tale che |f(x)| ≤ M/(1+|x|^a) con M > 0 e a > 1. Dimostrare che lim _{d ↓ 0} ∑_{n∈ Z} d f(nd) = ∫_R f(x)dx.

• Seminario studenti (1): Teoria spettrale per operatori autoaggiunti.

• Seminario studenti (2): Problema di Dirichlet e opratori compatti.

• Seminario studenti (3): Teorema della funzione inversa in spazi di Banach.

• Seminario studenti (4): Funzioni almost-periodiche.

Esami

Appello A : 11/6/18; 9:00, aula 211.

Appello B : 3/7/18; 9:00, aula 211.

Appello C : 14/1/19; 9:00, aula 211.

Testi consigliati
[R1] W. Rudin, Real and complex analysis , McGraw-Hill, Third Ed. 1987
[R2] W. Rudin, Functional analysis
[RS] M. Reed, B. Simon Functional analysis
[Y] K. Yoshida, Functional analysis
[GT] D. Gilbarg, NS Trudinger Elliptic partial differential equations of second order
[G] P. Garrett, Functional analysis notes

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Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it