Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL210 - Gruppi, Anelli
e Campi
a.a. 2017/2018 - I Semestre
Diario delle Lezioni
Settimana 1:
Operazioni su un insieme. Elementi
simmetrizzabili. Notazione additiva e moltiplicativa. Gruppi,
anelli e campi: definizioni e primi esempi. Zero-divisori. Il
gruppo delle unità di un anello. Anelli di matrici, anelli di
polinomi e loro gruppo delle unità. Gruppi di trasformazioni.
Appunti integrativi 1
Esercizi
1
Settimana
2:
Sottogruppi
e sottoanelli. Generatori.
Intersezione ed unione di sottogruppi. I sottogruppi di
(Z,+). Sottogruppi ciclici. Omomorfismi e Isomorfismi di gruppi: prime proprietà. Classi
di isomorfismo di gruppi. Gruppi finiti. Tabelle di
composizione. Cenni sulla classificazione dei gruppi finiti di
ordine piccolo. Il gruppo delle radici complesse n-sime
dell'unità. Il gruppo di Klein. Gruppi diedrali.
Esercizi 2
Settimana 3:
Teorema di Lagrange. Gruppi ciclici.
Ordine di un elemento e sue proprietà. Generatori.
Radici primitive.
Esercizi 3
Settimana 4: Sottogruppi di gruppi ciclici. Un gruppo
finito è ciclico se e soltanto se ha uno e un solo
sottogruppo per ogni divisore dell'ordine. Ogni
sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo
è ciclico.
Enunciato
del Teorema di Classificazione dei Gruppi Abeliani
Finiti. Relazioni di congruenza modulo un
sottogruppo. Sottogruppi normali.
Appunti
integrativi 2
Settimana 5:
Relazioni compatibili.
Corrispondenza fra le relazioni di equivalenza
compatibili su un gruppo ed i sottogruppi normali.
Gruppi quoziente. Omomorfismi. Nucleo ed immagine. Primo
Teorema di omomorfismo. Omomorfismi tra gruppi finiti.
Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Omomorfismi e
automorfismi di gruppi ciclici.
Esercizi 4
Settimana 6:
Corrispondenza tra i
sottogruppi di un gruppo e quelli di un suo quoziente.
Secondo e Terzo Teorema di Omomorfismo. La relazione di
coniugio. Centralizzanti e centro. L'equazione delle
classi. Applicazioni ai p-gruppi. Il gruppo degli
automorfismi interni.
Appunti
integrativi 3 Esercizi
5
Prima prova
di valutazione intermedia 7 Novembre, ore 14
Settimana
8:
Azione di un
gruppo su un insieme. Orbite
e stabilizzatori. Azioni
transitive e fedeli. Esempi.
Teorema di Cauchy. Sottogruppi
di p-gruppi e
di gruppi
abeliani. Il
primo teorema
di Sylow.
Enunciato del
secondo e
terzo teorema
di Sylow.
Appunti
integrativi 4
Settimana
9:
Anelli e ideali. Operazioni tra ideali. Generatori.
Ideali
principali e
finitamente
generati.
Relazioni di
equivalenza
compatibili su
un anello e
loro
corrispondenza
con gli
ideali. Anelli
quoziente.
Omomorfismi di
anelli.
Teoremi di
omomorfismo.
Esercizi 6
Settimana
10:
Corrispondenza tra gli ideali di un anello e quelli di
un suo
quoziente.
Ideali primi e
massimali.
Caratterizzazione
degli ideali
primi per gli
anelli
commutativi
unitari.
Esempi.
Caratteristica.
Il campo dei
quozienti di
un dominio.
Appunti
integrativi 5
Esercizi 7
Settimana
11:
Divisibilità nei domini. Elementi primi e irriducibili.
Massimo comune
divisore.
Domini di
Bezout. Domini a ideali principali, loro ideali primi. Domini euclidei. L'anello degli interi di Gauss.
Appunti
integrativi 6
Polinomi
Esercizi
8
Settimana 12: La condizione della
catena ascendente sugli ideali principali. Domini
atomici e a fattorizzazione unica. Esempi nei domini
di interi quadratici. Quozienti di domini a ideali
principali ed euclidei. Costruzione di campi finiti.
Polinomi su domini a
fattorizzazione unica. Il Lemma di Gauss.
Appunti
integrativi 7
Esercizi
9
Seconda
prova di
valutazione
intermedia:
10 Gennaio, ore 14
Per sostenere
la prova è obbligatorio
prenotarsi sul
sito del
dipartimento