Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL210 - Gruppi, Anelli e Campi

a.a. 2017/2018 - I Semestre



Diario delle Lezioni



Settimana 1: Operazioni su un insieme. Elementi simmetrizzabili. Notazione additiva e moltiplicativa. Gruppi, anelli e campi: definizioni e primi esempi. Zero-divisori. Il gruppo delle unitÓ di un anello. Anelli di matrici, anelli di polinomi e loro gruppo delle unitÓ. Gruppi di trasformazioni.
Appunti integrativi 1   Esercizi 1

Settimana 2: Sottogruppi e sottoanelli. Generatori. Intersezione ed unione di sottogruppi. I sottogruppi di  (Z,+). Sottogruppi ciclici. Omomorfismi e Isomorfismi di gruppi: prime proprietÓ. Classi di isomorfismo di gruppi. Gruppi finiti. Tabelle di composizione. Cenni sulla classificazione dei gruppi finiti di ordine piccolo. Il gruppo delle radici complesse n-sime dell'unitÓ. Il gruppo di Klein. Gruppi diedrali.
Esercizi 2

Settimana 3: Teorema di Lagrange. Gruppi ciclici. Ordine di un elemento e sue proprietÓ. Generatori. Radici primitive.
Esercizi 3

Settimana 4Sottogruppi di gruppi ciclici. Un gruppo finito Ŕ ciclico se e soltanto se ha uno e un solo sottogruppo per ogni divisore dell'ordine. Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo Ŕ ciclico. Enunciato del Teorema di Classificazione dei Gruppi Abeliani Finiti. Relazioni di congruenza modulo un sottogruppo. Sottogruppi normali.
Appunti integrativi 2
 

Settimana 5: Relazioni compatibili. Corrispondenza fra le relazioni di equivalenza compatibili su un gruppo ed i sottogruppi normali. Gruppi quoziente. Omomorfismi. Nucleo ed immagine. Primo Teorema di omomorfismo. Omomorfismi tra gruppi finiti. Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Omomorfismi e automorfismi di gruppi ciclici.
Esercizi 4

Settimana 6: Corrispondenza tra i sottogruppi di un gruppo e quelli di un suo quoziente. Secondo e Terzo Teorema di Omomorfismo. La relazione di coniugio. Centralizzanti e centro. L'equazione delle classi. Applicazioni ai p-gruppi. Il gruppo degli automorfismi interni.
Appunti integrativi 3   Esercizi 5



 
Prima prova di valutazione intermedia  7 Novembre, ore 14
 

Settimana 8: Azione di un gruppo su un insieme. Orbite e stabilizzatori. Azioni transitive e fedeli. Esempi. Teorema di Cauchy. Sottogruppi di p-gruppi e di gruppi abeliani. Il primo teorema di Sylow. Enunciato del secondo e terzo teorema di Sylow.
Appunti integrativi 4

Settimana 9: Anelli e ideali. Operazioni tra ideali. Generatori. Ideali principali e finitamente generati. Relazioni di equivalenza compatibili su un anello e loro corrispondenza con gli ideali. Anelli quoziente. Omomorfismi di anelli. Teoremi di omomorfismo.
Esercizi 6
 

Settimana 10: Corrispondenza tra gli ideali di un anello e quelli di un suo quoziente. Ideali primi e massimali. Caratterizzazione degli ideali primi per gli anelli commutativi unitari. Esempi. Caratteristica. Il campo dei quozienti di un dominio.
Appunti integrativi 5  Esercizi 7

Settimana 11: DivisibilitÓ nei domini. Elementi primi e irriducibili. Massimo comune divisore. Domini di Bezout. Domini a ideali principali, loro ideali primi. Domini euclidei. L'anello degli interi di Gauss.
Appunti integrativi 6  Polinomi  Esercizi 8

Settimana 12: La condizione della catena ascendente sugli ideali principali. Domini atomici e a fattorizzazione unica. Esempi nei domini di interi quadratici. Quozienti di domini a ideali principali ed euclidei. Costruzione di campi finiti. Polinomi su domini a fattorizzazione unica. Il Lemma di Gauss.
Appunti integrativi 7
  Esercizi 9


Seconda prova di valutazione intermedia:  10 Gennaio, ore 14
Per sostenere la prova Ŕ obbligatorio prenotarsi sul sito del dipartimento