Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL420 - Teoria
Algebrica dei Numeri
a.a. 2012/2013 - II Semestre
Diario delle Lezioni
Settimana 1: Campi numerici.
Ampliamenti algebrici semplici di Q. Ampliamenti
finiti. Il Teorema dell'Elemento Primitivo.
Esercizi 1
Settimana 2: Richiami sui polinomi simmetrici. Polinomio caratteristico di un elemento e
relazione col polinomio minimo.
Coniugati di un elemento, traccia e norma.
Interi algebrici e loro polinomio minimo.
Esercizi
2
Settimana
3: Prime
proprietà degli interi algebrici: loro traccia e norma. Gli anelli degli interi algebrici
quadratici e ciclotomici.
Gruppi
abeliani liberi finitamente generati: cambiamenti di base,
sottogruppi e quozienti.
Settimana 4:
Discriminante di una
n-pla di Q(theta). Discriminante di una base e
relazioni col discriminante del polinomo minimo di
theta.
Esistenza di basi
intere. Discriminante rispetto a basi
intere. Il discriminante di un campo
numerico. Caso
quadratico e ciclotomico.
Esercizi 3
Settimana 5: Un algoritmo per determinare basi intere. Alcuni
esempi. Ideali negli anelli di
interi algebrici e loro basi intere. La norma di un ideale. Ideali e
loro norma in anelli di interi quadratici.
Gli ideali primi di Z[i].
Esercizi
4
Prima prova scritta
Settimana 6: Dipendenza
integrale: prime proprietà. Gli
anelli di interi algebrici sono domini di Dedekind. Richiami sulla
fattorizzazione: domini euclidei,
principali, a fattorizzazione
unica, di Bezout, col massimo
comune divisore. Gli anelli di
interi algebrici sono atomici.
Caratterizzazione degli anelli di
interi algebrici che sono PID o
euclidei rispetto al modulo della
norma.
Esercizi
5
Settimana 7:
Cenni sulla classificazione
di anelli di interi quadratici che sono euclidei o a
fattorizzazione unica. Per d negativo,
l'anello degli interi è euclideo (rispetto alla norma)
soltanto per d = -1, -2, -3, -7,
-11. Il
problema delle unità: enunciato del Teorema di
Dirichlet, dimostrazione nel caso quadratico.
Ideali frazionari e ideali
invertibili. In un anello di interi algebrici
ogni ideale proprio non nullo
è invertibile e prodotto di ideali primi.
Esercizi
6
Settimana
8: La norma di ideali è moltiplicativa. Ideali primi in anelli di interi
algebrici: grado e indice di ramificazione. Caso
quadratico. Esempi.
Esercizi
7
Settimana 9: Studio della ramificazione in anelli di interi
algebrici del tipo Z[theta]. Congruenze quadratiche, indici di Lagrange
e Kronecker. Esempi.
Esercizi
8
Settimana 10: Ramificazione
in ampliamenti di Galois
finiti. Caratterizzazione dei primi ramificati in
anelli di interi ciclotomici. Gruppo delle classi.
Prime proprietà e calcolo di esempi.
Esercizi
9
Settimana 11: Finitezza del gruppo delle
classi. L'ultimo teorema di Fermat: impostazione
del problema. Il
lemma di Kummer sulle unità.
Settimana 12:
Dimostrazione del teorema di
Fermat per i primi regolari.