Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL420 - Teoria Algebrica dei Numeri


a.a. 2012/2013 -
II Semestre



Diario delle Lezioni




Settimana 1:  Campi numerici. Ampliamenti algebrici semplici di Q. Ampliamenti finiti. Il Teorema dell'Elemento Primitivo.
Esercizi 1
 
Settimana 2: Richiami sui polinomi simmetrici. Polinomio caratteristico di un elemento e relazione col polinomio minimo. Coniugati di un elemento, traccia e norma. Interi algebrici e loro polinomio minimo.
Esercizi 2


Settimana 3: Prime proprietÓ degli interi algebrici: loro traccia e norma.  Gli anelli degli interi algebrici quadratici e ciclotomici.
Gruppi abeliani liberi finitamente generati: cambiamenti di base, sottogruppi e quozienti.

Settimana 4: Discriminante di una n-pla di Q(theta). Discriminante di una base e relazioni col discriminante del polinomo minimo di theta.  Esistenza di basi intere. Discriminante rispetto a basi intere. Il discriminante di un campo numerico. Caso quadratico e ciclotomico.
Esercizi 3

Settimana 5:
Un algoritmo per determinare basi intere. Alcuni esempi. Ideali negli anelli di interi algebrici e loro basi intere.  La norma di un ideale. Ideali e loro norma in anelli di interi quadratici. Gli ideali primi di Z[i].
Esercizi 4

Prima prova scritta

Settimana 6: Dipendenza integrale: prime proprietÓ. Gli anelli di interi algebrici sono domini di Dedekind. Richiami sulla fattorizzazione: domini euclidei, principali, a fattorizzazione unica, di Bezout, col massimo comune divisore. Gli anelli di interi algebrici sono atomici. Caratterizzazione degli anelli di interi algebrici che sono PID o euclidei rispetto al modulo della norma.
Esercizi 5

Settimana 7: Cenni sulla classificazione di anelli di interi quadratici che sono euclidei o a fattorizzazione unica. Per d negativo, l'anello degli interi Ŕ euclideo (rispetto alla norma) soltanto per d = -1, -2, -3, -7, -11. Il problema delle unitÓ: enunciato del Teorema di Dirichlet, dimostrazione nel caso quadratico. Ideali frazionari e ideali invertibili. In un anello di interi algebrici ogni ideale proprio non nullo Ŕ invertibile e prodotto di ideali primi.
Esercizi 6

Settimana 8: La norma di ideali Ŕ moltiplicativa. Ideali primi in anelli di interi algebrici: grado e indice di ramificazione. Caso quadratico. Esempi.
Esercizi 7

Settimana 9: Studio della ramificazione in anelli di interi algebrici del tipo Z[theta]. Congruenze quadratiche, indici di Lagrange e Kronecker. Esempi.
Esercizi 8

Settimana 10: Ramificazione in ampliamenti di Galois finiti. Caratterizzazione dei primi ramificati in anelli di interi ciclotomici. Gruppo delle classi. Prime proprietÓ e calcolo di esempi. 
Esercizi 9

Settimana 11: Finitezza del gruppo delle classi. L'ultimo teorema di Fermat: impostazione del problema. Il lemma di Kummer sulle unitÓ.

Settimana 12:
Dimostrazione del teorema di Fermat per i primi regolari.