MATEMATICA II (CdL Geologia)
AA 2024-2025 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani, Esercitatrice: Giovanna Marcelli)
AVVISI
- Il primo esonero si svolgerà venerdì 10 gennaio
2025 alle 9:00 in aula D.
- In vista del secondo esonero, il giorno mercoledì 8
gennaio 2025 si svolgerà una lezione extra, con simulazione
d'esonero, dalle 12 alle 13:30 in aula D.
Diario delle lezioni
Lezioni 1 e 2 [23/9/2024] Primitiva di una funzione. La posizione come primitiva della velocità. Esempi: calcolo della legge oraria corrispondente a velocità costante, costante a tratti e crescente linearmente (accelerazione costante). Legame tra primitiva e area sottesa al grafico della funzione. Calcolo della legge oraria corrispondente a velocità crescente quadraticamente.
Lezione 3 e 4 [24/9/2024] Calcolo dell'area sottesa a una parabola tra 0 e T come limite delle somme di Riemann inferiore e superiore. Verifica che tale area, uguale a T3/3, coincide con la differenza F(T)-F(0), dove F è una qualsiasi primitiva di x2.
Lezioni 5 e 6 [25/9/2024] Somme di Riemann inferiori e superiori. Teorema: funzioni continue a tratti (con al più discontinuità di salto) sono integrabili, i.e, i limiti delle somme di Riemann inferiori e superiori esistonio, sono finiti e coincidono. Definizione di integrale definito. Esempio: integrale definito di una funzione costante a tratti, positiva prima e negativa poi. Interpretazione geometrica dell'integrale definito come "area con segno" sotto il grafico della funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale (enunciato). Corollario: integrale definito come differenza di una primitiva calcolata tra i due estremi.
Lezioni 7 e 8 [30/9/2024] Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale. Linearità e proprietà elementari degli integrali. Esempi ed esercizi: l'integrale di x1/4 tra 0 e 5, confronto tra il valore esatto e le somme di Riemann inferiori e superiori di ordine n=5 e n=10; verifica del teorema fondamentale del calcolo integrale per la funzione f(x)=|x-1|.
Lezioni 9 e 10 [1/10/2024] Definizione di integrale indefinito. Integrali indefiniti di potenze e dell'esponenziale con base e. Esempi: integrali definiti di combinazioni lineari di potenze e esponenziali. Esempi ed esercizi.
Lezioni 11 e 12 [2/10/2024] Integrali indefiniti di esponenziali di base qualsiasi e delle funzioni trigonometriche sin x, cos x, 1/cos2x. Esempi ed esercizi.
Lezioni 13 e 14 [7/10/2024] Ancora su integrali indefiniti di funzioni trigonometriche e che coinvolgono funzioni trigonometriche inverse: integrali indefiniti di 1/sin2x, 1/(1+x2), 1/ √ 1-x2 . Esempi ed esercizi.
Lezioni 15 e 16 [8/10/2024] L'integrale indefinito di f(g(x))g'(x) è F(g(x))+c, con F una primitiva di f. Esempi ed esercizi.
Esercitazioni 1 e 2 [9/10/2024] Ancora esempi sul calcolo delle primitive di funzioni composte della forma f(g(x))g'(x). Metodo di integrazione per parti. Esempi: integrali di ln x e di x sin x. Altri esempi ed esercizi.
Lezioni 17 e 18 [14/10/2024] Ancora esempi sul metodo di integrazione per parti. La nozione di media integrale di una funzione.
Lezioni 19 e 20 [15/10/2024] Metodo di integrazione per sostituzione. Esempi ed esercizi.
Esercitazioni 3 e 4 [16/10/2024] Integrazione delle funzioni razionali: teoria generale nel caso in cui il polinomio a denominatore sia di grado 1 o 2. Esempi ed esercizi sull'integrazione delle funzioni razionali.
Lezioni 21 e 22 [22/10/2024] Ancora esempi ed esercizi sull'integrazione delle funzioni razionali con denominatore di grado 1 o 2.
Lezioni 23 e 24 [23/10/2024] Integrali impropri su intervalli al cui bordo la funzione integranda diverge (ad es., integrale di x-p su [0,1]) e su domini illimitati (ad es., integrali di x-p e di e-x su [1,+∞)). Esempi ed esercizi.
Lezioni 25 e 26 [28/10/2024] Introduzione agli integrali curvilinei di forme differenziali: richiami sui campi vettoriali. Il gradiente di una funzione scalare. Linee di livello e direzione di massima ascesa. Definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale.
Lezioni 27 e 28 [29/10/2024] Integrale curvilineo di una forma differenziale associata a un campo vettoriale lungo una curva orientata: definizione e forma esplicita nel caso in cui la curva sia espressa in forma cartesiana o parametrica. Esempi. Un primo esempio di indipendenza dell'integrale nel caso in cui il campo vettoriale sia conservativo, ovvero sia il gradiente di una funzione scalare.
Esercitazioni 5 e 6 [30/10/2024] Esempi ed esercizi su integrali curvilinei di forme differenziali associate a campi vettoriali.
Lezioni 29 e 30 [4/11/2024] Simulazione d'esonero ed esercizi di riepilogo.
Esercitazioni 7 e 8 [11/11/2024] Forze conservative e energia potenziale. Il lavoro di una forza conservativa lungo un cammino chiuso è nullo. Condizione di chiusura come condizione necessaria affinchè un campo vettoriale sia conservativo. Esempi di campi vettoriali non chiusi (e quindi non conservativi). Esempio di un campo vettoriale chiuso e conservativo: calcolo della primitiva del campo.
Lezioni 31 e 32 [12/11/2024] Esempio di un campo chiuso ma non conservativo: calcolo della primitiva in un sottoinsieme (semplicemente connesso) del dominio massimale di definizione del campo; dimostrazione che il campo non è conservativo (l'integrale curvilineo lungo una curva chiusa è non nullo). Definizione di dominio semplicemente connesso. Teorema (solo enunciato): un campo vettoriale chiuso su un dominio semplicemente connesso è anche conservativo. La nozione di integrale di una forma differenziale e della condizione di chiusura per campi vettoriali in tre dimensioni.
Lezioni 33 e 34 [13/11/2024] Ancora esempi ed esercizi su integrali curvilinei di campi differenziali in due e tre dimensioni (esmpi di forme chiuse e conservative e di forme non chiuse). Introduzione agli integrali in due variabili. Integrazione in due variabili: definizione dell'integrale definito in termini di limiti di somme di Riemann. Integrale definito di f(x,y) come volume con segno della regione sottesa dal grafico di z=f(x,y). Come calcolare un integrale definito in due variabili su un dominio rettangolare. Teorema di Fubini (solo enunciato): l'ordine di integrazione (prima rispetto a x e poi rispetto a y, o viceversa) dà lo stesso risultato. Esempi: integrali doppi di y2-2x2, e di xyex2y su domini rettangolari.
Lezione 35 e 36 [19/11/2024] Esempi sul calcolo di integrali doppi in domini non rettangolari (triangolari e semicircolari), verifica dell'indipendenza del risultato dall'ordine di integrazione (teorema di Fubini).
Lezioni 37 e 38 [20/11/2024] Uso delle coordinate polari negli integrali doppi. Esempi ed esercizi. Il calcolo del volume del cilindro circolare retto in termini di un integrale doppio in coordinate polari.
Lezioni 39 e 40 [25/11/2024] Ancora esempi ed esercizi su integrali doppi in coordinate polari: il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione usando sezioni a r fissato o a z fissato. L'integrale Gaussiano. La regola generale di cambio di coordinate negli integrali doppi. Matrice Jacobiana, determinante Jacobiano.
Lezioni 41 e 42 [26/11/2024] Cambi di coordinate generali negli integrali doppi: un esempio. Integrali tripli: definizione. Un esempio di integrale triplo su un parallelepipedo in coordinate cartesiane.
Esercitazioni 9 e 10 [28/11/2024] Integrali tripli su domini normali in coordinate cartesiane: esercizi ed esempi. Cambi di variabili negli integrali tripli: in particolare, cambio di variabili da coordinate cartesiane a coordinate sferiche.
Lezioni 43 e 44 [2/12/2024] Cambio di variabili da coordinate cartesiane a coordinate cilindriche negli integrali tripli. Esercizi ed esempi. Introduzione alle equazioni differenziali: l'esempio del decadimento radioattivo del C14.
Lezioni 45 e 46 [3/12/2024] Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Esempi da problemi di dinamica di popolazioni. Soluzione generale di x'= a x+b al variare di a e b. Il problema di Cauchy: unicità della soluzione a dato iniziale fissato. Soluzione di equilibrio stabile e instabile. Esempio: datazione delle rocce con il decadimento radioattivo dell'uranio in torio (modello di evoluzione per le concentrazioni di uranio e di torio nel tempo), parte 1.
Lezioni 47 e 48 [4/12/2024] Datazione delle rocce con il decadimento radioattivo dell'uranio in torio (modello di evoluzione per le concentrazioni di uranio e di torio nel tempo), parte 2. Equazioni differenziali lineari non omogenee della forma x'(t)=ax(t)+b(t) con a costante e della forma x'(t)=a(t)x(t)+b(t). Metodo di variazione delle costanti. Esercizi ed esempi.
Esercitazioni 11 e 12 [9/12/2024] Equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili: l'esempio di N'(t)=(10-N(t)/10)N(t); punti di equilibrio, stabilità, soluzione esplicita. Strategia generale per la risoluzione di equazioni differenziali a variabili separabili della forma x'(t)=a(t)F(x(t)). Esempi di equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili e loro risoluzione.
Lezioni 49 e 50 [10/12/2024] Esempi ed esercizi su equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili: metodo di risoluzione, analisi qualitativa e natura stabile o instabile delle soluzioni di equilibrio.
Lezioni 51 e 52 [11/12/2024] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti: caso omogeneo e non. Esempi e applicazioni: la seconda equazione della dinamica di Newton. In particolare: la soluzione dell'equazione di Newton in assenza di forze, in presenza della sola forza di attrito dinamico e in presenza di una forza elastica. Soluzione generale delle equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti nel caso omogeneo: famiglia di soluzioni a due parametri; soluzioni linearmente indipendenti. Problema di Cauchy: dati iniziali per posizione e velocità. Equazione caratteristica e calcolo della soluzione generale nel caso di radici reali distinte
Lezioni 53 e 54 [16/12/2024] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti omogenee: equazione caratteristica e calcolo della soluzione generale nel caso di radici complesse coniugate e di radici reali coincidenti. Esempi ed esercizi. Il caso non omogeno: soluzione generale nella forma di soluzione generale dell'omogenea + soluzione particolare della non omogena.
Lezioni 55 e 56 [17/12/2024] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti non omogenee: ricerca della soluzione particolare nel caso di forzante polinomiale. Esempi ed esercizi.
Lezioni 57 e 58 [18/12/2024] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti non omogenee: ricerca della soluzione particolare nel caso di forzante esponenziale, sinusoidale e di prodotto di un esponenziale per una funzione sinusoidale. Esempi ed esercizi.
Fogli di esercizi
- Foglio di esercizi delle prime due settimane
- Foglio di esercizi della terza settimana
- Foglio di esercizi della quarta settimana
- Foglio di esercizi della quinta settimana
- Foglio di esercizi della sesta settimana
- Foglio di esercizi della settima settimana
- Foglio di esercizi dell'ottava settimana
- Foglio di esercizi della nona settimana
- Foglio di esercizi della decima settimana
- Foglio di esercizi dell'undicesima settimana
- Foglio di esercizi della dodicesima settimana
- Simulazione del primo esonero (1/11/2024)
- Simulazione del secondo esonero (20/12/2024)
- Orario lezioni:
- - lunedì: 12:00 - 13:30 (Aula D), martedì: 14:30 - 16:00 (Aula D), mercoledì: 12:00 - 13:30 (Aula D)
- Ricevimento:
- - per appuntamento alessandro.giuliani@uniroma3.it
- - per appuntamento alessandro.giuliani@uniroma3.it
Esami ed esoneri
- Primo esonero (6/11/2024): Testo
Testi consigliati
-
Testi principale di riferimento:
- [BEM] D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei: Matematica
per le scienze della vita, Ed. Ambrosiana.
- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Testi di esercizi:- [MSes] P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. primo, parti prima e seconda, Ed. Liguori.
- [SS] S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Ultima modifica 20/12/2024