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INTERESSI SCIENTIFICI:

Metodi variazionali applicati allo studio di equazioni differenziali.

Il punto di partenza è stato lo studio per la tesi di Laurea dell'esistenza e molteplicità di soluzioni periodiche ed omocline di sistemi Hamiltoniani del secondo ordine, con potenziale di segno variabile. I teoremi utilizzati sono di tipo minimax, ad esempio Passo Montano e Linking, mentre per i risultati di molteplicità si fa uso della teoria di Ljusternik e Schnirelmann (articolo 1). Negli articoli (1,3,4,5,6,7) vengono studiati Sistemi Hamiltoniani o equazioni in cui c’è una nonlinearità che cambia segno, mentre in (articolo 2) viene studiato un problema piuttosto diverso. Infatti in questo articolo viene attaccato un problema di esistenza di traiettorie che connettono punti diversi su varietà Lorentziane  (questa classe di problemi ha applicazione  alla Relatività Generale) . Le tecniche usate sono comunque teoremi di tipo minimax, ed è stato interessante vederle applicate in un contesto piuttosto diverso. 

In seguito ho iniziato lo studio di equazioni contenenti l’operatore Laplaciano e sue generalizzazioni, continuando a considerare termini non lineari di segno variabile (articoli 3,4,5), come fu per i sistemi Hamiltoniani studiati nella tesi di laurea . Questo è stato l’argomento centrale della tesi di dottorato; in particolare, sono state affrontate questioni sia di esistenza di soluzioni che di molteplicità (articolo 7) e  oltre a considerare nonlinearità di segno variabile,  è stato studiato anche il caso a crescita  critica (rispetto all’immersione di Sobolev, articolo 4). Il tipo di equazione studiata ha delle interessanti applicazioni alla biomatematica, in particolare il segno indefinito della nonlinearità ha un preciso significato nel campo della dinamica delle popolazioni.

Ho iniziato a studiare a questo punto delle disequazioni variazionali: nell’articolo (6 ) viene affrontato un problema di stabilità di soluzioni , mentre in (articolo 9)  viene raggiunto un risultato di molteplicità, ed è stato necessario adattare dei teoremi di punto critico in modo non standard al nostro caso, per poter risolvere una mancanza di compattezza.

Nel’articolo (10) mi sono occupata di equazioni per le quali il funzionale associato ha parte principale non strettamente convessa e la nonlinearità è a crescita critica. La non stretta convessità della parte principale provoca una mancanza di compattezza, che si aggiunge a quella causata dalla presenza dell’esponente critico. In particolare il funzionale studiato ha una parte principale con andamento quadratico vicino all’origine, poi lineare e poi di nuovo quadratico all’infinito: questo tipo di andamento si ritrova in alcuni modelli riguardanti il comportamento plastico di alcuni materiali.

Nei lavori (10,11) i funzionali associati alle equazioni sono non regolari, il che richiede di applicare delle tecniche di punto critico, già esistenti in letteratura, che sono delle generalizzazioni al caso di funzionali continui o anche solo semicontinui dei teoremi di tipo Linking o Passo Montano, che si utilizzano per funzionali di classe C^1.

In (11) in particolare l’equazione contiene l’operatore “1-laplaciano” e il funzionale è del tipo variazione totale, quindi il problema viene trattato nell’ambito delle funzioni a variazione limitata (BV).

1)  “SECOND ORDER NONAUTONOMOUS SYSTEMS WITH SYMMETRIC POTENTIAL CHANGING SIGN”  F. Antonacci, P. Magrone,  Rendiconti di Matematica di Roma (serie 

      VII, vol.18, 1998).

2) “ON A CLASS OF SEMILINEAR ELLIPTIC EQUATIONS WITH POTENTIAL CHANGING SIGN”, P.Magrone, Dynamical Systems and Applications, vol. 9, (2000), 459-468.

    Un abstract è stato anche  pubblicato sugli atti del XVI congresso UMI, Napoli 13-18 settembre 1999.

3) “ON THE PROBLEM OF THE EXISTENCE FOR CONNECTING TRAJECTORIES UNDER THE ACTION OF GRAVITATIONAL AND ELECTROMAGNETIC FIELDS” (PDF),

     F. Antonacci,  F. Giannoni,  P. Magrone,  Differential Geometry and Applications, 13, (2000), 1-17.

4) “LINKING TYPE SOLUTIONS FOR ELLIPTIC EQUATIONS WITH INDEFINITE NONLINEARITIES UP TO THE CRITICAL GROWTH” , (PDF) M. Grossi, P.Magrone e M.

       Matzeu , Discrete and Continuous Dynamical Systems , 7 (2001), 703-718.

5) “A DIRICHLET PROBLEM WITH ASYMPTOTICALLY LINEAR AND CHANGING SIGN NONLINEARITY”, (PDF) M. Lucia, P.Magrone, H-S. Zhou , Revista Matematica Complutense, 16,   

     (2003), 465-481.

6)“A STABILITY RESULT FOR MOUNTAIN PASS TYPE SOLUTIONS OF SEMILINEAR ELLIPTIC VARIATIONAL INEQUALITIES” (PDF) P. Magrone, R.Servadei, Nonlinear studies, 9,

    n. 4, 387- 405, (2002).

7)   “MULTIPLE SOLUTIONS FOR PERTURBED INDEFINITE SEMILINEAR ELLIPTIC EQUATIONS”, (PDF) P. Magrone, S. Mataloni, Advances In Differential Equations, vol. 8, n. 9,

      1107-1124,  (2003).

8)  Estratto della tesi di dottorato: “METODI DI PUNTO CRITICO PER EQUAZIONI SEMILINEARI ELLITTICHE DI SEGNO INDEFINITO E SISTEMI HAMILTONIANI” (PDF). P.Magrone, Bollettino UMI, La Matematica nella società e nella cultura, serie VIII, Vol VI-A, 2003, 287-290.

9)   “Multiplicity of solutions for semilinear variational inequalities via linking and $\nabla$-theorems”, (PDF) P.magrone, D.Mugnai, R.Servadei, Journal of Differential Equations, 228  (2006), pp. 191-225. Un abstract è stato pubblicato anche sugli atti del XVII congresso UMI, Milano 8-13 settembre 2003.

10)  “AN EXISTENCE RESULT FOR A PROBLEM WITH CRITICAL GROWTH AND LACK OF STRICT CONVEXITY ”, (PDF) Paola Magrone , NoDEA Nonlinear Differential Equations and Applications 15 (2008), no. 6, 717--728.

11) " LINKING SOLUTIONS FOR QUASILINEAR EQUATIONS AT CRITICAL GROWTH INVOLVING THE $1$- LAPLACE OPERATOR ", (PDF) M. Degiovanni and P.Magrone, Calculus of  Variations Partial Differential Equations  36 (2009), no. 4, 591--609.