Equazioni Differenziali della Fisica (CdL Fisica)
AA 2008-2009 - I Semestre Docente: Alessandro Giuliani
- Diario delle lezioni
- Lezioni 1 e 2 [13/10/08]
Equazioni differenziali alle derivate parziali: generalità. Equazioni della fisica matematica. Classificazione delle equazioni lineari del second'ordine (cenni). Equazione di Laplace: il laplaciano in un sistema di coordinate ortogonale.- Lezione 3 [16/10/08]
Il laplaciano in coordinate sferiche e cilindriche. La soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace in dimensione due e tre. Funzioni armoniche in 2D e funzioni analitiche di singola variabile complessa. I polinomi armonici in 2D.- Lezione 4 [20/10/08]
Cambi di coordinate conformi. Le trasformazioni lineari fratte (trasformazioni di Moebius): invarianza per traslazioni, rotazioni, dilatazioni e inversioni rispetto a cerchi.- Lezione 5 [23/10/08]
Polinomi armonici in tre dimensioni: calcolo del numero di polinomi independenti di grado n. Costruzione di una base di polinomi armonici (prima parte).- Lezioni 6 e 7 [3/11/08]
Costruzione di una base di polinomi armonici (seconda parte). Polinomi di Legendre e armoniche sferiche. Sviluppo di funzioni sulla sfera in armoniche sferiche.- Lezione 8 [6/11/08]
Covarianza del Laplaciano e delle funzioni armoniche in 3D sotto traslazioni, rotazioni, dilatazioni e inversioni rispetto a sfere. La funzione di Green nello spazio: calcolo euristico (per trasformata di Fourier).- Lezioni 9 e 10 [10/11/08]
La funzione di Green e la soluzione del problema di Poisson nello spazio. Il problema di Poisson in un dominio limitato.- Lezioni 11 e 12 [17/11/08]
Il problema di Dirichelet in un dominio limitato. La funzione di Green di un dominio. Il teorema di rappresentazione. Il teorema della media. Il principio del massimo.- Lezione 13 [20/11/08]
Unicità e continuità rispetto ai dati iniziali della soluzione del problema di Dirichelet in un dominio limitato.- Lezioni 14 e 15 [24/11/08]
Esistenza della soluzione del problema di Dirichelet nella sfera: costruzione della funzione di Green, formula risolutiva in termini del nucleo di Poisson e dello sviluppo in armoniche sferiche. Esistenza e unicità della soluzione con condizioni al contorno continue (o continue a tratti).- Lezione 16 [26/11/08]
Soluzione (per serie, via espansione in armoniche sferiche) del problema di Dirichelet nella sfera con condizione al bordo V1 sull'emisfero nord e V1 sull'emisfero sud. Equazione ricorsiva per i polinomi di Legendre.- Lezione 17 [27/11/08]
Esistenza della soluzione del problema di Dirichelet nel cerchio: costruzione della funzione di Green, formula risolutiva in termini del nucleo di Poisson e dello sviluppo in seriei di Fourier. Soluzione (per serie, via espansione in seni e coseni) del problema di Dirichelet nel cerchio con condizione al bordo V1 sul semicerhio positivo e V2 sul semicerchio negativo.- Lezioni 18 e 19 [1/12/08]
Il metodo delle cariche immagine: calcolo del potenziale generato da una carica puntiforme in presenza di un conduttore sferico a terra. Calcolo della superficie di carica indotta sul conduttore. Calcolo della forza di attrazione tra carica e conduttore.- Lezione 20 [3/12/08]
Ancora sulle cariche immagine: il caso di una carica puntiforme in presenza di una lastra conduttrice piana.- Lezione 21 [4/12/08]
Disuguaglianza di Harnack e teorema di Liouville.- Lezioni 22 e 23 [8/12/08]
Teorema di Earnshaw. Equivalenza tra funzioni armoniche e funzioni che soddisfano il teorema della media.- Lezione 24 [10/12/08]
Le funzioni armoniche sono localmente analitiche.- Lezione 25 [11/12/08]
Sull'esistenza della soluzione al problema di Dirichelet in domini generici: cenni al controesempio di Lesbegue, enunciato del teorema di esistenza.- Lezioni 26 e 27 [15/12/08]
La strategia della dimostrazione del teorema di esistenza nel caso di domini regolari di classe C2: potenziali di strato e doppio strato; discontinuità del potenziale e del campo elettrico alla superficie; il problema di Dirichelet in termini di un'equazione integrale (ricerca del potenziale di doppio strato che generi il dato al bordo assegnato); l'alternativa di Fredholm; unicità della soluzione dell'equazione omogenea.- Lezione 28 [17/12/08]
Equazione del calore: derivazione macroscopica (conservazione dell'energia + legge di Fourier) e microscopica (cammino aleatorio).- Lezione 29 [18/12/08]
Calcolo della soluzione fondamentale dell'equazione del calore con la trasformata di Fourier.- Lezione 30 [7/1/09]
Esistenza e costruzione della soluzione dell'equazione del calore in Rd con dato iniziale continuo e limitato.- Lezione 31 [8/1/09]
Il principio del massimo. Unicità della soluzione su un dominio finito.- Lezioni 32 e 33 [12/1/09]
Unicità delle soluzioni limitate su Rd. Esistenza e costruzione per separazione di variabili della soluzione dell'equazione del calore su un segmento finito.
- Appello 15/2/2010
Testo
Risultati - Appello 1/7/2010
Testo - Appello 13/9/2010
Testo - Appello 2/2/2011
Testo
Modalità (per coloro che non hanno sostenuto l'esame entro Ottobre 2009): scritto (vedi sopra per degli esempi di scritti degli anni passatti) e orale, sul seguente programma "ridotto":
- (1) LAPLACE. 2D: una funzione e' armonica sse e' analitica; invarianza sotto trasformazioni conformi; la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace; soluzione dell'equazione di Poisson nello spazio. 3D: proprieta' di invarianza rispetto a traslazioni, rotazioni e inversioni rispetto a sfere; la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace; soluzione dell'equazione di Poisson nello spazio; teorema di rappresentazione, della media, del massimo; unicita' della soluzione del problema di dirichelet; funzione di green; funzione di green nella sfera e metodo delle cariche immagine; esistenza e rappresentazione esplicita della soluzione nella sfera, sia col nucleo di poisson che con lo sviluppo in armoniche sferiche.
- (2) CALORE. 1D: principio del massimo, unicita', soluzione sulla retta e sul segmento.
- (2') ONDE. 1D: conservazione dell'energia, unicita', soluzione sulla retta e sul segmento.
- Testi consigliati
- E. C. Zachmanoglou, D. W. Thoe: Introduction to Partial Differential Equations with Applications, Dover Publications, 1986.
- A. N. Tikhonov and A. A. Samarskii: Equations of Mathematical Physics, Dover. Traduzione italiana pubblicata da MIR.
- B. M. Budak, A. N. Tikhonov and A. A. Samarskii: A collection of problems in Mathematical Physics , Dover. Oppure: A. N. Tikhonov and A. A. Samarskii: Problemi della fisica matematica, MIR.
- V. I. Smirnov: Corso di Matematica Superiore, Volume terzo, parte seconda, Editori Riuniti.
- S. Salsa: Equazioni a derivate parziali: Metodi, Modelli e Applicazioni, Springer, 2004.
- E. DiBenedetto: Partial Differential Equations, Birkhauser, 1995.
- L. C. Evans: Partial differential equations, AMS, 1998.
- E.H. Lieb, M. Loss: Analysis, AMS.
- E. C. Zachmanoglou, D. W. Thoe: Introduction to Partial Differential Equations with Applications, Dover Publications, 1986.
Ultima modifica 1/3/2011