MATEMATICA I (CdL Geologia)
AA 2009-2010 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani / Esercitatore: Antonio Veredice)
- Indice
- Programma
- Diario delle lezioni
- Esercitazioni
- Orari
- Bibliografia
- Esami ed esoneri
- Sito del corso 2008/2009
- Percentuale presenze
- Programma
- Diario delle lezioni
- Lezioni 1 e 2 [6/10/09]
Insiemi di numeri: naturali, interi e reali. Assiomi relativi alle operazioni, assiomi di ordinamento, assioma di completezza. Funzioni reali di una variabile reale: dominio, codominio, funzioni invertibili, funzioni monotone.- Esercitazioni 1 e 2 [6/10/09]
Disuguaglianze algebriche con polinomi, rappresentazione grafica delle disuguaglianze algebriche.- Lezioni 3 e 4 [8/10/09]
Funzioni lineari. Funzione modulo. Funzioni potenza, esponenziale e logaritmo.- Lezioni 5 e 6 [13/10/09]
Funzioni trigonometriche. Interpretazione grafica e analitica delle traslazioni (f(x) --> f(x)+y_0 corrisponde a una traslazione del grafico verso l'alto di una quantità y_0; f(x) --> f(x-x_0) corrisponde a una traslazione verso destra di una quantità x_0).- Esercitazioni 3 e 4 [13/10/09]
Disuguaglianze esponenziali e logaritmiche, rappresentazione grafica delle disuguaglianze esponenziali e logaritmiche. Studio qualitativo di funzioni algebriche, esponenziali e logaritmiche.- Lezione 7 [14/10/09]
Disuguaglianze trigonometriche, rappresentazione grafica delle disuguaglianze trigonometriche.- Lezioni 8 e 9 [15/10/09]
Definizione di vettore. Rappresentazione in coordinate cartesiane e in termini di lunghezza, direzione e verso. Somma e differenza tra vettori, moltiplicazione per uno scalare (rappresentazione geometrica e cartesiana). Modulo di un vettore. Vettori sul piano: come passare da lunghezza, direzione e verso a rappresentazione cartesiana. Versore associato a un vettore assegnato e versori coordinati. Esempi (composizione delle forze e delle velocità; il moto rettilineo uniforme sul piano in rappresentazione vettoriale).- Lezioni 10 e 11 [20/10/09]
Esempi sui vettori: composizione degli spostamenti e il moto accelerato uniforme sul piano. Proiezioni di un vettore lungo una direzione assegnata. Il prodotto scalare: definizione geometrica e rappresentazione cartesiana. Condizione di ortogonalità tra vettori.- Esercitazioni 5 e 6 [20/10/09]
Vettori e versori: rappresentazione grafica, passaggio da rappresentazione cartesiana a rappresentazione in termini di lunghezza direzione e verso, prodotto scalare, criterio di ortogonalità.- Lezione 12 [21/10/09]
Disuguaglianza triangolare, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Calcolo dell'area di un triangolo supportato da due vettori.- Lezioni 13 e 14 [22/10/09]
Prodotto vettoriale: definizione geometrica e rappresentazione in coordinate. Criterio di parallelismo tra vettori e tra rette. Risoluzione generale di un sistema lineare di due equazioni in due incognite: rappresentazione matriciale e condizioni di risolubilità.- Lezioni 15 e 16 [27/10/09]
Condizione di invertibilità di una matrice 2x2. Trasformazioni lineari di vettori e rappresenteazione matriciale. Esempi: rotazioni, riscalamenti di coordinate, riflessione attorno a un asse, proiezione su una direzione assegnata. Matrice inversa come matrice della trasformazione inversa. Composizione tra trasformazioni lineari e rappresentazione matriciale: il prodotto righe per colonne tra due matrici.- Esercitazioni 7 e 8 [27/10/09]
Operazioni tra vettori e tra matrici e vettori.- Lezione 17 [28/10/09]
Operazioni tra matrici rettangolari. La matrice inversa di una matrice 2x2. Il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinanti.- Lezioni 18 e 19 [29/10/09]
Il determinante di una matrice 3x3: regola di Sarrus e di Laplace. Risoluzione di un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite con la regola di Cramer. Il significato della condizione di determinante nullo. Inversa di una matrice 3x3.- Lezioni 20 e 21 [3/11/09]
Esempi: il determinante di una matrice 3x3, inversa di una matrice 3x3, risoluzione di un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite con la matrice inversa, il significato della condizione di determinante nullo, costruzione della matrice associata a una riflessione rispetto a una retta nel piano. Ricerca di direzioni invarianti per la trasformazione associata a una matrice assegnata. Autovalori e autovettori. Matrici simmetriche.- Esercitazioni 9 e 10 [3/11/09]
Matrici 2x2 e 3x3: Calcolo di determinanti, calcolo dell'inversa, risoluzione di sistemi lineari con il metodo di cramer.- Lezione 22 [4/11/09]
Esempi: autovalori e autovettori di matrici simmetriche 2x2. Ortogonalità degli autovettori. Cambio di base e riscrittura della matrice simmetrica come composizione di rotazione + riscalamento + rotazione inversa.- Lezioni 23 e 24 [5/11/09]
Esempio: autovalori e autovettori di una matrice simmetrica 3x3. Successioni: prime definizioni e proprietà. La nozione di limite: interpretazione grafica. Definizione di limite per successioni. Esempi: verifica della definizione di limite per an= 10-n e an= (n-1)/n. Teorema di unicità del limite.- Lezioni 25 e 26 [10/11/09]
Successioni divergenti. Successioni che non ammettono limite. Teorema: successioni convergenti sono limitate. Operazioni con i limiti.- Esercitazioni 11 e 12 [10/11/09]
Esercitazione pre-esonero.- Lezione 27 [11/11/09]
Correzione dell'esercitazione pre-esonero.- Lezioni 28 e 29 [17/11/09]
Operazioni con i limiti: esempi. Forme indeterminate. Limiti di rapporti tra polinomi. Teoremi di confronto: teorema della permanenza del segno e teorema dei carabinieri. Disuguaglianza di Bernoulli. I limiti notevoli an e a1/n.- Esercitazioni 13 e 14 [17/11/09]
Esercizi su: definizione di limite, operazioni con i limiti, rappresentazione grafica di successioni, forme indeterminate.- Lezione 30 [18/11/09]
I limiti notevoli n1/n e (sinan)/an.- Lezioni 31 e 32 [19/11/09]
Gerarchie di infiniti. Teorema: successioni monotone ammettono limite. Il limite notevole (1+1/n)n ---> e. Esempi ed esercizi sui limiti di successioni.- Lezioni 33 e 34 [24/11/09]
Limiti di funzioni. Asintoti orizzontali e verticali. Limiti da destra e da sinistra.- Esercitazioni 15 e 16 [24/11/09]
Esercizi su: limiti di successioni e funzioni, limiti notevoli, forme indeterminate.- Lezioni 35 e 36 [1/12/09]
Asintoti obliqui. Continuità e discontinuità. Calcolo dei limiti di funzioni e applicazioni allo studio dei grafici di funzioni.- Esercitazioni 17 e 18 [1/12/09]
Esercizi su: Calcolo dei limiti di funzioni e applicazioni allo studio dei grafici di funzioni.- Lezione 37 [2/12/09]
Teoremi di continuità: teorema di permanenza del segno, di esistenza degli zeri (con dimostrazione), di Weierstrass, dei valori intermedi.- Lezioni 38 e 39 [3/12/09]
La derivata: interpretazione meccanica e geometrica. Definizione e prime proprietà: se una funzione è derivabile è anche continua (ma non il viceversa). Derivate delle funzioni elementari: potenza, esponenziale, logaritmo. Derivate delle funzioni trigonometriche. L'equazione differenziale soddisfatta da seno e coseno.- Lezione 40 [9/12/09]
Operazioni con le derivate: derivata della somma, della differenza, del prodotto e del rapporto. Derivazione delle funzioni composte. Equazione della retta tangente a una curva in un punto. La formula di Taylor del prim'ordine.- Lezioni 41 e 42 [10/12/09]
Un esempio: la legge di Hooke e l'equazione del moto di un oscillatore armonico. Massimi e minimi relativi (o locali). Il teorema di Rolle. Il teorema del valor medio. Criteri di monotonia.- Lezioni 43 e 44 [15/12/09]
Studio di funzioni e ricerca dei massimi relativi. Problemi di ottimizzazione e derivate: calcolo della lunghezza massima di un tavolo trasportato in un cunicolo.- Esercitazioni 19 e 20 [15/12/09]
Esercizi su: calcolo delle derivate, operazioni con le derivate, studio di funzioni (proprietà di monotonia, localizzazione di massimi e minimi relativi).- Lezione 45 [16/12/09]
Ancora su studi di funzione e ricerca di massimi relativi. Il teorema di L'Hopital. Calcolo di limiti che coinvolgono forme indeterminate.- Lezioni 46 e 47 [17/12/09]
La formula di Taylor del second'ordine e di ordine generico. calcolo di limiti che coinvolgono forme indeterminate con la formula di Taylor.- Lezioni 48 e 49 [12/1/10]
Integrali: metodo di esaustione, definizione (area col segno, limite di somme di Riemann), proprietà elementari (linearità, proprietà distributiva). Teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive e formula fondamentale del calcolo integrale.- Esercitazioni 21 e 22 [12/1/10]
Esercizi sul calcolo delle derivate: formula di L'Hopital, formula di Taylor.- Lezione 50 [13/1/10]
Integrali: calcolo per decomposizione in somma.- Lezioni 51 e 52 [14/1/10]
Integrali: calcolo per sostituzione e per parti.- Lezioni 53 e 54 [19/1/10]
Integrali delle funzioni razionali con denominatore di grado 2: il caso con denominatore con radici immaginarie.- Lezione 55 [20/1/10]
Integrali delle funzioni razionali con denominatore di grado 2: il caso con denominatore con radici reali.- Esercitazioni 23 e 24 [20/1/10]
Esercizi sul calcolo degli integrali definiti e indefiniti: metodo di integrazione per sostituzione, per parti e integrazione delle funzioni razionali.- Lezioni 56 e 57 [21/1/10]
Esercitazione pre-esonero.
Modalità: Esame scritto e orale. Il primo appello si terrà a Gennaio 2010. Il secondo appello si terrà a Febbraio 2010. Durante il corso si terranno due esoneri, il primo a Novembre 2009, il secondo a Gennaio 2010. Chi supererà con successo (vedi sotto) le due prove di esonero potrà accedere all'esame orale senza dover svolgere l'esame scritto.
Frequenza: La frequenza al corso (sia alle lezioni che alle esercitazioni) è obbligatoria. Si richiede una frequenza almeno del 70%. L'accesso all'esame finale è permesso solo a chi ha frequentato il corso più del 70% o a chi ha autorizzazioni speciali a non frequentare, e.g., studenti lavoratori (consulta la lista percentuale presenze).
Regolamento: Per superare con successo le due prove di esonero è necessario ottenere almeno 15/30 in entrambe le prove, e una media di almeno 18/30. Chi avrà superato con successo gli esoneri potrà sostenere l'orale entro la sessione di Settembre 2009 senza dover sostenere l'esame scritto. Chi non avrà superato con successo gli esoneri dovrà sostenere la prova scritta. Potranno sostenere la prova scritta anche coloro avessero superato con successo gli esoneri e volessero migliorare il proprio voto; in questo caso gli esoneri perderanno valore al momento della consegna al docente dell'esame svolto. Chi avrà superato con successo l'esame scritto (i.e., con almeno 18/30) dovrà sostenere la prova orale nella stessa sessione dello scritto (ad esempio, chi supera uno scritto nella sessione di Gennaio/Febbraio 2010 -- al primo o al secondo appello -- deve sostenere la prova orale entro Febbraio 2010 stesso.)
Esame orale: La prova orale consisterà in una discussione dello scritto e in alcune domande sugli argomenti trattati nel corso (ad es., definizioni, esempi, risoluzione di semplici esercizi, enunciati di teoremi e discussione della loro dimostrazione).
I teoremi con dimostrazione:
SUCCESSIONI: Unicità del limite; successioni convergenti allora limitate; operazioni con i limiti; teorema della permanenza del segno e dei carabinieri.
FUNZIONI: Teorema di esistenza degli zeri.
DERIVATE: Operazioni con le derivate; teorema di Fermat; teorema di Rolle; teorema di Lagrange; criteri di monotonia; caratterizzazione funzioni costanti in un intervallo; teorema di l'Hopital; la formula di Taylor del primo e del second'ordine.
INTEGRALI: Teorema della media integrale; teorema fondamentale del calcolo integrale; formula fondamentale del calcolo integrale.
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- Testi consigliati
Testo principale di riferimento:
P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Testi di riferimento addizionali:- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- D. Esposito, M. Degli Esposti, C. Maffei: Matematica per le scienze della vita, Ed. Ambrosiana.
- N. Piskunov: Calcolo differenziale e integrale , Vol. primo, Ed. riuniti.
Testi di esercizi:- S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. primo, parti prima e seconda, Ed. Liguori.
- B. P. Demidovic: Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti.
- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
Ultima modifica 16/9/2010