MATEMATICA I (CdL Geologia)
AA 2008-2009 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani / Esercitatore: Marcello Porta)
AVVISI
- [27/7/2009]
L'appello della sessione di Settembre avrà luogo nei
giorni 7 Settembre 2009 ore 9:30, aula E (scritto) e 9 Settembre 2009 ore
9:30, aula GEO 4 (orale).
- Diario delle lezioni
- Lezioni 1 e 2 [7/10/08]
Insiemi di numeri: naturali, interi e reali. Assiomi relativi alle operazioni, assiomi di ordinamento, assioma di completezza. Funzioni reali di una variabile reale: dominio, codominio, funzioni invertibili, funzioni monotone. Funzioni lineari. La funzione modulo.- Esercitazioni 1 e 2 [7/10/08]
Disuguaglianze algebriche con polinomi, moduli e radicali.- Lezione 3 [8/10/08]
Funzioni potenza, esponenziale e logaritmo.- Lezioni 4 e 5 [9/10/08]
Funzioni trigonometriche, funzioni trigonometriche inverse. Numeri complessi: parte reale, parte immaginaria, modulo. Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra numeri complessi in forma cartesiana.- Lezioni 6 e 7 [14/10/08]
Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi. Moltiplicazione, divisione e elevazione a potenza con la rappresentazione trigonometrica: formula di De Moivre. Radici n-esime di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra (cenni). Disuguaglianza triangolare per il modulo dei numeri complessi. Interpretazione grafica.- Esercitazioni 3 e 4 [14/10/08]
Disuguaglianze trigonometriche. Insiemi di definizione e funzioni inverse.- Lezione 8 [15/10/08]
I vettori nel piano e nello spazio. Lunghezza, direzione e verso. Rappresentazione cartesiana. Rappresentazione grafica: segmenti orientati. Modulo di un vettore. Somma e differenza tra vettori.- Lezioni 9 e 10 [16/10/08]
Moltiplicazione di un vettore per un numero reale. Versori: versori associati a un vettore assegnato e versori coordinati. Proiezione di un vettore lungo una direzione assegnata. Prodotto scalare: rappresentazione trigonometrica e in coordinate. Criterio di ortogonalità tra vettori. Calcolo del coseno dell'angolo compreso tra due vettori.- Lezioni 11 e 12 [21/10/08]
Prodotto vettoriale: rappresentazione trigonometrica e in coordinate. Regola della mano destra. Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale. Applicazioni fisiche: forza di Lorenz e forza di Coriolis (cenni). Criterio di parallelismo tra vettori. Calcolo dell'area del parallelogramma costruito su due vettori. Rappresentazione parametrica di una retta nel piano. Criterio di parallelismo e ortogonalità tra rette del piano.- Esercitazioni 5 e 6 [21/10/08]
Numeri complessi: rappresentazione cartesiana e trigonometrica. Formula di De Moivre. Versori, prodotto scalare e vettoriale. Calcolo del coseno tra due vettori.- Lezione 13 [22/10/08]
Trasformazioni lineari di vettori: esempi (rotazioni, riflessioni attorno a rette). Matrici 2X2. Moltiplicazione di matrici per vettori colonna. Trasformazioni composte: prodotto (righe per colonne) tra matrici 2X2.- Lezioni 14 e 15 [23/10/08]
La matrice identità. Matrici quadrate e matrici rettangolari. Operazioni tra matrici: somma, moltiplicazione per numero reale, prodotto tra matrici (righe per colonne). La matrice inversa: un esempio. Il determinante di una matrice 2X2. Calcolo dell'inversa di una matrice 2X2.- Lezioni 16 e 17 [4/11/08]
Il determinante di una matrice 3X3 (regola di Sarrus e regola di Laplace). Il determinante di una matrice nXn con la regola di Laplace (sviluppo lungo una riga o una colonna). La regola di Cramer: risoluzione di sistemi lineari di n equazioni in n incognite.- Esercitazioni 7 e 8 [4/11/08]
Vettori, prodotto scalare e vettoriale. Operazioni tra matrici: moltiplicazione righe per colonne, determinante, matrici inverse.- Lezione 18 [5/11/08]
Matrici diagonali. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici simmetriche (esempi per matrici 2X2 e 3X3).- Esercitazioni 9 e 10 [6/11/08]
Prova pre-esonero: esercizi su domini di definizione, funzioni invertibili, numeri complessi, operazioni tra vettori e tra matrici, sistemi lineari.- Lezioni 19 e 20 [11/11/08]
Limiti di successioni: definizioni e prime proprietà. Esempi di successioni convergenti, con limite infinito e che non ammettono limite. Successioni limitate e non limitate. Teorema di unicità del limite. Teorema: successioni convergenti sono limitate.- Esercitazioni 11 e 12 [11/11/08]
Esercizi di riepilogo su: domini di definizione, funzioni invertibili, disuguaglianze logaritmiche, numeri complessi, operazioni tra vettori e tra matrici, sistemi lineari.- Lezione 21 [12/11/08]
Operazioni con i limiti, forme indeterminate. Limiti di rapporti tra polinomi.- Lezioni 22 e 23 [18/11/08]
Teoremi di confronto: permanenza del segno e teorema dei carabinieri. Limiti notevoli: an, n1/n, nn. Somma della serie geometrica.- Esercitazioni 13 e 14 [18/11/08]
Esercizi sui limiti: applicazione della definizione, operazioni con i limiti, limiti notevoli.- Lezione 24 [19/11/08]
Ancora sui limiti notevoli: se an tende a 0, allora (sin an)/an tende a 1 e (1- cos an)/(an)2 tende a 1/2. Gerarchie di infiniti.- Lezioni 25 e 26 [20/11/08]
Teorema: successioni monotone ammettono limite. Il limite notevole (1+1/n)n ---> e. Esempi ed esercizi sui limiti di successioni.- Lezioni 27 e 28 [25/11/08]
Limiti di funzioni. Asintoti orizzontali e verticali. Limiti da destra e da sinistra. Continuità e discontinuità. Calcolo dei limiti di funzioni e applicazioni allo studio dei grafici di funzioni.- Esercitazioni 15 e 16 [25/11/08]
Esercizi sui limiti di successioni: operazioni con i limiti, limiti notevoli.- Lezione 29 [26/11/08]
Ancora calcolo di limiti di funzioni e studi di funzione. Asintoti obliqui.- Lezioni 30 e 31 [27/11/08]
Limiti notevoli. Comportamento asintotico di una funzione vicino a un punto. Teoremi di continuità: teorema di permanenza del segno, di esistenza degli zeri (con dimostrazione), di Weierstrass, dei valori intermedi.- Lezioni 32 e 33 [2/12/08]
La derivata: interpretazione meccanica e geometrica. Definizione e prime proprietà: se una funzione è derivabile è anche continua (ma non il viceversa). Derivate delle funzioni elementari: potenza, esponenziale, logaritmo.- Lezione 34 [3/12/08]
Derivate delle funzioni trigonometriche. L'equazione differenziale soddisfatta da seno e coseno. Operazioni con le derivate: derivata della somma, della differenza, del prodotto e del rapporto.- Lezioni 35 e 36 [4/12/08]
Derivazione delle funzioni composte. Equazione della retta tangente a una curva in un punto. La formula di Taylor del prim'ordine. Un esempio: la legge di Hooke e l'equazione del moto di un oscillatore armonico.- Esercitazioni 17 e 18 [4/12/08]
Esercizi su: limiti di funzioni e l'uso dei limiti notevoli; calcolo delle derivate, operazioni con le derivate; equazione della retta tangente a una curva in un punto.- Lezioni 36 e 37 [9/12/08]
Massimi e minimi relativi (o locali). Il teorema di Rolle. Il teorema del valor medio. Criteri di monotonia.- Lezione 38 [10/12/08]
Studio di funzioni e ricerca dei massimi relativi. Problemi di ottimizzazione e derivate: calcolo del volume massimo di un cilindro inscritto in un cono; calcolo della lunghezza massima di un tavolo trasportato in un cunicolo.- Lezioni 39 e 40 [11/12/08]
Problemi di ottimizzazione e derivate: il principio di Fermat e la legge di Snell. Esempi: studi di funzione. Il teorema di L'Hopital: calcolo di limiti che coinvolgono forme indeterminate.- Esercitazioni 19 e 20 [11/12/08]
Esercizi su: calcolo di derivate (operazioni con le derivate e derivazione delle funzioni composte); equazione della retta tangente a una curva in un punto; studi di funzione.- Lezioni 41 e 42 [16/12/08]
La formula di Taylor del second'ordine e di ordine generico. calcolo di limiti che coinvolgono forme indeterminate con la formula di Taylor.- Lezione 43 [17/12/08]
Integrali: il metodo di esaustione per il calcolo dell'area sottesa dal segmento di parabola. Definizione di integrale di una funzione continua positiva come area sottesa al grafico della funzione e in termini delle somme di Riemann.- Lezioni 44 e 45 [18/12/08]
Integrali: ancora sulla definizione ("area col segno"). Proprietà elementari degli integrali: linearità, proprietà "distributiva", ordinamento. Teorema della media integrale. Primitiva di una funzione: definizione. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. La formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali definiti e indefiniti. Calcolo delle primitive delle funzioni elementari: potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.- Esercitazioni 21 e 22 [18/12/08]
Esercizi su: calcolo di derivate; formula di Taylor; studi di funzione.- Lezione 46 [7/1/09]
Calcolo di integrali per decomposizione in somma e per sostituzione.- Lezioni 47 e 48 [8/1/09]
Calcolo di integrali per parti. Integrali di funzioni razionali.- Esercitazioni 23 e 24 [8/1/09]
Esercizi sugli integrali.- Lezioni 49 e 50 [13/1/09]
Integrali di funzioni razionali: il caso generale.
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Modalità: Esame scritto e orale. Il primo appello si terrà a Gennaio 2009 (26 Gennaio scritto; 28 Gennaio orale). Il secondo appello si terrà a Febbraio 2009 (9 Febbraio scritto; 11 Febbraio orale) Durante il corso si terranno due esoneri, il primo a Novembre 2008, il secondo a Gennaio 2009. Chi supererà con successo (vedi sotto) le due prove di esonero potrà accedere all'esame orale senza dover svolgere l'esame scritto.
Frequenza: La frequenza al corso (sia alle lezioni che alle esercitazioni) è obbligatoria. Si richiede una frequenza almeno del 70%. L'accesso all'esame finale è permesso solo a chi ha frequentato il corso più del 70% o a chi ha autorizzazioni speciali a non frequentare (e.g., studenti lavoratori).
Regolamento: Per superare con successo le due prove di esonero è necessario ottenere almeno 15/30 in entrambe le prove, e una media di almeno 18/30. Chi avrà superato con successo gli esoneri potrà sostenere l'orale entro la sessione di Settembre 2008 senza dover sostenere l'esame scritto. Chi non avrà superato con successo gli esoneri dovrà sostenere la prova scritta. Potranno sostenere la prova scritta anche coloro avessero superato con successo gli esoneri e volessero migliorare il proprio voto; in questo caso gli esoneri perderanno valore al momento della consegna al docente dell'esame svolto. Chi avrà superato con successo l'esame scritto (i.e., con almeno 18/30) dovrà sostenere la prova orale nella stessa sessione dello scritto (ad esempio, chi supera uno scritto nella sessione di Gennaio/Febbraio 2009 -- al primo o al secondo appello -- deve sostenere la prova orale entro Febbraio 2009 stesso.)
Esame orale: La prova orale consisterà in una discussione dello scritto e in alcune domande sugli argomenti trattati nel corso (ad es., definizioni, esempi, risoluzione di semplici esercizi, enunciati di teoremi e discussione della loro dimostrazione).
I teoremi con dimostrazione:
SUCCESSIONI: Unicità del limite; successioni convergenti allora limitate; operazioni con i limiti; teorema della permanenza del segno e dei carabinieri.
FUNZIONI: Teorema di esistenza degli zeri.
DERIVATE: Operazioni con le derivate; teorema di Fermat; teorema di Rolle; teorema di Lagrange; criteri di monotonia; caratterizzazione funzioni costanti in un intervallo; teorema di l'Hopital; la formula di Taylor del primo e del second'ordine.
INTEGRALI: Teorema della media integrale; teorema fondamentale del calcolo integrale; formula fondamentale del calcolo integrale.
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- Testi consigliati
Testo principale di riferimento:
P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Testi di riferimento addizionali:- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- D. Esposito, M. Degli Esposti, C. Maffei: Matematica per le scienze della vita, Ed. Ambrosiana.
- N. Piskunov: Calcolo differenziale e integrale , Vol. primo, Ed. riuniti.
Testi di esercizi:- S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. primo, parti prima e seconda, Ed. Liguori.
- B. P. Demidovic: Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti.
- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
Ultima modifica 8/9/2009