Diario delle Lezioni:
- [25/09/18] Presentazione del Corso. Formule di Cardano per le equazioni di terzo grado. Prerequisiti: Gruppi finiti (ciclici, abeliani,
permutazioni, diedrali, alterni, ...). Definizioni e proprietà fondamentali di campi e spazi vettoriali.
(pagine 1-9 del Garling)
- [26/09/18] Ancora prerequisiti: Anelli, sottoanelli, ideali, omomorfismi, quozienti, PID, polinomi, .... Teorema Fondamentale di Omomorfismo per anelli.
(pagine 18-35 del Garling)
Inizio corso: Estensioni di campi, esempi, grado di un estensione. Teorema del grado. sottocampi e sottoanelli generati da sottoinsiemi.
(pagine 37-41 del Garling)
- [27/09/18] (in sostituzione del tutorato) ancora sulle estensioni: numeri algebrici e trascendenti. proprietà dei numeri algebrici e di quelli
trascendenti. Morfismo di valutazione. Polinomio minimo di elementi algebrici. elementi algebrici e grado di un estensione. Esempi.
(pagine 42-45 del Garling)
- [01/10/18] Proprietà delle estensioni algebriche (pagine 46-47 del Garling).
Inizio esercitazione. Il campo Q(ω,21/3), ω=e2π/3.
- [02/10/18] ESERCITAZIONE 1
[03/10/18] fine prima Esercitazione. Ultimi fatti sulle estensioni algebriche (pagine 47-48 del Garling). Algoritmo per determinare la fattorizzazione dei polinomi a coefficienti interi (pagine 50-51 del Garling).
Polinomi e campi ciclotomici (Q(ζn), n=3,5,7). Il campo del coseno Q(cos (2π/n)).
[16/10/18] Talamanca: costruzione con riga e compasso (pagine 54-58 del Garling)
[17/10/18] riduzione di polinomi modulo p per verificare l'irriducibilità. (pagine 52-53 del Garling)
Esempi. Campi di spezzamento, proprietà dei campi di spezzamento. Esistenza del campo di spezzamento. (pagine 59-62 del Garling) Esempi.
(pagine 67-68 del Garling)
[22/10/18] Campi di spezzamento: esistenza, unicità, proprietà (pagine 61-62 del Garling). Esempi (pagine 67-70 del Garling).
[23/10/18] Estensione di monomorfismi di campi (pagine 62-66 del Garling).
[24/10/18] Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica (pagine 71-72 del Garling). Esistenza e Unicità (senza dimostrazione) (pagine 73.. del Garling). Campi finiti (pagine 101-102 del Garling).
[25/10/18] Estensioni normali e caratterizzazioni. Se E/K è normale e K⊂M⊂E allora
E/M è normale. Esempi. Estensioni normali e monomorfismi di campi.(pagine 78-81 del Garling).
[29/10/18] LEZIONE ANNULLATA A CAUSA DELL'ALLERTA METEO
[30/10/18] LEZIONE ANNULLATA A CAUSA DELL'ALLERTA METEO
[08/11/18] Prima prova in Itinere
[12/11/18] Separabilità, polinomi, elementi e estensioni separabili. proprietà della separabilità (pagine 82-84 del Garling).
[13/11/18] Polinomi separabili, Automorfismo di Frobenius. (pagine 85-87 del Garling), ESERCITAZIONE 2:
Correzione della prima prova in Itinere
[14/11/18] ESERCITAZIONE 2: Fine correzione compito, Polinomi separabili e campi perfetti
(pagine 88-89 del Garling).
[19/11/18] Campo degli invarianti. Prima forma del teorema di corrispondenza di Galois.
(pagine 35-36 del Milne). Struttura del reticolo dei sottocampi di Q[ζ7] (pagina 42 del Milne).
e di Q[ω,21/3]
[20/11/18] ESERCITAZIONE 3: il gruppo di Galois e il reticolo dei sottocampi di Q[i,21/4] (il reticolo dei sottogruppi di
D4) e di
Q[ζ24]
[21/11/18] Il Lemma di Artin e sue conseguenze. Caratterizzazione delle estensioni di Galois (pagine 36-38 del Milne).
La Teoria di Galois dei Campi finiti (pagine 101-103 del Garling).
[26/11/18] Dimostrazione del Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois. Dimostrazione e applicazioni.
Gruppi di Galois dei polinomi come sottogruppi del gruppo delle permutazioni delle radici.Ancora sui gruppi di Galois come sottogruppi di Sn.
Esempio: il gruppo di Galois di QX3-2.
[27/11/18].Gruppi transitivi e polinomi irriducibili.
Classificazione dei sottogruppi transitivi S3, S4 e S5 (senza dimostrazioni).
[28/11/18] Teorema dell'elemento primitivo. Permutazioni pari e sottocampo generato dalla radice quadrata del discriminante. Esempi. Gruppi risolubili e estensioni risolubili. Enunciato del Teorema di Galois sulla risolubilità dei polinomi. La definizione di discriminante.
Proprietà del discriminante. Gruppi di Galois di polinomi di grado 2 e 3.
[29/11/18] ancora sul Discriminante di un polinomio. formula per il discriminante in termini della derivata del polinomio.
Discriminanti di polinomi di grado 2 e 3. Il discriminante dei p-esimi polinomi ciclotomici.
ESERCITAZIONE 4: Soluzione degli esercizi della
II prova in Itinere A.A. 17/18.
[03/12/18] Gruppi di Galois e radici di polinomi di grado tre. Polinomi di grado quattro. Risolvente cubica. Esempi di polinomi di grado quattro con tutti i possibili gruppi di Galois.
[04/12/18] Problema inverso di Galois (enunciato). Polinomi aventi gruppo di Galois isomorfo a Sp. Esercizi sui polinomi di grado 4.
[05/12/18] Irriducibilità dell' m-simo polinomio ciclotomico.
ESERCITAZIONE 5: inizio correzione Appello A (AA 17/18).
[10/12/18] ESERCITAZIONE 6: fine correzione Appello A (AA 17/18).
Numeri costruibili: richiamo definizione
[11/12/18] ESERCITAZIONE 7:
[12/12/18] Numeri costruibili: bisezione di un angolo, Impossibilità di soluzione con riga e compasso dei problemi classici. Duplicazione del cubo, trisecazone di un angolo, quadratura del cerchio. Poligoni regolalari costruibili: se un poligono regolare con p lati, p primo, è costruibile allora p è un primo di Fermat. Se un numero reale alpha genera un estensione di Galois di grado un potenza di due allora α e' costruibile. Caratterizzazione dei poligoni regolari che sono costruibili con riga e compasso.
[17/12/18]ESERCITAZIONE 8:
[18/12/18]ESERCITAZIONE 9: soluzione della seconda prova in itinere del 2011
[19/12/18] Seconda prova in Itinere