AM110 - Analisi matematica 1

AA 2017-2018 - I Semestre

Prof. Luigi Chierchia

Esercitazioni: Prof. Silvia Mataloni

Tutorato a cura degli studenti magistrali: Patrizio Caddeo, Claudio Delfino

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni I semestre
AM110 - AA 2016/17
Programma di massima del corso
Programma dettagliato del corso
Definizioni date durante corso
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Testi consigliati
Esoneri ed esami

AVVISI

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• Gli ammessi all'orale dell'Appello A possono (qualora non sostengano l'orale il 24/1/18) sostenere l'orale nell'Appello B. Sono ammessi all'orale dell'Appello A coloro che hanno riportato una media di almeno 17/30.
• [21/12/17] Correggere il seguente errore nelle dispense (i file in rete sono stati corretti):
  nel file AM110-14.pdf correggere nell'ipotesi (ii) della Proposizione 8.4: f(y₀) con g(y₀)
• [29/11/17] Correggere i seguenti errori nelle dispense (i file in rete sono stati corretti):
  1) nel file AM110-14.pdf correggere nella 4a riga della Dimostrazione del Corollario 7.3: y=r^-1 con s=r^-1.
  2) nel file AM110-16.pdf il testo corretto del punto (viii) della Proposizione 2.4 è:
  Se a > 1, allora: log_a x < 0, se 0 < x < 1; log_a x > 0 se x > 1.
  Se a < 1, allora: log_a x > 0, se 0 < x < 1; log_a x < 0 se x > 1.
  3) Il testo corretto dell'Esercizio 6.2 del Cap. 2 è questo .
  4) Il testo corretto dell'Esercizio 9.2 del Cap. 2 è questo .
• [3/11/17] Correggere i seguenti errori nelle dispense (i file in rete sono stati corretti):
  1) nel file AM110-9.pdf correggere: la Definizione 8.18; il testo dell'Esercizio 8.12; il punto (iii) nella Definizione 9.2 (+x va in +c); nella formula (22) manca un quadrato nella a del denominatore) (vedi nuovo file AM110-9.pdf )
  2) nel file AM110-10.pdf: nella prima formula un {-∞} va sostituito con {+∞}; Esercizio 3.1, punto (ii) eliminare la frase dopo il punto e virgola.
  3) nel file AM110-12.pdf, Esercizio 4.5, (iii): L=2^4/3
• [24/10/17] Da venerdì 27/10/17 cominceranno, salvo avviso contrario, lezioni/esercitazioni tutti i venerdì 11-13 in aula B3.
• [16/10/17] L'orario di ricevimento del Prof Chierchia è mercoledì 16-18, studio 210.
• [11/10/17] Da oggi è possibile scaricare un file con le definizioni date durante corso .
• [5/10/17] Parte degli esami verterà sullo svolgimento di "esercizi assegnati".
  Sono da considerarsi sempre "assegnati":
  1) tutti gli esercizi che appaiono nelle dispense AM110-n.pdf
  2) gli esercizi di [GE] e [D] relativi agli argomenti trattati a lezione/esercitazione
  3) gli esercizi assegnati nel diario delle lezioni

Programma di massima del corso

Assiomatica di R (incluso definizione induttiva di N, proprietà archimedea, densità dei razionali in R).
Teoria dei limiti di funzioni di variabile reale a valori in R (incluso la teoria dei limiti per successioni e serie).
Topologia e successioni.
Funzioni continue e uniformemente continue: teoremi fondamentali; invarianti per trasformazione continue.
NB: una parte imporante del corso è dedicata alla definizione rigorosa ed alle proprietà fondamentali delle principali funzioni analitiche elementari (radici, esponenziali, logaritmi, funzioni iperboliche e trigonometriche e loro inverse).

Definizioni date durante il corso

AM110-definizioni.pdf (file aggiornato al 20/12/17, numero definizioni = 67)

Diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [25/9/17] Introduzione al corso di laurea in matematica e al corso AM110.

• Lezioni 3 e 4 [27/9/17] Gli assiomi dei numeri reali: i primi quindici assiomi "algebrici".
  [ AM110-1.pdf ].
  Esercizi assegnati: Svolgere gli esercizi dei par 1.1, 1.2 e 1.3 di [G3] (scaricare il file insiemi_G3.pdf ).

• Lezioni 5 e 6 [2/10/17] Conseguenze elementari dei primi quindici assiomi di R.
  [ AM110-2.pdf ].
  Esercizi assegnati: Svolgere gli esercizi in AM110-2.pdf .
  [O] par 104: es 2, 4, 5, 13, 14, 15, 16. [O] par 204: es 5, 9, 10, 13, 14, 15.

• Lezioni 7 e 8 [4/10/17] Le funzioni valore assoluto e segno di x.
  I numeri naturali: definizioni e prime proprietà.
  [ AM110-3.pdf ].
  Esercizi assegnati: [GE] Capitolo 2 es 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 22, 25, 28, 30.

• Lezioni 9 e 10 [9/10/17] Proprietà fondamentali dei numeri naturali.
  [ AM110-4.pdf].

• Lezioni 11 e 12 [11/10/17] Definizione e proprietà fondamentali dei numeri interi e razionali. Il sedicesimo assioma dei numeri reali.
  [ AM110-5.pdf].
  Esercizi assegnati: [GE] cap 2, es 49, 55, 58-67.

• Lezioni 13 e 14 [16/10/17] Caratterizzazione dell'estremo superiore. Proprietà archimedea. Densità dei razionali in R. Parte intera e parte frazionaria di x.
  [ AM110-6.pdf].
  Esercizi assegnati: [GE]: cap 2, par 3 e 4.

• Lezioni 15 e 16 [18/10/17] Potenze con esponente intero. Teorema di ricorrenza (solo enunciato). Disuguaglianza di Bernoulli. Definizione di n!
  [ AM110-7.pdf].

• Lezioni 17 e 18 [23/10/17] Somma geometrica e differenza di potenze ennesime. Definizione di radice ennesima di un numero non negativo e teorema sulla sua proprietà fondamentale.
  [ AM110-8.pdf].
  Esercizi assegnati: Svolgere Es2.20.21.21_G3.pdf [ risposte ]

• Lezione 19 [25/10/17] Potenze con esponente razionali.
  [ AM110-9.pdf].
  Esercizi assegnati: Svolgere tutti gli esercizi di AM110-9.pdf inclusi gli esercizi della sezione 9 "Complementi".

• Lezioni 20 e 21 [27/10/17] Il sistema reale esteso. Intervalli, intorni, punti interni, punti isolati, punti di accumulazione.
  [ AM110-10.pdf].
  Esercizi assegnati: Trovare l'interno, i punti isolati e il derivato degli insiemi dati negli esercizi da 94 a 103 in [GE, cap 2, par 8].

• Lezioni 22 e 23 [30/10/17] Definizione generale di limite. Unicità del limite. Teorema di permanenza del segno e teorema del confronto.
  [ AM110-11.pdf].

• Lezioni 24 e 25 [31/10/17] Limiti laterali e funzioni monotone.
  [ AM110-12.pdf].

• Lezioni 26 e 27 [13/11/17] Algebra dei limiti.
  [ AM110-13.pdf].
  Esercizi assegnati: [D]: da 181 a 215. [GE]: Cap 3: 1,2,3,4, 13, 14, 15, 16.

• Lezioni 28 e 29 [15/11/17] Definizione di continuità. Limiti di funzioni composte e inverse.
  [ AM110-14.pdf].

• Lezioni 30 e 31 [17/11/17] Teorema ponte. Definizione del numero di Nepero e. Definizione delle funzioni esponenziali a^x (x reale).
  [ AM110-15.pdf].

• Lezioni 32 e 33 [22/11/17] Proprietà degli esponeziali e delle potenze reali. Definizione e proprietà dei logaritmi.
  [ AM110-16.pdf].
  Esercizi assegnati: Completare le dimostrazioni delle Proposizioni nelle dispense (in particolare fare gli esercizi 3.1 e 4.1)

• Lezione 34 [24/11/17] Limiti notevoli relativi alle funzioni esponenziali.
  [ AM110-17.pdf].
  Esercizi assegnati: Es Dimostrare che per ogni n si ha:
  (n/e)ⁿ < n! ≤ (n/e)ⁿ e n
  (e che per n ≥ 2 vale la disuguaglianza stretta).
  [D] (sostituire, dove compaiono le funzioni trigonometriche con quelle iperboliche): 174, 175, 181-215, 217, 218, 233-235, 237, 239-270.
  [G](sostituire, dove compaiono le funzioni trigonometriche con quelle iperboliche): Cap 3: 21-79. Cap 5: 87-94, 99, 100, 102, 103, 105, 108-117, 120, 122, 123, 125-136

• Lezioni 35 e 36 [27/11/17] Serie numeriche: definizioni e proprietà elementari. Esempi.
  [ AM110-18.pdf].

• Lezioni 37 e 38 [29/11/17] Criteri di convergenza per serie a termini positivi.
  [ AM110-19.pdf].
  Esercizi assegnati (sostituire, dove compaiono le funzioni trigonometriche con quelle iperboliche): [D] 2450-2469. [GE] Cap. 4, Es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 17, 18.

• Lezioni 39 e 40 [1/12/17] Criteri di Abel-Dirichlet e Leibnitz per serie reali. Serie espoenziale. Irrazionalità di e.
  Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue.
  [ AM110-20.pdf].
  Esercizi assegnati [D]: 2510-2559 (tranne quelle in cui appaiono le funzioni trigonometriche).
  [GE]: Cap. 4 Es 19-58 (tranne quelle in cui appaiono le funzioni trigonometriche).

• Lezioni 41 e 42 [4/12/17] Teoremi dei valori intermedi per funzioni continue. Classificazione delle discontinuità.
  Definizione delle serie trigonometriche (seno e coseno). Calcolo di cos 2 (a meno di 10^-3). Comportamento delle funzioni trigonometriche vicino a 0. Serie iterate. Teorema di addizione del coseno.
  [ AM110-21.pdf].

• Lezioni 43 e 44 [6/12/17] Definizione analitica di pi greco. Properietà del seno e coseno. Definizione di tangente e cotangente e funzioni trigonometriche inverse.
  [ AM110-22.pdf].
  Esercizi assegnati Tutti gli esercizi su [D] e [GE] su limiti e serie che contengono funzioni trigonometriche.
  Esercizi sulla continuità: [D]: 314-331. [GE, cap 5]: 171-183.

• Lezioni 45 e 46 [11/12/17] Sottosuccesioni. Teorema di Bolzano--Weierstrass. Massimo e minimo limite.
  [ AM110-23.pdf].
  Esercizi assegnati [GE, cap 3]: 96-110.

• Lezioni 47 e 48 [13/12/17] Successioni di Cauchy. Topologia standard di R.
  [ AM110-24.pdf].

• Lezioni 49 e 50 [15/12/17] Caratterizzazione della chiusura e della frontiera. Insiemi compatti per successioni e loro proprietà. Continuità topologica. Funzioni continue su compatti e teorema di Weierstrass.
  [ AM110-25.pdf].
  Esercizi assegnati [GE, cap 2]: 94-110.

• Lezioni 51 e 52 [18/12/17] Continuità di funzioni inverse.
  [ AM110-26.pdf].
  Esercizi assegnati Esercizi su trasformazioni di intervalli

• Lezione 53 [20/12/17] Funzioni uniformemente continue.
  [ AM110-27.pdf].
  Esercizi assegnati [GE, cap 5]: 184-204.

Diario delle esercitazioni ( le parti in corsivo sono di teoria )
• Esercitazioni 1 e 2 [26/9/16] Insiemistica: Par. 1.1, 1.2 e 1.3 di [G3] (scaricare il file insiemi_G3.pdf ).
  Esercizi svolti: 1.3, 1.4 di [G3].

• Esercitazioni 3 e 4 [3/10/17] Svolgimento di esercizi assegnati ([O]).

• Esercitazione 5 [5/10/17] Svolgimento di esercizi sul valore assoluto da [G3, sez 2.9].

• Esercitazioni 6 e 7 [10/10/17] Svolgimento degli esercizi delle dispense.

• Esercitazioni 8 e 9 [17/10/17] Esercizi da [GE] su sup e inf. Esercizio 5.2 da AM110-5.pdf.

• Esercitazione 10 [19/10/17] Esercizi su sup e inf e induzione.

• Esercitazioni 11 e 12 [24/10/17] Esercizi su sup e inf e induzione.

• Esercitazione 13 [25/10/17] Esercizi svolti a richiesta.

• Esercitazione 14 [26/10/17] Esercizi svolti a richiesta.

• Esercitazione 15 [2/11/17] Esercizi svolti su intorni, punti interni, punti d'accumulazione.

• Esercitazione 16 e 17 [3/11/17] Esercizi sulla definizione di limite.

• Esercitazione 18 e 19 [14/11/17] Limiti notevoli della forma aⁿ/n^p. Continuità delle potenze razionali x -> x^r.
  Esercizi sul calcolo dei limiti.

• Esercitazione 20 [15/11/17] Limiti notevoli della forma: a^1/n, nⁿ ed esercizi su calcolo dei limit.

• Esercitazioni 21 e 22 [21/11/17] Esercizi su limiti della forma (1+a_n)^b_n con a_n -> 0 e b_n -> ∞. Funzioni iperboliche.

• Esercitazione 23 [23/11/17] Funzioni iperboliche inverse. Momotonia delle funzioni iperboliche. Esercizi sui limiti di successioni.

• Esercitazione 24 [24/11/17] Esercizi sui limiti da [D].

• Esercitazioni 25 e 26 [28/11/17] Esercizi su limiti e serie.

• Esercitazione 27 [30/11/17] Coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton. Esercizi su limiti e serie.

• Esercitazioni 28 e 29 [5/12/17] Esercizi su limiti e serie.

• Esercitazione 30 [7/12/17] Esercizi su serie.

• Esercitazioni 31 e 32 [12/12/17] Esercizi su limiti e serie.

• Esercitazione 33 [14/12/17] Esercizi di topologia.

• Esercitazioni 34 e 35 [19/12/17] Esercizi di topologia e esercizi su limiti e serie da [GE] e [D].

• Esercitazione 36 [20/12/17] Esercizi da [GE] su funzioni uniformemente continue.

• Esercitazione 37 [21/12/17] Esercizi da [GE] e [D] su serie contenenti parametri. Esercizi da [GE] su funzioni uniformemente continue.

Esoneri ed esami

Esonero 1 : 7/11/17; 9:00-11:00, aula B3.
Testo con soluzione Es 10

Esonero 2 : 8/1/18; 15:00-17:00, aula B3.
Testo


Appello A : 16/1/18; 9:00, aula B3.
Testo


Appello B : 12/2/18; 9:00, aula B3.
Testo

Appello C : 20/6/18; 15:00, aula 009.
Testo

Appello X : 3/9/18; 9:00, aula B3.
Testo

Testi consigliati
[O] John M.H. Olmsted The Real Number System , 1962, 216 pages
[G2] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991 (edizione fuori commercio; Libreria Efesto )
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010

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Altri testi
[G3] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002
[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991 (edizione fuori commercio)
[B] Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica - McGraw-Hill (2011) - piattaforma Connect (esercizi a scelta multipla)

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it