AM120-Analisi Matematica 2 (CdL Mat, 9 cfu, cod: 20410388)
Analisi Matematica I, Mod. 2 (CdL Fis, 6 cfu, cod: 20410616)

AA 2021-2022 - II Semestre

DOCENTI: Prof. Luigi Chierchia , Dr.ssa Sabina Angeloni

TUTORI: Dr.ssa Sabina Angeloni, Dr. Matteo Romoli

Indice

Avvisi

Orario delle lezioni/esercitazioni

Informazioni generali (incluso modalità di prenotazione posto in aula; istruzioni per seguire in remoto, etc)

Informazioni sul corso

Diario delle lezioni/esercitazioni

Canale Teams (include registrazioni delle lezioni/esercitazioni)

Testi consigliati

Programma del corso

Program of the course

Esoneri ed esami

Esercizi Corso di Recupero AM110

AVVISI

[24/8/22] ATTENZIONE: Lo scritto dell'Appello C del 31/8/22 si terrà dalle 15:30 alle 18:30 in aula M1 (e non la mattina come precedentemente annunciato).
[24/8/22] Per chi non avesse superato AM110 vedi qui .
[6/6/22] I giorni 9/6 (14-16) e 13/6 (9-11) su Teams si terrà un ricevimento virtuale in preparazione dell'appello C di AM110 del 14/6/22 a cura della Dr.ssa Angeloni
[2/6/22] In vista dell'appello C di AM110 del 14/6/22 riprendono le lezioni del corso di recupero fatte dalla Dr.ssa Sabina Angeloni con il seguente calendario:
lunedì 06/6, ore 16-18, aula M2
martedì 07/6, ore 16-18, aula M2
mercoledì 08/6, ore 16-18, aula M2
venerdì 10/6, ore 16-18, aula M2
[2/5/22] Il secondo esonero (9/6/22), così come gli scritti degli appelli successivi, saranno articolati come segue:
6 esercizi: Es1 [30 pt] serie con parametri; Es2 [10 pt] sottosuccessioni (max/min lim); Es3 [10 pt] uniforme continuità; Es4 [10 pt] formula di Taylor; Es5 [20 pt] limiti con Hopital/Taylor; Es6 [20 pt] integrali impropri.
Potrà fare il secondo esonero anche chi è risultato insufficiente (o non ha partecipato) al primo esonero. Chi ha superato il primo esonero può scegliere se fare solo la seconda parte (Es4,5,6) oppure fare tutto l'esonero (annullando, in questo caso, il primo).
[27/5/22] Martedì (alle 12) e mercoledì si svolgeranno simulazioni dei test scritti.
[17/4/22] Come anticipato, il primo esonero verterà su parti "teoriche" (fino a funzioni uniformemente continue incluse) e parti più applicative (esercizi principalmente su serie con parametri e successioni con massimo/minimo limite; escluse funzioni uniformemente continue). Chi deve recuperare AM120 (vecchi ordinamenti) non deve sostenere questo esonero, ma può sostenere il secondo esonero. Arrivare verso le 8:45 per poter cominciare l'esame alle 9. Matematici in aula M1 (9-12). Fisici in aula M2 (9-11).
[17/3/22] Il primo esonero si svolgerà il 21/4/22 (9-12 matematici; 9-11 fisici).
[4/4/22] Il corso di recupero di AM110 viene sospeso a partire da oggi 4/4/22. Il corso riprenderà nelle due settimane prima degli appelli di AM110 del 14/6/22 e del 14/9/22 (con orario da definire).
[13/3/22] Sono iniziate le lezioni del Corso di recupero di AM110:
SI RACCOMANDA A TUTTI COLORO CHE DEVONO SOSTENERE AM110 DI SEGUIRE LE LEZIONI
[21/3/22] A causa della Giornata di vita Universitaria domani 22/3/22 le aule M1 e M2 saranno occupate dalle 9 alle 13. Pertanto, la lezione di domani si terrà a distanza.
[9/3/22] Il tutorato per fisici dalla settimana prossima si terrà assieme a quello per matematici (aula M1 14-16).
[8/3/22] ATTENZIONE: la lezione di oggi è cancellata. Le lezioni riprenderanno regolarmente domani secondo l'orario già comunicato.
[7/3/22] Nell'Osservazione 2.52 a pag. 96 e 97 di [C] ci sono vari errori di stampa: vedere Aggiornamenti Errata-Corrige [7 Marzo, 2022]
[6/3/22] Il corso di recupero per AM110-Analisi matematica I mod comincerà giovedì 10/3/22 e si terrà tutti i lunedì e giovedì in aula M1 dalle 12 alle 14.
Il tutorato comincerà mercoledì 9/3/22.
Da lunedì 7/3/22 l'orario delle lezioni/esercitazioni sarà: lunedì (8-10), martedì (12-14), mercoledì (8-10), venerdì (8-10).
[25/2/22] Fino a nuovo avviso, l'orario delle lezioni rimane quello attuale.
[25/2/22] L'orario di ricevimento è mercoledì 17:30-19:30 (per il ricevimento è necessaria la prenotazione tramite mail almeno un giorno prima).
[17/2/22] Il corso comincerà il 21/2/22 (aula M1, ore 8:00). Il tutorato comincerà mercoledì 9/3/22

Orario delle lezioni/esercitazioni

Informazioni generali sul corso

Obiettivi formativi generali
Acquisire una buona conoscenza dei teoremi principali dell'Analisi Matematica su R e delle relative tecniche di dimostrazione. In particolare, verranno riprese tutte le definizioni introdotte nel primo semestre e verranno dimostrati tutti i risultati enunciati nel primo semestre (cfr. parti in rosso sugli appunti di AM110)
Il corso avrà un carattere sostanzialmente teorico. Gli esercizi saranno sia di tipo teorico (presi principalmente da [C], [R] e [GE]) sia di carattere più applicativo (principalmente su: serie contenenti parametri reali, integrali generalizzati o impropri, polinomi e serie di Taylor e loro uso nel calcolo di limiti, uniforme continuità).
Organizzazione del corso
Date le caratteristiche del corso, non ci sarà una distinzione formale tra lezioni ed esercitazioni (gli esercizi verranno discussi contestualmente alle lezioni).
Le lezioni/esercitazioni verranno svolte alla lavagna e registrate sulla piattaforma Teams.
Differenziazione dei percorsi nei due corsi di laurea
L'esame per il CdL in Matematica è da 9 cfu, quello per il CdL in Fisica da 6 cfu: la differenza in crediti verrà rispecchiata dai diversi programmi da portare all'esame: il numero di dimostrazioni da portare all'orale per i fisici sarà circa 2/3 di quello per i matematici. Anche durata e contenuti dei test scritti rispetteranno la stessa proporzione; i test scritti per i fisici dureranno 2 ore, quelli per matematici 3 ore. Non vi sarà invece alcuna differenza a livello di frequenza.
Tutorato
Il tutorato va inteso come un "luogo" dove studiare (teoria ed esercizi), avendo a disposizione i tutori a cui chiedere eventualmente suggerimenti e chiarimenti.
Il tutorato (per matematici e fisici) avrà luogo mercoledì (14-16) in Aula M1.
Modalità d'esame
L'esame consiste in un test scritto ed un colloquio orale. In ogni appello (A, B, C ed X) ci sarà uno scritto e un orale.
Per svolgere il colloquio orale è necessario superare il test scritto.
Durante le lezioni (e quindi prima dell'appello A) ci saranno due "esoneri": il superamento degli esoneri equivale a superare il test scritto.
Superati esoneri o scritto degli appelli A o B, è possibile sostenere l'orale sia nell'appello A sia nell'appello B. Per gli appelli C e X, gli scritti e l'orale vanno tenuti contestualmente (in altri termini, non si può sostenere l'orale nell'appello successivo a quello in cui si è superato lo scritto).
Il test scritto verterà sulla parte teorica (definizioni, enunciati, sintesi di dimostrazioni) e su una parte "applicativa" (serie contenenti parametri reali, integrali generalizzati o impropri, polinomi e serie di Taylor e loro uso nel calcolo di limiti, uniforme continuità).
Modalità d'esame per iscritti all'AA 2020-21 e AA precedenti
Vedi qui

Diario delle lezioni/esercitazioni

^**

Lezioni 1 e 2 [21/2/22] Gli assiomi dei numeri reali. Unicità degli elementi neutri. Unicità di opposto e reciproco. Teorema: 0 ∙ x= 0 , per ogni x in R [vedi par 1.2 e 1.3].
Lezioni 3 e 4 [21/2/22] Teorema^*: 1 > 0 [Proposizione 1.11, (v)]. Valore assoluto e sue proprietà [par 1.3.1, da (i) a (v); (vi)^*].
Lezioni 5 e 6 [22/2/22] Le funzioni segno e parte positiva/negativa. Definizione di N, Z e Q. "Principio di induzione" (Proposizione 1.22). Proposizione 1.24. Proposizione 1.25^*. Teorema di ricorsione^** e definizioni ricorsive [par 1.4.3].
Lezioni 7 e 8 [23/2/22] Sottrazione in N (Corollario 1.26^**) e "principio del minimo" (Proposizione 1.28^**). Disuguaglianza di Bernoulli (Lemma 1.38). Somme geometriche (Proposizioni 1.39 e 1.40). Potenze con esponente in Z: Proposizione 1.66^*
Esercizi assegnati: Da [C]: Es 1.5, 1.6, 1.7, 1.11, 1.12, 1.13, 1.16, 1.17, 1.18 (!), 1.28 (!), 1.29.
Lezioni 9 e 10 [24/2/22] Estremo superiore e inferiore [par 1.6, tutto]. Proposizione 1.95 e 1.97 (proprietà archimedea). Parte intera e parte frazionaria di un numero reale. Densità dei razionali in R. [par 1.7 tutto]
Esercizi assegnati: Da [C]: 1.35, 1.36, 1.39, 1.40.
Lezioni 11 e 12 [25/2/22] Teorema sull'esistenza ed unicità delle radici ennesime (Teorema 1.103^*). Potenze con esponente razionale e loro proprietà (Proposizione 1.111).
Esercizi assegnati Da [C]: 1.43, 1.45, 1.47, 1.48, 1.49, 1.50, 1.51.
Lezioni 13 e 14 [28/2/22] Definizioni di: retta estesa, intervallo, intorno, punti interni, punti isolati, punti d'accumulazione. [par 2.1, 2.2, 2.3]
Esercizi assegnati Da [C]: Es da 2.1 a 2.6.
Lezioni 15 e 16 [28/2/22] Svolgimento di esercizi da [C] (Es 2.4 e 2.6). Definizione generale di limite. Teorema di permanenza del segno. Proposizione 2.17.
Esercizi assegnati Da [C]: Es 2.7, 2.9, 2.10, 2.11.
Lezioni 17 e 18 [1/3/22] Teorema 2.18 del confronto. Limiti laterali ed esistenza dei limiti laterali per funzioni monotòne [par 2.5].
Dimostrazione per induzione della formula del binomio di Newton [Proposizione 1.44]
Esercizi assegnati: Da [C]: Es 2.12, 2.13, 2.14.
Lezioni 19 e 20 [2/3/22] Algebra dei limiti [par 2.6 tutto; Proposizione 2.25^*]
Alcuni limiti notevoli [par 2.7.1]
Esercizi assegnati Da [C]: Es 2.15, 2/16.
Lezioni 21 e 22 [3/3/22] Lemma 2.36^*. Definizione di e (numero di Nepero).
Lemma: per ogni n ∈ N si ha: e (n/e)ⁿ ≤ n! ≤ e n (n/e)ⁿ; per n > 1, le disuguaglianze sono strette. [par 2.7.2]
Caratterizzazione di sup/inf tramite successioni. Teorema ponte. [par 2.7.3]
Esercizi assegnati: Da [C]: Es 2.18, 2.19, 2.22, 2.23.
Lezioni 23 e 24 [4/3/22] Funzioni continue: definizione (ed equivalenza con ε e δ). Teorema di permanenza del segno per funzioni continue. Continuità di x^r con r razionale positivo su [0,+∞). Teorema di esistenza del "primo zero" per funzioni continue su intervalli. Teorema dei valori intermedi. Dimostrazione algoritmica del teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue su intervalli. [par 2.8].
Esercizi assegnati: Da [C]: Es 2.26.
Es: sia f: A:=Q\{0} così definita: se x=p/q con q∈ N e p e q primi tra loro, allora f(x)=q. Allora, per ogni x ∈ A, f tende a +∞ per x che tende a y.
Lezioni 25 e 26 [7/3/22] Teorema dei valori intermedi per funzioni continue. Le funzioni continue trasformano intervalli in intervalli. Nuova dimostrazione dell'esistenza delle radici ennesime. Discontinuità. [par 2.8 tutto].
Limiti per funzioni composte^* [par 2.9].
Esercizi assegnati Da [C]: Es 2.27.
Lezioni 27 e 28 [9/3/22] Lemma 3.1^*, Definizione di funzioni esponenziali, Proposizione 3.4^* (proprietà degli esponenziali). [par 3.1]
Lezioni 29 e 30 [11/3/22] Osservazione sulle potenze reali (fine paragrafo 3.1), Limiti per funzioni inverse (Proposizione 2.64), Continuità per funzioni inverse: Teorema^* Una funzione strettamente monotona definita su un intervallo reale ha inversa continua (dimostrazione)
Proposizione 2.68^*.
Lezioni 31 e 32 [14/3/22] Logaritmi: definizione e proprietà (Proposizione 3.8), Funzioni iperboliche e proprietà (Proposizione 3.10), Funzioni iperboliche inverse, Limiti notevoli di esponenziali e logaritmi [Par. 3.5 fino al punto (e)].
Esercizi svolti in classe: Es 3.3, 3.5 da [C]
Lezioni 33 e 34 [15/3/22] Limiti notevoli di esponenziali e logaritmi (da (f) a (k)). Introduzione alle serie numeriche ed esempi [Par. 4.1].
Esercizi svolti in classe: Es 3.8, 4.1, 4.4 da [C].
Lezioni 35 e 36 [16/3/22] Definizioni e prime proprietà delle serie (Proposizione 4.8), Criterio del confronto per serie a termini positivi (Proposizione 4.21).
Esercizi svolti in classe: Es da [AB]: 3.64, 3.67.
Lezioni 37 e 38 [18/3/22] Criterio della radice (Proposizione 4.22), Criterio del rapporto (Proposizione 4.25), Criterio di condensazione (Proposizione 4.28^*) ed Esempi [Par. 4.3].
Esercizi svolti: 5.8, 5.11 da [B]
Esercizi assegnati: 4.6, 4.7, 4.8 da [C]
Lezioni 39 e 40 [21/3/22]
Esercizi svolti da [AB]: 3.51, 3.52, 3.54.
Esercizi svolti da [B]: 5.1-5.7, 5.9, 5.10, 5.12-5.14, 5.17, 5.37, 5.41.
Esercizi assegnati da [B]: 5.15, 5.16, 5.18, 5.29, 5.31, 5.32, 5.34, 5.36, 5.39, 5.40.
Lezioni 41 e 42 [22/3/22]
Esercizi svolti da [AB]: 3.53, 3.55-3.61. Esercizi svolti da [GE]: 21, 28, 32, 40, 54 (capitolo 4).
Lezioni 43 e 44 [23/3/22]
Somma per parti^* e Criterio di Abel-Dirichlet^*, Criterio di Leibniz [Par. 4.4]
Esercizi svolti da [AB]: 3.63, 3.68, 3.81.
Esercizi assegnati da [C]: 4.9.
Lezioni 45 e 46 [25/3/22]
Definizione serie esponenziale, Teorema 5.3. Identità per il seno e il coseno iperbolico. Code della serie esponenziale e stime (Proposizione 5.4^*). Irrazionalità del numero di Nepero (Teorema 5.5).
Esercizi svolti da [AB]: 3.104.
Lezioni 47 e 48 [28/3/22]
Insiemi finiti e infiniti [par 1.4.4 tutto; senza dimostrazioni tranne: N è infinito (due dimostrazioni) e numerabilità di Q]. Sottosuccessioni (successioni estratte). Teoremi di Bolzano-Weierstrass ( file ).
Esercizi assegnati da [C]: Es 6.1, 6.2, 6.4.
Lezioni 49 e 50 [29/3/22] Esercizi su serie
Lezioni 51 e 52 [30/3/22] Fine dimostrazioni dei vari enunciati del teorema di Bolzano-Weierstrass. Lemma 6.7^* e definizione di massimo e minimo limite. Esempi. Una successione il cui insieme dei possibili limiti è R^*.
Esercizi assegnati da [GE]: cap 3 da 96 a 110.
Lezioni 53 e 54 [1/4/22] Svolgimento degli Es 96-103 [GE, cap 3].
Definizione 6.12 ("definizioni alternative di massimo e minimo limite").
Lezioni 55 e 56 [4/4/22] Proposizione 6.14^*. Successioni di Cauchy [par 6.2 tutto].
Esercizi assegnati: Esercizi su limsup e liminf
Lezioni 57 e 58 [5/4/22] Esercizi su massimo e minimo limite
Lezioni 59 e 60 [6/4/22] Insiemi aperti e insiemi chiusi (topologia standard di R). Caratterizzazione degli insiemi chusi tramite successioni [Lemma 6.23 e Proposizione 6.24]. Insiemi compatti per successioni; un sottoinsime di R è compatto se e solo se è chiuso e limitato [par 6.3.2].
Esercizi assegnati: [C] Es 6.9.
Es Sia I_n= [1/n - 1/4ⁿ, 1/n + 1/4ⁿ]; E₁=∪ I_n (unione fatta su n∈ N); E₂=E₁ ∪ {0}. Dimostrare: (i) E_n ∩ E_m=∅ , per ogni n≠m. (ii) E₁ non è né chiuso né aperto; (iii) E₂ è chiuso.
Lezioni 61 e 62 [8/4/22] Proposizione 6.33, Proposizione 6.39, Teorema di Weierstrass (Teorema 6.41), Definizione di funzione uniformemente continua, holderiana e lipschitziana, Esempio di funzione continua ma non uniformemente continua, Teorema di Heine-Cantor (Teorema 6.47^*). Proprietà delle funzioni uniformemente continue (Proposizione 6.48^* e 6.49^*).
Lezioni 63 e 64 [26/4/22] Regole di derivazione [Par 7.2, Proposizione 7.10, 7.11^*, 7.12^*]
Esercizi assegnati: [C] Es 7.4.
Lezioni 65 e 66 [27/4/22] Teoremi elemntari sulle derivate [par 7.3 tutto]
Esercizi assegnati: [C] Es 7.5(!!), 7.6 (!), 7.7, 7.8.
Lezioni 67 e 68 [29/4/22] Teorema di Bernoulli-Hopital. Polinomio e resto di Taylor. Lemma di Taylor e teorema di Peano^* [ scarica file ].
Esercizi assegnati: Es 7 e 8 dal sito esercizi (Prof. Isola, Torvergata)
Esercizi paragrafi 6,7 e 8 di [GE].
Svolgere gli esercizi del file .
Lezioni 69 e 70 [2/5/22] Formula di Taylor con resto di Lagrange^*. Unicità del polinomio di Taylor^**. [ vedi file ]
Esercizio: Sia f(x)=x-x²+x³ √x. Dimostrare che f è derivabile due volte in 0, è C^∞ su R\{0} ma che f non è derivabile tre volte in 0.
Lezioni 71 e 72 [4/5/22] Convessità per funzioni differenziabili [ file ]. Esercizi vari da [GE].
Lezioni 73 e 74 [6/5/22] Integrale di Riemann: definizioni e primo criterio di integrabilità [par 8.1.1, Lemma 8.3; par 8.1.2]
Lezioni 75 e 76 [9/5/22] Oscillazione di una funzione e riformulazione del primo criterio di integrabilità. Proprietà dell'integrale di Riemann. [Proposizione 8.11^*, Osservazione 8.13, formula (8.29)].
Lezioni 77 e 78 [13/5/22] Definizione di area; calcolo dell'area del cerchio unitario [par 8.4]. Integrabilità delle funzioni continue e limitate e delle funzioni monotone e limitate [par 8.1.4; par 8.1.5].
Esercizi sulla formula di Taylor da [GE].
Lezioni 79 e 80 [16/5/22] Definizione di integrale tra a e b [Osservazione 8.13]. Teorema fondamentale del calcolo [par 8.2].
Lezioni 81 e 82 [17/5/22] Esercizi (uniforme continuità, Taylor, limiti)
Lezioni 83 e 84 [18/5/22] Integrazione per parti e cambio di variabile negli integrali definiti [par 8.2.1, 8.2.2]. Funzioni C^∞ a supporto compatto.
Lezioni 85 e 86 [20/5/22] Integrali generalizzati (impropri). Criteri di integrabilità (convergenza) [par 8.3.2].
Lezioni 87 e 88 [23/5/22] Teoria analitica delle funzioni trigonometriche: proprietà fondamentali e conseguenze del teorema di addizione del coseno [cfr par 5.2 (per le derivate di seno e coseno, vedi (7.12) e (7.13); per la dimostrazione che cos 2 < -1/3 vedi file )].
Lezioni 89 e 90 [25/5/22] Teorema di Fubini discreto; dimostrazione del teorema di addizione per il coseno [Proposizione 5.11^*, Teorema 5.10^*].
Lezioni 91 e 92 [25/5/22] Esercizi (Taylor, limiti)
Lezioni 93 e 94 [27/5/22] Discussione di esercizi.
Lezioni 95 e 96 [30/5/22] Discussione di esercizi.
Lezioni 97 e 98 [31/5/22] Simulazione della prima parte dello scritto e soluzioni alla lavagna.
Lezioni 99 e 100 [1/6/22] Simulazione della seconda parte dello scritto e soluzioni alla lavagna.
Lezioni 101 e 102 [3/6/22] Discussione di esercizi.

Esoneri ed esami

Esonero 1: 21/4/22
Testo con soluzioni

Esonero 2: 9/6/22 ore 14:30
Testo con soluzioni

Appello A : 20/6/22 ore 15
Testo con soluzioni

Appello B : 12/7/22 ore 9
Testo con soluzioni

Appello C : 31/8/22 ore 15:30 Aula M1
Testo con soluzioni

Appello X : 16/1/23 ore 9:00
Testo con soluzioni

Testi consigliati

[C] Chierchia, L.: Corso di analisi, prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; McGraw-Hill, 2019, 390 pagine

[R] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw Hill, 1976

Esercizi

[AB] Amar, M.; Bersani, A.: Analisi Matematica I, Esercizi e richiami di teoria, LaDotta, 2013

[B] Bramanti, M.: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 Esculapio, 2011

[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000

Testi esercizi corso di recupero
Per lo svolgimento vedi registrazioni su Teams
L'asterisco significa qui che gli esercizi sono assegnati (e non svolti in classe)

Lezione5_240322

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi.chierchia@uniroma3.it