AM120-Analisi Matematica 2 (CdL Mat, 9 cfu)
Analisi Matematica I, Mod. 2 (CdL Fis, 6 cfu)

AA 2025-2026 - II Semestre

DOCENTI: Proff. Luigi Chierchia , Roberto Feola

TUTORI: Ruben Bottini, Leonardo Loepp

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni
Ricevimento
Informazioni generali
Informazioni sul corso
Testi consigliati. Esercizi in rete
sito web di AM120 - AA 2024/25
sito web di AM110 - AA 2025/26
Diario delle lezioni
Esoneri ed esami

AVVISI

• [10/3/26] Lunedì 23/3/26 la didattica è sospesa al fine di favorire l'esercizio del diritto di voto in occasione della consultazione referendaria [ Decreto Rettorale ].

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• [25/2/26] Il tutotorato comincerà giovedì 5/3/2026.
• [8/2/26] Le lezioni cominceranno lunedì 23/2/26 come da orario ufficiale; l'inizio del tutorato verrà comunicarto in seguito.

Ricevimento
Il Prof Chierchia riceve dopo le sue lezioni in aula M1 o per appuntamento (previa prenotazione via mail )

Informazioni generali sul corso
• Programmi sintetici di AM110 e AM120
  
  AM110: Assiomatica di ℝ e suoi sottoinsiemi principali. Teoria dei limiti (successioni e funzioni). Continuità, derivabilità e grafici. Calcolo di primitive.
  AM120: Serie. Formule e serie di Taylor. Integrale di Riemann. Topologia euclidea.

• Obiettivi formativi generali
  Acquisire una buona conoscenza dei teoremi principali dell'Analisi Matematica su ℝ e delle relative tecniche di dimostrazione
  
  
• Differenziazione dei percorsi nei due corsi di laurea
  L'esame per il CdL in Matematica è da 9 cfu, quello per il CdL in Fisica da 6 cfu: la differenza in crediti è dovuta ai diversi programmi da portare all'esame: il numero di dimostrazioni da portare all'orale per i fisici è circa 2/3 di quello per i matematici. Gli esami scritti sono in comune e non vi è alcuna differenza a livello di frequenza.
  
  
• Tutorato
  Il tutorato va inteso come "luogo" dove studiare (teoria ed esercizi), avendo a disposizione i tutori a cui chiedere eventualmente suggerimenti e chiarimenti.
  
  
• Modalità d'esame
  L'esame consiste in un test scritto ed un colloquio orale. In ogni appello d'esame (A, B,...) ci sarà uno scritto e un orale.
  Per svolgere il colloquio orale è necessario superare il test scritto.
  Durante le lezioni (e quindi prima dell'appello A) ci saranno due "esoneri": il superamento degli esoneri equivale a superare il test scritto.
  Superati esoneri o scritto degli appelli A o B, è possibile sostenere l'orale sia nell'appello A sia nell'appello B. Per gli appelli successivi (da C in poi) gli scritti e l'orale vanno sostenuti contestualmente (in altri termini, non si può sostenere l'orale nell'appello successivo a quello in cui si è superato lo scritto).
  
  
• Modalità d'esame per gli iscritti all'AA 2023-24 e AA precedenti
  Chi ha già sostenuto AM110 nell'AA 2023-24 o precedenti, dovrà superare lo scritto (esoneri o appelli) di questo anno AA, mentre l'orale verterà sul programma dell'anno AA in cui ha superato AM110.
  Chi non ha sostenuto né AM110 né AM120 può optare per il nuovo ordinamento o richiedere le modalità del relativo anno di immatricolazione (in tal caso il docente va avvertito tempestivamente).
  In ogni caso, è necessario che gli iscritti all'AA 2023-24 e AA precedenti comunichino tramite mail, prima del test scritto, la propria situazione e quale esame devono sostenere.

Diario delle lezioni/esercitazioni
I riferimenti tra parentesi quadrate sono al testo [C]
^* significa: "dimostrazione facoltativa per i fisici" (NB: l'enunciato invece va saputo da tutti!)
^** significa: "dimostrazione facoltativa per tutti"
(!) in un esercizio significa "esercizio importante" (che può esser discusso all'orale)
• Lezioni 1 e 2 [23/2/26] Definizione di serie. Esempi: serie geometrica; serie di Mengoli; zeta(2); serie armonica; serie logaritmica. Proprietà "facili" delle serie: criterio necessario di Cauchy; le serie a termini positivi o convergono o divergono; linearità di serie convergenti; criterio di convergenza assoluta. [par 5.1, 5.1.1; parte di 5.1.3]
  Esercizi: Es 5.1, 5.2, 5.3.
  Esercizio (!) Dimostrare la (5.6) a p. 178 di [C].

• Lezioni 3 e 4 [24/2/26] Comportamento di serie: proprietà elementari [Proposizione 5.8].
  Criteri di convergenza per serie a termini non negativi: confronto e confronto asintotico; radice; rapporto [vedi par 5.1.4].
  Esercizi: Es 5.4, 5.7, 5.12 (!).
  Esercizi dai seguenti link di [Rm3.xy]: link 1 ; link 2 (Es da 1 a 8); link 3 (Es 2,3, e 4 escluso 4a);

• Lezioni 5 e 6 [25/2/26] Discussione di esercizi [Esercitazione 1] .

• Lezioni 7 e 8 [27/2/26] Discussione di esercizi assegnati incluso Es 5.12 (!).
  Criterio di condensazione di Cauchy^* [p 184 e 185] e applicazioni.

• Lezioni 9 e 10 [2/3/26] Criterio di convergenza di Leibniz [p. 186].
  Discussione di esercizi assegnati.
  Esercizi: da [C]: 2.29 (!), 5.8, 5.9, 5.10, 5.11, 5.16.
  Alcuni esercizi da un testo di E. Giusti .

• Lezioni 11 e 12 [3/3/26] Richiami sulle funzioni iperboliche [par 2.7.3].
  Introduzione alle funzioni trigonometriche. Archi di circonferenza; segmenti, poligonali e loro lunghezza [p.104 e 105].
  Discussione di esercizi assegnati.

• Lezioni 13 e 14 [4/3/26] Discussione di esercizi [Esercitazione 2] .

• Lezioni 15 e 16 [6/3/26] ℝ² come spazio vettoriale: somma di vettori di ℝ² e moltiplicazione per scalari. Norma euclidea e prodotto scalare. Disuguaglianze in ℝ²: disuguaglianza di Cauchy e disuguaglianze triangolari [Lemma 1.93 e Lemma 3.21]. Definizione di lunghezza di un arco di circonferenza tramite estremo superiore dell'insieme delle lunghezze delle poligonali iscritte [p. 104 e 105].
  Discussione di esercizi su serie.
  Esercizi: Svolgere 100-200 esercizi su serie e serie con parametri dai testi/siti riportati qui sotto e dai testi degli esami scritti di AM120 degli anni recenti.

• Lezioni 17 e 18 [9/3/26] Corollario 3.22^*. Funzioni C^∞ [Definizione 3.36]. Enunciato del Lemma 3.26 (l'arcocoseno è C^∞ in [0,1)). Definizione di coseno e seno ristretti a [0,π/2]; derivabilità di seno e coseno in [0,π/2] [Corollario 3.16 e Lemma 3.29].

• Lezioni 19 e 20 [10/3/26] Discussione di esercizi [Esercitazione 3] .

• Lezioni 21 e 22 [11/3/26] Lemma 3.26^* e definizione di seno e coseno su ℝ [p. 107-111 fino a Teorema 3.31 incluso].

• Lezioni 23 e 24 [13/3/26] Limiti notevoli di seno e coseno [NB: per i limiti notevoli non serve l'Hopital: lim sen t /t per t -> 0 è il limite del rapporto incrementale del seno in t=0, e per (1- cos t)/t^2 si usi l'identità (1 - cos t)/t^2= (sen t / t)^2 (1+ cos t)^(-1)].
  Formule di addizione di seno e coseno. Discussione delle funzioni trigonometriche inverse [Completare par 3.2].
  Discussione sull'oscillatore armonico.
  Esercizi: da [C]: 3.7, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12, 3.13.
  Esercizio sull'oscillatore armonico: dimostrare che l'unica soluzione di x"(t)+x(t)=0, x(0)=a, x'(0)=b è data da x(t) = a cos t + b sen t [Suggerimento: per l'unicità si usi la conservazione dell'energia]

• Lezioni 25 e 26 [16/3/26] Simboli di Landau ("o piccolo") [Def 3.52]. Formula di Taylor (teorema di Peano e resto di Lagrange) [Teorema 3.51]. Applicazioni della formula di Taylor con resto di Lagrange: rappresentazione per serie dell'esponenziale, di seno e coseno; discussione della serie di Taylor di log(1+x).

• Lezioni 27 e 28 [17/3/26] Discussione di esercizi [Esercitazione 4] .

• Lezioni 29 e 30 [18/3/26] Lemma 3.50. Dimostrazione Teorema 3.51^* (teorema di Peano e formula di Taylor con resto di Lagrange).
  Esercizi: Es 3.23, 3.24, 3.25.
  Esercizi su limiti con Taylor da [GE].
  Esercizi su limiti con Taylor da TV. (risposte).

• Lezioni 31 e 32 [20/3/26] Definizione di serie di Taylor (di una funzione C^∞) [Definizione 5.25]. Esempio di una funzione C^∞ la cui serie di Taylor non rappresenta la funzione [La ϕ a metà pag 195]. Definizione di serie di potenze [pag 192]. Se lim |a_n|^1/n → θ, allora la serie di potenze ∑ a_n (x - x_o)ⁿ converge assolutamente nell'intervallo |x-x_o|<1/θ e non converge se |x-x_o|>1/θ (con le opportune convenzioni se θ=0 o θ=+∞).

Esoneri ed esami

Esonero 1: 23/4/2026, ore 9:00-11:00 Aule M1, M2

Esonero 2: 8/6/2026, ore 9:30-11:30 Aule M1, M2

Appello A: 18/6/2026, ore 11:00-13:00 Aule M1, M2

Appello B: 24/7/2026, ore 9:30-11:30 Aule M1, M2

Appello X: 4/9/2026, ore 10:00-12:00 Aula M1

Appello D: 19/2/2027, ore 10:00-12:00 Aula M1

Testo consigliato
[C] Chierchia, L.: Analisi su ℝ. Guida ai principi dell'analisi matematica McGraw-Hill, 2025, 250 pagine

Altri testi

[C2019] Chierchia, L.: Corso di analisi, prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su ℝ McGraw-Hill, 2019, 390 pagine
[R] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw Hill, 1976
[O] John M.H. Olmsted The Real Number System , 1962, 216 pages




Esercizi

[Rm3.x] Esercizi@RomaTre.x
[Rm3.y] Esercizi@RomaTre.y
[UTV] Esercizi@Tor Vergata
[AB] Amar, M.; Bersani, A.: Analisi Matematica I, Esercizi e richiami di teoria, LaDotta, 2013
[B] Bramanti, M.: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 Esculapio, 2011
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi.chierchia@uniroma3.it