Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL2 - Algebra 2: Gruppi, Anelli e Campi

a.a. 2016/2017 - I Semestre



Diario delle Lezioni



Settimana 1: Operazioni su un insieme. Elementi simmetrizzabili. Notazione additiva e moltiplicativa. Gruppi, anelli e campi: definizioni e primi esempi. Il gruppo delle unitÓ di un anello. Gruppi di trasformazioni.
Appunti integrativi 1   Esercizi 1

Settimana 2: Isomorfismi di gruppi. Classi di isomorfismo. Gruppi finiti di ordine piccolo. Sottogruppi. Teorema di Lagrange. Gruppi ciclici. Ordine di un elemento e sue proprietÓ.
Esercizi 2

Settimana 3:
Sottogruppi di gruppi ciclici. Un gruppo finito Ŕ ciclico se e soltanto se ha uno e un solo sottogruppo per ogni divisore dell'ordine. Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo Ŕ ciclico. Gruppi diedrali. Relazioni compatibili e strutture quoziente.
Appunti integrativi 2  Esercizi 3
 

Settimana 4: Sottogruppi normali e relazioni compatibili. Gruppi quoziente. Omomorfismi di gruppi e loro prime proprietÓ. Il nucleo di un omomorfismo. Primo Teorema di Omomorfismo per i gruppi. UnicitÓ dei gruppi ciclici, a meno di isomorfismi.
Appunti integrativi 3  Esercizi 4

Settimana 5:
Corrispondenza tra i sottogruppi di un gruppo e quelli di un suo quoziente. Teoremi di Omomorfismo. Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. La relazione di coniugio. Centralizzanti e centro. L'Equazione delle Classi.
Esercizi 5

Settimana 6:
Automorfismi e automorfismi interni. Sottogruppi caratteristici. Il teorema di Cayley.
Esercizi 6


Prima prova di valutazione intermedia  8 Novembre, ore 14


Settimana 7: 
Azioni di gruppi. Orbite e Stabilizzatori. Esempi. Enunciato dei Teoremi di Sylow. Teorema di Cauchy. Sottogruppi di p-gruppi e di gruppi abeliani. La p-componente di un gruppo abeliano. Enunciato del Teorema di Classificazione dei Gruppi Finiti.
Appunti integrativi 4

Settimana 8Anelli. Relazioni di equivalenza compatibili e Ideali. Anelli quoziente. Omomorfismi di anelli. Primo Teorema di Omomorfismo. Operazioni tra ideali. 
Esercizi 7

Settimana 9: Teoremi di isomorfismo per gli anelli. Ideali primi e massimali. Il Teorema Cinese dei Resti per gli anelli. Il campo dei quozienti di un dominio.
Esercizi 8   Esercizi 9
(polinomi)

Settimana 10:
Caratteristica. ProprietÓ aritmetiche nei domini. Domini euclidei. Esempi. Massimo comune divisore. Domini di Bezout.
Appunti integrativi 5     Esercizi 10

Settimana 11
: Domini a ideali principali, loro ideali primi e massimali.  Domini accp e a fattorizzazione unica. Polinomi su domini a fattorizzazione unica. Il Lemma di Gauss.
Appunti integrativi 6    Appunti integrativi 7

Settimana 12: Quozienti di domini a ideali principali ed euclidei. Costruzione di campi finiti.
Esercizi 11

 
Seconda prova di valutazione intermedia: 
10 Gennaio, ore 14