LezioniAL2_16

Settimana 1: Operazioni su un insieme. Elementi simmetrizzabili. Notazione additiva e moltiplicativa. Gruppi, anelli e campi: definizioni e primi esempi. Il gruppo delle unità di un anello. Gruppi di trasformazioni.
Appunti integrativi 1 Esercizi 1

Settimana 2: Isomorfismi di gruppi. Classi di isomorfismo. Gruppi finiti di ordine piccolo. Sottogruppi. Teorema di Lagrange. Gruppi ciclici. Ordine di un elemento e sue proprietà.
Esercizi 2

Settimana 3: Sottogruppi di gruppi ciclici. Un gruppo finito è ciclico se e soltanto se ha uno e un solo sottogruppo per ogni divisore dell'ordine. Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico. Gruppi diedrali. Relazioni compatibili e strutture quoziente.
Appunti integrativi 2 Esercizi 3

Settimana 4: Sottogruppi normali e relazioni compatibili. Gruppi quoziente. Omomorfismi di gruppi e loro prime proprietà. Il nucleo di un omomorfismo. Primo Teorema di Omomorfismo per i gruppi. Unicità dei gruppi ciclici, a meno di isomorfismi.
Appunti integrativi 3 Esercizi 4

Settimana 5: Corrispondenza tra i sottogruppi di un gruppo e quelli di un suo quoziente. Teoremi di Omomorfismo. Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. La relazione di coniugio. Centralizzanti e centro. L'Equazione delle Classi.
Esercizi 5

Settimana 6: Automorfismi e automorfismi interni. Sottogruppi caratteristici. Il teorema di Cayley.
Esercizi 6

Prima prova di valutazione intermedia 8 Novembre, ore 14

Settimana 7: Azioni di gruppi. Orbite e Stabilizzatori. Esempi. Enunciato dei Teoremi di Sylow. Teorema di Cauchy. Sottogruppi di p-gruppi e di gruppi abeliani. La p-componente di un gruppo abeliano. Enunciato del Teorema di Classificazione dei Gruppi Finiti.
Appunti integrativi 4

Settimana 8: Anelli. Relazioni di equivalenza compatibili e Ideali. Anelli quoziente. Omomorfismi di anelli. Primo Teorema di Omomorfismo. Operazioni tra ideali.
Esercizi 7

Settimana 9: Teoremi di isomorfismo per gli anelli. Ideali primi e massimali. Il Teorema Cinese dei Resti per gli anelli. Il campo dei quozienti di un dominio.
Esercizi 8   Esercizi 9 (polinomi)

Settimana 10: Caratteristica. Proprietà aritmetiche nei domini. Domini euclidei. Esempi. Massimo comune divisore. Domini di Bezout.
Appunti integrativi 5     Esercizi 10

Settimana 11: Domini a ideali principali, loro ideali primi e massimali. Domini accp e a fattorizzazione unica. Polinomi su domini a fattorizzazione unica. Il Lemma di Gauss.
Appunti integrativi 6    Appunti integrativi 7

Settimana 12: Quozienti di domini a ideali principali ed euclidei. Costruzione di campi finiti.
Esercizi 11

Seconda prova di valutazione intermedia: 10 Gennaio, ore 14

Dipartimento di Matematica

Roma TRE