Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL310 - Istituzioni di
Algebra Superiore
Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois
a.a. 2014/2015 - I Semestre
Diario delle Lezioni
Le
formule
di Tartaglia in poesia
Esercizi
di ricapitolazione sui polinomi
Esercizi di ricapitolazione
sui gruppi
Settimana 1: Introduzione
al corso. Quozienti di anelli di polinomi.
Caratteristica e sottocampo fondamentale. Campo dei
quozienti di un dominio. Il campo delle funzioni
razionali. Generalitā sugli ampliamenti di campi.
Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo di
un elemento algebrico.
Esercizi
1
Settimana 2: Ampliamenti
finitamente generati. Caratterizzazione degli
ampliamenti semplici: caso algebrico e trascendente.
Esempi. Irriducibilitā del p-esimo polinomio
ciclotomico. Grado di un ampliamento. Moltiplicativitā
del grado. Applicazioni. Ampliamenti finiti.
Ampliamenti algebrici e chiusura algebrica in un
campo. Il campo dei numeri algebrici non č finito su
Q.
Esercizi
2
Settimana 3: Campi di
spezzamento e loro grado. Caso quadratico e cubico.
Esempi su Q. Polinomi e ampliamenti ciclotomici.
Esercizi 3
Settimana 4: Radici
multiple. Polinomi separabili. Il Teorema
dell'Elemento Primitivo. Immersioni di campi.
F-immersioni e F-automorfismi. Estensioni di
immersioni. Immersioni in C.
Esercizi 4
Settimana
5: Isomorfismi e automorfismi di campi di
spezzamento. Esempi. Il gruppo di Galois di un
ampliamento ciclotomico. Campi finiti: esistenza e
unicitā. Il gruppo moltiplicativo di un campo finito.
Polinomi irriducibili su F_p. L'automorfismo di
Frobenius.
Esercizi 5
Settimana 6: Prima prova
di valutazione.
Settimana 7: Equazioni
polinomiali. Trasformazioni. Equazioni ausiliarie.
Formule di Tartaglia-Cardano. Polinomi simmetrici.
Polinomi simmetrici elementari. Enunciato del Teorema
fondamentale. Discriminante. Relazioni tra i
coefficienti e le radici di un polinomio. Il
discriminante di un polinomio. Il discriminante di
X^n-1.
Esercizi 6
Settimana 8: Il polinomio
generale. Campo di definizione e spezzamento. Gruppo
di Galois. Ampliamenti normali e separabili. Gruppi di
Galois finiti. Il gruppo di Galois di un polinomio:
immersione in S_n. Esempi. Cenni sulla chiusura
algebrica di un campo: esistenza ed unicitā.
Esercizi 7
Settimana 9: Normalitā e
separabilitā di campi intermedi. Chiusura normale.
Campi fissi. La corrispondenza di Galois per gli
ampliamenti di Galois finiti. Esempi.
Esercizi 8
Settimana 10: La
corrispondenza di Galois mantiene la normalitā. Serie
normali e di composizione. Gruppi risolubili:
proprietā ed esempi. Risolubilitā di S_n.
Settimana 11: Ampliamenti
radicali. Ampliamenti ciclici (Teorema di Kummer). Il
gruppo di Galois di un polinomio risolubile per
radicali č un gruppo risolubile. Teorema di
Ruffini-Abel. Esempi di polinomi irriducibili di grado
5 risolubili o no per radicali.
Esercizi 9
Settimana 12: Costruzioni
con riga e compasso. Problemi impossibili.
Costruibilitā dei poligoni regolari.