AL310 - Istituzioni di Algebra Superiore: Teoria delle equazioni

Esoneri/Esami:

Diario delle Lezioni:

1. [26/09/16] Presentazione del corso, informazioni, discriminanti, equazioni di secondo grado, equazioni di terzo grado e formula di risoluzione di Cardano, L'idea della Teoria di Galois. formule per i coseni
2. [27/09/16] Conclusione della presentazione. Generalità e Richiami su Anelli, sottoanelli, campi, omomorfismi.
3. [28/09/16] Caratteristica di un campo. Ancora generalità sui campi, sottocampi, Anelli di polinomi, Fattorizzazione dei polinomi, radici razionali dei polinomi.
4. [03/10/16] Algoritmo per la fattorizzazione dei polinomi. I coefficienti di un polinomio sono le funzioni simmetriche elementari nelle radici. Criterio di Eisenstein - irriducibilità del p-esimo polinomio ciclotomico.
5. [04/10/16] Estensioni di campi. Esempi. Teorema della dimensione. Esempi. Estensioni algebriche semplici (campi a gambo). Calcoli nelle estensioni algebriche semplici. Sottoanelli e sottocampi generati da sottoinsiemi.
6. [05/10/16] Ancora sui sottoanelli e sottocampi generati e sulle estensioni algebriche semplici. Elementi algebrici e trascendenti di una estensione. Polinomio minimo e sue caratterizzazioni. Esempi del calcolo del polinomio minimo. Estensioni algebriche e trascendenti. Un estenione è finita se e solo se è algebrica e finitamente generata. Esmpi e conseguenze.
7. [10/10/16] ESERCITAZIONE soluzione di esercizi tra quelli proposti nei tutorati degli scorsi anni. Metodi per calcolare gli elementi nelle estensioni algebriche semplici e metodi per calcolare i polinomi caratteristici.
8. [11/10/16] ESERCITAZIONE e ALTRO Altri esercizi. Campi ciclotomici e campo del coseno. Esempi di campi ciclotomici.
9. [12/10/16] LEZIONE ANNULLATA
10. [17/10/16] Numeri trascendenti e numeri algebrici. Quasi tutti i numeri sono trascendenti (A è numerabile). un esempio di numero trascendente. Problemi e fatti sui numeri trascendenti, numerabilità dei numeri algebrici. Campi algebricamente chiusi. Chiusura algebrica di un campo in un estensione.
11. [18/10/16] F-Omomorfismi di campi. F-omomorfismi su estensioni semplici. Campi di spezzamento e esistenza del campo di spezzamento.
12. [19/10/16] Esempi: campi di spezzamento di polinomi di grado 2, 3 e 4 e loro possibile grado. Esistenza del campo di spezzamento.
13. [24/10/16] Ancora propriet\`a, esempi ed esercizi sui campi di spezzamento. Radici multiple, polinomi irriducibili con radici multiple e loro proprietà. Polinomi separabili e campi perfetti. Esempi di campi imperfetti.
14. [25/10/16] Fine dei campi perfetti. ESERCITAZIONE
15. [26/10/16] Automorfismi di campi. Automorfismi del campo di spezzamento di un polinomio separabile. Esempi.
16. [02/11/16] ESERCITAZIONE
17. [09/11/16] PRIMA PROVA IN ITINERE (ORE 11:00 Aule F e G)
18. [14/11/16] ESERCITAZIONE Correzione della prima prova in itinere
19. [15/11/16] Ancora sugli automorfismi. Il Lemma di Artin. Campo degli invarianti. Prima forma del teorema di corrispondenza di Gaolis.
20. [16/11/16] Estensioni di Galois, Caratterizzazioni. Esempi: Campi ciclotomici, coniugati. Il Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois. Inizio dimostrazione.
21. [21/11/16] Fine dimostrazione del Teorema di corrispondenza di Galois. Esempi: il reticolo dei sottocampi di Q(ζ₇).
22. [22/11/16] Il polinomio X⁴-2 (inizio): Il suo gruppo di Galois è diedrale, il reticolo dei sottogruppi di D₄.
23. [23/11/16] Esempi, Campi ciclotomici: Inniducibilità dei polinomi ciclotomici. Descrizione esplicita del gruppo di Galois dei campi ciclotomici. Periodi di Gauss
24. [28/11/16] Ancora sui Campi ciclotomici. Periodi di Gauss e descrizione dei sottocampi dei campi ciclotomici. Gruppi di Galois dei polinomi come sottogruppi del gruppo delle permutazioni delle radici.
25. [29/11/16] LEZIONE ANNULLATA
26. [30/11/16] Ancora sui gruppi di Galois come sottogruppi di S_n. Gruppi transitivi e polinomi irriducibili. Classificazione dei sottogruppi transitivi S₃, S₄ e S₅ (senza dimostrazioni). Permutazioni pari e sottocampo generato dalla radice quadrata del discriminante. Esempi.
27. [05/12/16] Costruziooni con riga e compasso: Definizione di punti costruibili con riga e compasso. Problemi classici Duplicazione del cubo, trisecazone di un angolo, quadratura del cerchio. Costruzioni elementari con riga e compasso: mediana di un segmento, cerchio per tre punti, perpendicolare ad una retta data per un punto sulla retta e per un punto esterno alla retta, parallela ad una retta per un punto, circonferenza con centro un punto dato e raggio dato, bisezione di un angolo. Numeri reali costruibili: definizione e dimostrazione che l'insieme dei numeri costruibili forma un campo. La radice di un numero costruibile è costruibile. Caratterizzazione dei numeri costruibili in base all'estensione dei razionali che generano. Impossibilita' di soluzione con riga e compasso dei problemi classici.
28. [06/12/16] Poligoni regolalari costruibili: se un poligono regolare con p lati, p primo, è costruibile allora p è un primo di Fermat. Se un numero reale alpha genera un estensione di Galois di grado un potenza di due allora α e' costruibile. Caratterizzazione dei poligoni regolari che sono costruibili con riga e compasso. Costruzioni con i piegamenti della carta. I sette piegamenti base. Con i piegamenti della carta si possono fare tutte le costruzioni che si fanno con riga e compasso. Piegamenti e parabole. Costruzione delle tangenti comuni a due parabole tramite il piegamento di Margherita Piazzolla Beloch. Cotruzione della radice cubica di 2 con i piegamenti della carta.
29. [07/12/16] Il metodo grafico di Lill per la ricerca di radici di polinomi: costruzione della poligonale di Lill, costruzione grafica delle radici dei polinomi di terzo grado tramite il quadrato di Beloch. Esempi. Gruppi nilpotenti, definizione, ogni p-gruppo è nilpotente. Gruppi risolubili: sottogruppo derivato di un gruppo e sua caratterizzazione come il più piccolo sottogruppo normale di G con quoziente abeliano.
30. [12/12/16] Ogni gruppo nilpotente è risolubile. Esempio: il gruppo diedrale D₄. Costruzione della catena di sottogruppi di un 2-gruppo con tutti i quozienti di ordine 2. Estensioni semplici e Teorema dell'elemento primitivo.
31. [13/12/16] LEZIONE ANNULLATA
32. [14/12/16] Polinomi di grado quattro. Risolvente cubica. Problema inverso di Galois (enunciato). Polinomi aventi gruppo di Galois isomorfo a S_p
33. [15/12/16] ORE 9-11 Lezione di recupero di quella del 13/12 (l'aula sarà annunciata all'ultimo momento) Esempi di Polinomi aventi gruppo di Galois isomorfo a S_p. Campi finiti. proprietà, esempi, enumerazione dei polinomi irriducibili, gruppo di Galois di un campo finito.
34. [16/12/16] ORE 16-18 Lezione di recupero di quella del 13/12 (l'aula sarà annunciata all'ultimo momento) Esempi di Polinomi aventi gruppo di Galois isomorfo a S_p. Campi finiti. proprietà, esempi, enumerazione dei polinomi irriducibili, gruppo di Galois di un campo finito.
35. [19/12/16] ESERCITAZIONE
36. [20/12/16] ESERCITAZIONE
37. [21/12/16] SECONDA PROVA IN ITINERE (ORE 11:00 Aula F) (da confermare)

Tutorato/Esercizi:

1. TUTORATO 1 13 Ottobre 2016
2. TUTORATO 2 19 Ottobre 2016
3. TUTORATO 3 27 Ottobre 2016
4. TUTORATO 4 03 Novembre 2016
5. TUTORATO 5 30 Novembre 2016
6. TUTORATO 6 16 Dicembre 2016

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