AM430 - Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

AA 2024-2025 - I Semestre

Prof. Luigi Chierchia

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni : Lu 11-13 (L), Me 14-16 (57), Ve 9-11 (F)
Programma di massima del corso
Sito AM300 AA 2023-24 (Prof.ssa Procesi)
Diario delle lezioni/esercitazioni
Bibliografia e testi
Esami

AVVISI

Programma di massima del corso

Parte 1. Argomenti di teoria classica
Richiami: Esistenza locale (Picard); unicità e dipendenza da parametri/dati iniziali (Gronwall); intervallo massimale di esistenza; sistemi lineari: struttura algebrica e coefficienti costanti (Jordan)
Teorema di Peano
Teoria di Floquet (sistemi lineari periodici)
Teorema della varietà stabile/instabile.
Teorema di Hartman-Grobman (linearizzazione intorno a equilibri iperbolici)
Parte 2. Problemi di piccoli divisori
Teorema di Siegel sulla linearizzazione di mappe olomorfe attorno ad un punto fisso
Teorema di Kolmogorov sui tori invarianti
Teorema di Mather sulle orbite quasi-periodiche di mappe twist
Parte 3. Il problema planetario degli N-corpi

Formulazione hamiltoniana
Il problema circolare, ristretto piano dei tre corpi (CRP3BP)
Orbite quasi-periodiche e periodiche del CRP3BP.

Diario delle lezioni/esercitazioni
• Lezioni 1 e 2 [25/9/24] Richiami sui teoremi di esistenza e unicità locale del problema di Cauchy (Picard-Lindelof e punto fisso); discussione sulla stima locale dei tempi di esistenza. Metodo numerico di Eulero e teorema di Peano. Lemma di Eulero.

• Lezioni 3 e 4 [27/9/24] Teorema di Ascoli-Arzela. Fine della dimostrazione del teorema di Peano.
  Esercizio: Dimostrare che se f è lipschitziana, allora la successione di Eulero {u_j} converge uniformemente all'unica soluzione di u'= f(u,t), u(t_o)=x_o e stimare l'errore sup |u-u_j|.

• Lezioni 5 e 6 [2/10/24] Equazioni differenziali lineari: indipendenza delle soluzioni; soluzioni matriciali; matrici findamentali e matrice principali; proprietà di gruppo della matrice principale; wronskiano di soluzioni fondamentali; formula di Liouville (identità di Abel).
  Sistemi lineari periodici: matrice di monodromia; teorema di Floquet.
  Esercizio: dimostrare che se A è una matrice quadrata con ||A||<1, allora la matrice B = ∑_{k≥ 1} (-1)^k-1 A^k/k soddisfa exp(B)=I+A.

• Lezioni 7 e 8 [4/10/24] Richiami di algebra lineare: forma canonica di Jordan ed applicazione alla stabilità dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Logaritmo di matrici.
  Analisi dell'equazione di Hill (Teorema 3.19 di [T] e dimostrazione).
  Esercizi
  Es 1 Dimostrare che se M è una matrice nilpotente (M^d=0), allora la matrice B = ∑_{1 ≤k≤ d-1} (-1)^k-1 M^k/k soddisfa exp(B)=I+M.
  Es 2 Dimostrare che nel caso |Δ|>1, s(t+T,t)≠ 0(notazioni come in [T] p. 94).
  Es 3 Problemi 3.39 e 3.43 di [T].

• Lezioni 9 e 10 [7/10/24] Discussione degli esercizi assegnati.

• Lezioni 11 e 12 [16/10/24] Funzioni analitiche di matrici; se [A,B]=0, ||A||,||B||<1 e f e g sono due funzioni analitiche sul disco complesso {|z|<1}, allora [f(A),f(B)]=0.
  Forma canonica di Jordan reale [T, p. 65]. Varietà stabile/instabile/centrale di sistemi lineari [T, par 9.1].
  Esercizi
  Es 1: Dedurre la forma canonica reale di Jordan da quella complessa (seguire la traccia di [T, p. 65]).
  Es 2: Problemi 9.1 e 9.2 di [T].
  

• Lezioni 13 e 14 [18/10/24] Stabilità asintotica (nel futuro) di un punto di equilibrio x_o per un sistema x'=f(x) con f ∈ C¹ e Jacobiano in x_o avente tutti autovalori con parte reale negativa [T, Teorema 6.10].
  Esercizi
  Es 1: Data una matrice reale nxn, A, discutere in dettaglio lo splitting in autospazi invarianti su cui A ha, rispettivamente, autovalori con parte reale positiva, 0, e negativa. In particolare, determinare la costante C per cui vale (9.3) in [T] nel caso in cui tutti gli autovalori hanno parte reale negativa, e la costante C per cui vale la (9.4) in [T] nel caso generale.

• Lezioni 15 e 16 [21/10/24] Teorema della varietà stabile/instabile; inizio della dimostrazione [cfr. par 9.2 di [T]].
  Esercizi
  Es 1: Sia Rⁿ somma diretta di due spazi vettoriali E₁ e E₂ e p_i la proiezione su E_i. Determinare una costante c ≥ 1 tale che |p_i x| ≤ c |x|.
  Es 2: Dimostare che sup _{t ≥ 0} ∫_[0,∞) e^{-a |t-s|} ds=2/a per ogni a>0.

• Lezioni 17 e 18 [23/10/24] Fine della dimostrazione del teorema della varietà stabile locale (inclusa convergenza esponenziale a 0).
  Esercizi
  Es 1: Dimostrare che la varietà stabile di un punto d'equilibrio iperbolico è C¹ e che è tangente in x=0 alla varietà stabile lineare E⁺.
  Es 2: Enunciare e dimostrare i risultati analoghi per la varietà instabile.

• Lezioni 19 e 20 [25/10/24] Raggio spettrale e norme matriciali: r(A)=inf{ ||A||: || . || è una norma matriciale}; formula di Gelfand. [vedi file preso dal sito web di S. Foucart ].
  Decomposizione di Rⁿ in spazi lineari, contrattivi, espansivi e neutri di una matrice A. Enunciato del Lemma sulla semi-coniugazione di mappe da Rⁿ in Rⁿ "vicine" alla loro parte lineare [cfr. Lemma 9.7 di [T]; attenzione: nell'enunciato di questo lemma in [T] c'è un abuso di notazione (le norme ||A_-^-1|| e ||A₊|| sono diverse! e la norma su Rⁿ va definita in maniera opportuna).
  Esercizi
  Es 1 (i) Dimostrare che ||A||_1,1 = max_j ∑_i |A_ij| e che ||A||_∞,∞ = max_i ∑_j |A_ij|.
  (ii) Dimostrare che se A = A₁ ⊕ A₂ (con A_k matrici quadrate) e ||.||_k sono norme indotte, allora ||A||=max{ ||A₁||₁ , ||A₂||₂} (prima si completi precisamente questo enunciato).

• Lezioni 21 e 22 [28/10/24] Teorema di Hartman-Grobman per mappe [cfr. Lemma 9.7 di [T]]. Attenzione alle notazioni!
  Esercizi
  Es 1 Dimostrare in dettaglio la seconda parte dell'enunciato del Lemma 9.7 [da "If f is invertible..."]
  Es 2 Sia A una matrice invertibile n x n, senza autovalori di modulo 1 e j(x)=x + b(x) con b limitata (non necessariamente continua). Dimostrare che se A j(x)= j(Ax) per ogni x, allora b(x)=0 per ogni x.

• Lezioni 23 e 24 [30/10/24] Teorema di Hartman-Grobman per flussi. Prima parte della dimostrazione.
  Esercizi
  Es 1 Sia f come nell'enunciato del Lemma 9.7 [T]. Dimostrare che se ε ||A^-1||<1, allora f è invertibile e |f^-1(x)-f^-1(y)| ≤ ||A^-1|| (1- ε ||A^-1||)^-1 |x-y|, f^-1(x)=A^-1 x + h(x) con |h(x)-h(y)| ≤ ε ||A^-1||² (1- ε ||A^-1||)^-1 |x-y|.
  Es 2 Sia j(x)=x+h(x) una funzione invertibile su Rⁿ con h limitata. Dimostrare che j^-1(x)=x + g(x) con sup |g| ≤ sup |h|.

• Lezioni 25 e 26 [6/11/24] Fine della dimostrazione del teorema di Hartman-Grobman per flussi [vedi file ].

• Lezioni 27 e 28 [8/11/24] Problema di Siegel (linearizzazione di mappe olomorfe λz+a₂ z²+...con λ ≠ 0). Interpretazione reale (Hartman-Grobman se |λ| ≠ 1). Definizione di stabilità (alla Lyapunov) di 0.
  Proposizione 1 (i) Se |λ|<1, allora 0 è stabile. (ii) Se |λ| ≥ 1, 0 è stabile se e solo se |λ|=1 e vale l'equazione di Schröder. [senza, per ora, la dimostrazione che |λ| ≥ 1 e 0 è stabile implica |λ|=1 e vale Schröder].
  Proposizione 2: Assumiamo che valga l'equazione di Schröder. Allora, 0 è stabile se e solo se |λ| ≤ 1.
  Esercizio: Dimostrare (direttamente, ossia, senza usare Hartman-Grobman) che se |λ| > 1, allora 0 non è stabile.

• Lezioni 29 e 30 [11/11/24] L'equazione di Schröder e l'operatore D_λ e il suo inverso.
  Lemma 1 Sia λ un numero complesso di modulo 1. In generale, esiste la soluzione formale di D_λ u =v , con v=O(z²) analitica data se e solo se λ=exp(2π i ω) con ω irrazionale in (0,1); esiste una soluzione analitica u se log |λⁿ-1|^-1=O(n). (cosa vuol dire "in generale?").
  Lemma 2 Sia λ=exp(2π i ω) con ω irrazionale in (0,1).
  (i) Per ogni n naturale esiste un unico k_n tale che min |ωn -k|=| ωn - k_n| < 1/2 dove il minimo è fatto su tutti i k interi.
  (ii) Per ogni n, 4 | ωn - k_n| < |λⁿ-1| < 2 π | ωn - k_n|.
  Corollario La condizione di Siegel log |λⁿ-1|^-1=O(log n) è equivalente alla condizione Diofantea |ω n - m| ≥ c/n^τ per ogni n naturale, m intero (per opportune costanti positive c,τ).
  
  Esercizi:
  Es 1: Dimostrare che se 0<|λ| ≠ 1 allora f(z)= λz+O(z²) analitica è coniugabile alla sua parte lineare con un diffeomorfsmo analitico φ=z+O(z²).
  Es 2: Dimostrare che per ogni 0<|t|<π, t reale, si ha |t| > |exp(it)-1| > (2/π) |t|.

• Lezioni 31 e 32 [13/11/24] Lemma di Liouville (per ogni irrazionale ω in (0,1) e per ogni N esistono naturali n,m con n ≤ N tali che |ω n -m|<1/N).
  Gli insiemi "diofantini" D_τ e D_γ,τ.
  Corollario (del Lemma di Liouville): se τ<1, allora D_γ,τ = ∅ per ogni γ.
  Proposizione Sia τ>1. Allora, mis((0,1) \ D_γ,τ) ≤ 2 ζ(τ) γ. (ζ = Zeta di Riemann). In particolare, mis((0,1) \ D_τ)=0.
  Soluzione formale dell'equazione di Schröder. Il caso f(z) = λ z + z².

• Lezioni 33 e 34 [15/11/24] Enunciato del Lemma Fondamentale di Siegel (Lemma 3 in [S1942]). Dimostrazione del Teorema di Siegel assumendo il Lemma Fondamentale.

• Lezioni 35 e 36 [18/11/24] Lemma 1 di [S1942]:
  1) riduzione al caso r ≤ 1;
  2) riduzione al caso y_s=1 (se y₁+ y_s < 1+k/2) o y_s=k/2 (se y₁+ y_s > 1+k/2);
  3) riduzione al caso r ≤ 1 e 2 ≤ s ≤ 3.

• Lezioni 37 e 38 [20/11/24] Fine della dimostrazione del Lemma 1 di [S1942] (ATTENZIONE: il caso r=1, s=3 funziona come fatto in classe ma usando la stima inferiore di Siegel, ossia, 1/8 ^{r + s -1} = 1/8³= 1/512)

• Lezioni 39 e 40 [22/11/24] Dimostrazione dei Lemmi 2 e 3 di [S1942].
  
  Esercizio: Completare i dettagli della dimostrazione del Lemma 3.
  

• Lezioni 41 e 42 [25/11/24] Discussione di esercizi assegnati.

• Lezioni 43 e 44 [27/11/24] Proposizione Sia λ=exp(2π i ω) con ω irrazionale in (0,1). Allora per ogni z complesso di modulo 1, l'insieme {λⁿ z: n ∈ N} è denso sul cerchio unitario S¹.
  Il toro (piatto) Tⁿ:=Rⁿ/2π Zⁿ:
  (1) la metrica d(x',y')= min |x-y-2 π k|_∞ : k ∈ Zⁿ} (dove x',y'∈ Tⁿ e x∈x' e y∈ y').
  (2) La proiezione canonica p da Rⁿ su Tⁿ; continuità di p. Tⁿ è un gruppo additivo.
  (3) Tⁿ è una varietà n-dimensionale senza bordo analitica (infatti, le funzioni di transizione sono traslazioni); (cenni).
  (4) Funzioni regolari (C^k e analitiche) su Tⁿ e funzioni multi-periodiche.
  (5) Diffeomorfismi di Tⁿ: diffeomorfismi lineari e diffeomorfismi vicini all'identità.
  (6) Flussi lineari su Tⁿ, φ_t: x∈ Tⁿ → x + ω t:= x + p(ω t). Vettori "periodici" e vettori razionalmente indipendenti.
  Lemma (teorema della media ergodica) Sia ω∈ Rⁿ razionalmente indipendente e f(x) = ∑_k f_k exp(i x · k) con ∑_k |f_k|< ∞. Allora, la media temporale di f ∘ φ_t coincide con la media spaziale f₀ (per ogni punto "iniziale" x).
  Proposizione Se ω∈ Rⁿ è razionalmente indipendente, allora, (per ogni x), il flusso t → x+ω t è denso su Tⁿ.

• Lezioni 45 e 46 [2/12/24] Vettori diofantini in R^d e loro misura (stima esplicita della misura del complementare di D_γ,τ con τ>d-1 nella sfera euclidea d-dimensionale di raggio R).
  Sistemi Hamiltoniani integrabili e quasi-integrabili. Funzioni quasi-periodiche e soluzioni quasi-periodiche di un sistema Hamiltoniano. Serie formali di Lindstedt (definizione).

• Lezioni 47 e 48 [4/12/24] Esistenza (e unicità sotto opportune ipotesi) delle serie di Lindstedt: vedi Sezione 2 e, in particolare, Proposition 2.1 in [CF1994]
  Esercizi:
  Es 1 Dimostrare che, per ogni ω e per ogni f,g∈ C¹(Tⁿ) si ha < f D_ωg >= - < g D_ωf >, dove < f > denota la media di f su Tⁿ.
  Es 2 Calcolare il polinomio di Lindstedt di grado 4 nel caso n=1 e H=y²/2 + ε (y + cos x).

• Lezioni 49 e 50 [6/12/24] Forma normale di Kolmogorov ed enunciato del teorema di Kolmogorov del 1954. Il suggerimento di Kolmogorov (funzione genereatrice lineare).
  Esercizi: Svolgere i due esercizi in questo file .

• Lezioni 51 e 52 [9/12/24] L'articolo di Kolmogorov del 1954 (definizione della trasformazione simplettica di Kolmogorov).

• Lezioni 53 e 54 [11/12/24] Strategia della dimostrazione del Teorema 1 di Kolmogorov. Lemma 1: l'algoritmo di Kolmogorov. Inizio dimostrazione Lemma 2 (Lemma 4 in [C2008]). Stime analitiche su D_ω^-1 f.

• Lezioni 55 e 56 [13/12/24] Enunciato e dimostrazione del Lemma 2 (stime analitiche sulla mappa di Kolmogorov).
  Esercizi:
  Es 1: Dimostrare i punti 2 e 3 (con B_p = p!) a pag 132 di [C2008] e dimostrare la (6) a pag 133 (con k_p= |β|+τ + d) e calcolare B_p.
  Es 2: completare le stime del punto (i) del Lemma (cfr. (18) di [C2008] con le notazioni usate in classe).

• Lezioni 57 e 58 [16/12/24] Enunciato e dimostrazione del Lemma 3 (convergenza dell'algoritmo di Kolmogorov).

• Lezioni 59 e 60 [18/12/24] Fine della dimostrazione del Teorema di Kolmogorov. Cenni sul Teorema 2 di [K1954].

Esami

Appello A: 24/1/25

Appello B: 7/2/25

Appello C: 20/6/25

Appello D: 4/7/25

Appello E: 1/9/25

Appello F: 15/9/25

Bibliografia e testi per la Parte 1
[T] Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems , Graduate Studies in Mathematics Volume 140, American Mathematical Society, 2011
[CL] Coddington E., Levinson N.: Theory of ordinary differential equations , McGraw-Hill, 1955
[PSV] Livio C. Piccinini, Guido Stampacchia, Giovanni Vidossich: Equazioni differenziali in Rⁿ, Liguori, 1978
[Ch23] Chierchia, L. Corso di Analisi. Parte 2 (versione provvisoria)

Bibliografia e testi per la Parte 2
[S1942] Siegel: Iteration of Analytic Functions, Annals of Mathematics 1942
[K1954] Kolmogorov: On the Preservation of Conditionally Periodic Motions under Small Variation of the Hamiltonian Function
[M1971] Moser: Moser's solution of Siegel's problem (dal cap III del Siegel-Moser, 1971)
[M1982] Mather: J. Mather: Existence of quasi-periodic orbits for twist homeomorphisms of the annulus
[C1991] Chierchia: On a result by J.N. Mather concerning invariant sets for area-preserving twist map
[C2008] Chierchia: Kolmogorov's 1954 paper on nearly-integrable Hamiltonian systems
[CF2024] Chierchia, Fascitiello: Nineteen Fifty-four: Kolmogorov's new "metrical approach" to Hamiltonian Dynamics

Bibliografia e testi per la Parte 3
[CC2004] Celletti, Chierchia Memoirs of the AMS No. 187 [pag 72-82 e Appendix A]
[C2014] Chierchia KAM tori and periodic orbits

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi.chierchia@uniroma3.it