Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL310 - Istituzioni di
Algebra Superiore
Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois
a.a. 2015/2016 - I Semestre
Diario delle Lezioni
Le
formule
di
Tartaglia in poesia
Esercizi
di ricapitolazione sui polinomi
Esercizi di ricapitolazione
sui gruppi
Settimana 1: Introduzione al corso. Generalità
sulle equazioni polinomiali. Sostituzioni di
variabile. Equazioni ausiliarie. Formule di
Tartaglia-Cardano. Equazioni biquadratiche e formula
del doppio radicale. Polinomi simmetrici. Polinomi
simmetrici elementari. Relazioni tra radici e
coefficienti di un polinomio.
Esercizi
1
Settimana 2: Il teorema fondamentale sulle
funzioni simmetriche. La funzione discriminante.
Il discriminante di un polinomio. Calcolo del
discriminante. Polinomi di grado 2, 3. Polinomi
ciclotomici. Caratteristica di un campo.
Immersioni ed ampliamenti di campi. Elementi
algebrici e trascendenti.
Esercizi
2
Settimana 3: Caratterizzazione degli
ampliamenti semplici. Ampliamenti finiti e
finitamente generati. Moltiplicatività del grado.
Ampliamenti algebrici. Finito = algebrico e
finitamente generato.
Esercizi
3
Settimana 4: Chiusura algebrica di F in K. Il
campo dei numeri reali (complessi) algebrici non è
finito su Q. Campi di spezzamento in C. Grado di
un campo di spezzamento.Campi di spezzamento di
polinomi quadratici e cubici. Ampliamenti
ciclotomici. Polinomi ciclotomici.
Esercizi
4
Settimana 5: Costruzioni di radici. Campi di
spezzamento e loro grado. Primi esempi in
caratteristica p.
Esercizi
5
Settimana 6: Estensione di
morfismi. F-immersioni ed F-automorfismi. Caso
numerico: immersioni in C. Unicità del campo di
spezzamento. Il gruppo di Galois di un ampliamento
e di un polinomio. Il gruppo di Galois di un
ampliamento ciclotomico. Il gruppo di Galois del
polinomio generale. L'automorfismo di Frobenious.
Esercizi6
Prima prova intermedia
Settimana 7: Campi
finiti: esistenza ed unicità. Sottocampi di un
campo finito. Campi algebricamente chiusi e
chiusura algebrica. Immersioni nella chiusura
algebrica. Normalità e separabilità.
Esercizi
7
Settimana 8: I
gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni.
Gruppi transitivi.
Settimana 9: Sottogruppi
transitivi di S_3, S_4, S_5. Gruppi risolubili: prime
proprietà ed esempi. Risolubilità di S_n. Chiusura
normale. Il reticolo dei sottocampi. Campi fissi. La
corrispondenza di Galois.
Esercizi
8
Settimana 10: Proprietà
della
corrispondenza di Galois. Esempi: ampliamenti
ciclotomici, ampliamenti cubici, ampliamenti
biquadratici, X^4-2.
Esercizi
9
Settimana 11: Ampliamenti
radicali. Risolubilità per
radicali. Il gruppo di Galois
del polinomio X^n-a: esempi. Il
Lemma di Kummer. Il gruppo di
Galois di un polinomio
risolubile per radicali è
risolubile. Il Teorema di
Ruffini-Abel. Polinomi di quinto
grado non risolubili per
radicali.
Esercizi
10
Settimana 12: Costruzioni
con riga e
compasso.
Caratterizzazione
dei punti
costruibili.
Problemi
impossibili.
Poligoni
regolari
costruibili.