Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL310 - Istituzioni di Algebra Superiore
Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois


a.a. 2015/2016 -
I Semestre




Diario delle Lezioni



Le formule di Tartaglia in poesia

Esercizi di ricapitolazione sui polinomi

Esercizi di ricapitolazione sui gruppi




Settimana 1: Introduzione al corso. GeneralitÓ sulle equazioni polinomiali. Sostituzioni di variabile. Equazioni ausiliarie. Formule di Tartaglia-Cardano. Equazioni biquadratiche e formula del doppio radicale. Polinomi simmetrici. Polinomi simmetrici elementari. Relazioni tra radici e coefficienti di un polinomio. 

Esercizi 1

Settimana 2: Il teorema fondamentale sulle funzioni simmetriche. La funzione discriminante. Il discriminante di un polinomio. Calcolo del discriminante. Polinomi di grado 2, 3. Polinomi ciclotomici. Caratteristica di un campo. Immersioni ed ampliamenti di campi. Elementi algebrici e trascendenti.
Esercizi 2
 
Settimana 3: Caratterizzazione degli ampliamenti semplici. Ampliamenti finiti e finitamente generati. MoltiplicativitÓ del grado. Ampliamenti algebrici. Finito = algebrico e finitamente generato.
Esercizi 3
 
Settimana 4: Chiusura algebrica di F in K. Il campo dei numeri reali (complessi) algebrici non Ŕ finito su Q. Campi di spezzamento in C. Grado di un campo di spezzamento.Campi di spezzamento di polinomi quadratici e cubici. Ampliamenti ciclotomici. Polinomi ciclotomici.
Esercizi 4
 
Settimana 5: Costruzioni di radici. Campi di spezzamento e loro grado. Primi esempi in caratteristica p.
Esercizi 5
 

Settimana 6: Estensione di morfismi. F-immersioni ed F-automorfismi. Caso numerico: immersioni in C. UnicitÓ del campo di spezzamento. Il gruppo di Galois di un ampliamento e di un polinomio. Il gruppo di Galois di un ampliamento ciclotomico. Il gruppo di Galois del polinomio generale. L'automorfismo di Frobenious.
Esercizi6
 
Prima prova intermedia

Settimana 7:
Campi finiti: esistenza ed unicitÓ. Sottocampi di un campo finito. Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica. Immersioni nella chiusura algebrica. NormalitÓ e separabilitÓ.
Esercizi 7
 

Settimana 8:
I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni. Gruppi transitivi.
 

Settimana 9: Sottogruppi transitivi di S_3, S_4, S_5. Gruppi risolubili: prime proprietÓ ed esempi. RisolubilitÓ di S_n. Chiusura normale. Il reticolo dei sottocampi. Campi fissi. La corrispondenza di Galois.
Esercizi 8
 

Settimana 10:
ProprietÓ della corrispondenza di Galois. Esempi: ampliamenti ciclotomici, ampliamenti cubici, ampliamenti biquadratici, X^4-2.
Esercizi 9

Settimana 11: Ampliamenti radicali. RisolubilitÓ per radicali. Il gruppo di Galois del polinomio X^n-a: esempi. Il Lemma di Kummer. Il gruppo di Galois di un polinomio risolubile per radicali Ŕ risolubile. Il Teorema di Ruffini-Abel. Polinomi di quinto grado non risolubili per radicali.
Esercizi 10

Settimana 12: Costruzioni con riga e compasso. Caratterizzazione dei punti costruibili. Problemi impossibili. Poligoni regolari costruibili.