LezioniAL3_08

Settimana 1 Moduli e sottomoduli. Esempi. Matrici a coefficienti in un anello. Operazioni tra sottomoduli e tra ideali. Annullatore. Moduli quoziente. Omomorfismi. Generatori. Dipendenza lineare. Moduli liberi. Rango. Proprietà universale dei moduli liberi. Prodotto diretto e3] somma diretta.
Esercizi 1; Esercizi 2

Settimana 2 I moduli liberi come somme dirette. Somme dirette interne. Proprietà universale della somma diretta e del prodotto diretto. Ogni modulo è quoziente di un modulo libero. Il modulo delle relazioni. Complessi. Successioni esatte corte. Omomorfismi tra moduli liberi e matrici associate. Il Teorema di Hamilton-Caylay. Cenni sulle risoluzioni libere. Algebre finite e finitamente generate. Prodotto tensoriale di moduli.
Esercizi 3

Settimana 3 Prodotto tensoriale di moduli e algebre: prime proprietà, restrizione ed estensione degli scalari, proprietà di esattezza.
Esercizi 4
Lemma di Zorn. Ideali massimali e minimali. Anelli locali. Il radicale di Jacobson. Parti moltiplicative. Saturazione.
Esercizi 5

Settimana 4 Anelli di frazioni. Prime proprietà ed esempi. Parti saturate come complementari di unioni di primi. L'insieme degli zero divisori è unione di primi. Il nilradicale è l'interesezione dei primi minimali. Moduli di frazioni. Piattezza della localizzazione. Proprietà locali.
Esercizi 6
Ideali primi. Prime avoidance theorem. Ideali coprimi e il teorema cinese dei resti.

Settimana 5 Il radicale di un ideale. Ideali primari. Potenze di primi. Estensione e contrazione di ideali. Estensione e contrazione di ideali primi e primari.
Esercizi 7

Settimana 6 Estensione di ideali agli anelli di frazioni. Comportamento degli ideali primi, radicali e primari.
Esercizi 8
Dipendenza integrale: condizioni equivalenti, transitività. Chiusura integrale.

Settimana 7 Proprietà locali della dipendenza integrale. Anelli di valutazione. La relazione di dominanza. Il teorema di Krull per la chiusura integrale. Inc, Lying over e Going up. Dimensione delle estensioni intere.
Esercizi 9

Prima prova di valutazione intermedia (pdf)

Settimana 8 Condizione della catena ascendente e del massimo. Moduli e anelli noetheriani: prime proprietà. Domini localmente noetheriani.
Domini di valutazione discreta di dimensione 1: loro caratterizzazioni. I domini di Dedekind: loro caratterizzazione locale.
Esercizi 10

Settimana 9 Decomposizione primaria di un ideale. Teoremi di unicità. Primi associati. Decomposizione primaria e primi associati in anelli noetheriani.
Definizione di modulo artiniano: esempi. Comportamento della noetherianità e artinianità per successioni esatte. Un modulo finitamente generato su un anello noetheriano è noetheriano.

Settimana 10 Il teorema della base di Hilbert. Algebre finitamente generate su anelli noetheriani sono noetheriane. Un esempio di k-algebra di Dedekind.
Anelli artiani e loro caratterizzazione come anelli noetheriani zerodimensionali. Un teorema di struttura.
Esercizi 11

Settimana 11 Il teorema dell'intersezione di Krull. Il teorema dell'ideale principale: cenni sulle sue conseguenze.
Insiemi algebrici. Enunciato del teorema degli zeri di Hilbert. Varietà irriducibili. L'anello delle coordinate di un insieme algebrico. Significato geometrico della localizzazione. Funzioni polinomiali e funzioni razionali su un insieme algebrico.

Settimana 12 Seminari degli studenti

Seconda prova di valutazione intermedia (pdf)

Appello B (pdf)

Appello C (pdf)

Dipartimento di Matematica

Roma TRE