Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL3 - Algebra 3:
Fondamenti di Algebra Commutativa
a.a. 2015/2016 - I Semestre
Diario delle Lezioni
Settimana 1 Moduli e sottomoduli.
Esempi. Operazioni
tra sottomoduli e tra ideali. Annullatore. Moduli quoziente. Generatori. Dipendenza lineare. Moduli
liberi. Rango. Matrici a
coefficienti in un anello. Omomorfismi. Proprietà
universale dei moduli liberi. Il funtore Hom.
Esercizi
1; Esercizi
2
Settimana 2
Somma
diretta e prodotto diretto. Proprietà
universali. Successioni esatte. Successioni
esatte che si spezzano. Esattezza
del funtore Hom. Moduli proiettivi.
Esercizi
3
Settimana 3 Cenni sui moduli iniettivi.
Algebre. Prodotto tensoriale di moduli. Proprietà universale. Estensione
e restrizione degli scalari.
Esercizi
4
Settimana 4
Prodotto
tensoriale di algebre. Esattezza del
prodotto tensoriale. Moduli piatti. Parti moltiplicative.
Anelli e moduli di frazioni. Piattezza.
Esercizi
5; Esercizi6
Settimana 5
Ideali
primi e massimali. Ideali minimali. Lemma di Zorn.
Anelli locali. L'anello delle serie
formali. Proprietà locali. Radicale di Jacobson e
Nilradicale. Lemma di Nakayama. Estensione e contrazione di
ideali.
Esercizi
7
Settimana 6
Estensione e contrazione di ideali in anelli di
frazioni. Corrispondenza fra gli ideali primi di A e A_S.
Prime Avoidance Theorem. Il radicale di un ideale. Anelli
ridotti. Ideali primari. Corrispondenza fra gli ideali
radicali e primari di A e A_S.
Esercizi
8; Esercizi
9
Settimana 7
Moduli
e anelli
noetheriani.
Prime proprietà.
Il teorema della
base.
Localizzazione
di moduli
noetheriani. Il
carattere di
finitezza. Il
teorema di Cohen
per i domini
noetheriani.
Decomposizione
primaria di
ideali.
Esercizi
10
Settimana 8
Seminari
degli studenti:
Proprietà
topologiche di
Spec(A); Moduli
proiettivi e
moduli piatti;
Moduli
iniettivi.
Settimana 9
Decomposizione
primaria:
teoremi di
unicità. Primi
associati e
zerodivisori.
Decomposizione
primaria in
anelli
noetheriani.
Moduli e anelli
artiniani: prime proprietà ed
esempi.
Esercizi
11
Settimana 10
Anelli
artiniani:
teorema di
caratterizzazione.
Teorema
dell'intersezione
di Krull.
Teorema
dell'ideale
principale.
Dipendenza
integrale:
definizioni
equivalenti.
Esercizi
12
Settimana 11
Proprietà
della
dipendenza
integrale.
Transitività.
Passaggio ai
quozienti e
alle
localizzazioni.
Lying over,
Inc, Going up.
Domini
integralmente
chiusi.
Proprietà
locale della
chiusura
integrale.
Domini di
valutazione:
definizioni
equivalenti.
Domini di
valutazione
noetheriani
(DVR).
Esercizi
13; Esercizi
14
Settimana 12
Ideali
invertibili.
Domini di
Dedekind.
Fattorizzazione
in ideali
primi. Cenni
sulla chiusura
integrale
degli anelli
noetheriani.
Il Teorema di
Krull sulla
chiusura
integrale.