Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL3 - Algebra 3: Fondamenti di Algebra Commutativa

a.a. 2015/2016 - I Semestre



Diario delle Lezioni




Settimana 1   Moduli e sottomoduli. Esempi. Operazioni tra sottomoduli e tra ideali. Annullatore. Moduli quoziente. Generatori. Dipendenza lineare. Moduli liberi. Rango. Matrici a coefficienti in un anello. Omomorfismi. ProprietÓ universale dei moduli liberi. Il funtore Hom.
Esercizi 1; Esercizi 2

Settimana 2   Somma diretta e prodotto diretto. ProprietÓ universali. Successioni esatte. Successioni esatte che si spezzano. Esattezza del funtore Hom. Moduli proiettivi.
Esercizi 3

Settimana 3   Cenni sui moduli iniettivi. Algebre. Prodotto tensoriale di moduli. ProprietÓ universale. Estensione e restrizione degli scalari.
Esercizi 4

Settimana 4   Prodotto tensoriale di algebre. Esattezza del prodotto tensoriale. Moduli piatti. Parti moltiplicative. Anelli e moduli di frazioni. Piattezza.
Esercizi 5; Esercizi6

Settimana 5   Ideali primi e massimali. Ideali minimali. Lemma di Zorn. Anelli locali. L'anello delle serie formali. ProprietÓ locali. Radicale di Jacobson e Nilradicale. Lemma di Nakayama. Estensione e contrazione di ideali.
Esercizi 7

Settimana 6   Estensione e contrazione di ideali in anelli di frazioni. Corrispondenza fra gli ideali primi di A e A_S. Prime Avoidance Theorem. Il radicale di un ideale. Anelli ridotti. Ideali primari. Corrispondenza fra gli ideali radicali e primari di A e A_S.
Esercizi 8Esercizi 9

Settimana 7   Moduli e anelli noetheriani. Prime proprietÓ. Il teorema della base. Localizzazione di moduli noetheriani. Il carattere di finitezza. Il teorema di Cohen per i domini noetheriani. Decomposizione primaria di ideali.
Esercizi 10

Settimana 8   Seminari degli studenti: ProprietÓ topologiche di Spec(A); Moduli proiettivi e moduli piatti; Moduli iniettivi.

Settimana 9   Decomposizione primaria: teoremi di unicitÓ. Primi associati e zerodivisori. Decomposizione primaria in anelli noetheriani.  Moduli e anelli artiniani: prime proprietÓ ed esempi.
Esercizi 11

Settimana 10   Anelli artiniani: teorema di caratterizzazione. Teorema dell'intersezione di Krull. Teorema dell'ideale principale. Dipendenza integrale: definizioni equivalenti.
Esercizi 12

Settimana 11   ProprietÓ della dipendenza integrale. TransitivitÓ. Passaggio ai quozienti e alle localizzazioni. Lying over, Inc, Going up. Domini integralmente chiusi. ProprietÓ locale della chiusura integrale. Domini di valutazione: definizioni equivalenti. Domini di valutazione noetheriani (DVR).
Esercizi 13
Esercizi 14
 

Settimana 12   Ideali invertibili. Domini di Dedekind. Fattorizzazione in ideali primi. Cenni sulla chiusura integrale degli anelli noetheriani. Il Teorema di Krull sulla chiusura integrale.