Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL410 - Fondamenti di Algebra Commutativa

a.a. 2017/2018 - I Semestre



Diario delle Lezioni



Settimana 1   Moduli e algebre. Esempi. Sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli e tra ideali. Annullatore. Moduli quoziente. Matrici a coefficienti in un anello. Generatori. Dipendenza lineare e algebrica. Basi. Moduli liberi. Rango.
Esercizi 1; Esercizi 2

Settimana 2   ProprietÓ universale dei moduli liberi. Prodotto diretto e somma diretta. ProprietÓ universali. Omomorfismi di moduli liberi e matrici associate. Il Teorema di Hamilton-Cayley. Successioni esatte corte. Successioni esatte corte che si spezzano. Categorie e funtori.
Esercizi 3

Settimana 3  I funtori Hom. Esattezza. Moduli proiettivi. Cenni sui moduli iniettivi.
Esercizi 4

Settimana 4  Prodotto tensoriale di moduli. ProprietÓ universale. Esempi. Prodotto tensoriale di algebre.
Esercizi 5

Settimana 5   Esattezza del prodotto tensoriale. Moduli piatti.
Lemma di Zorn. Ideali primi e massimali. Ideali primi minimali. Anelli locali. L'anello delle serie formali. Radicale di Jacobson. Lemma di Nakayama.
Esercizi 6; Esercizi 7
 
Settimana 6   Parti moltiplicative. Saturazione. Zerodivisori e Nilradicale. Il radicale di un ideale. Anelli e moduli di frazioni. Piattezza dei moduli di frazioni.
Esercizi 8

Settimana 7   Estensione e contrazione di ideali in anelli di frazioni. Ideali primari. Corrispondenza fra gli ideali primi, radicali e primari di A e A_S. Il carattere di finitezza.
Esercizi 9