Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL410 - Fondamenti di
Algebra Commutativa
a.a. 2017/2018 - I Semestre
Diario delle Lezioni
Settimana 1 Moduli e algebre. Esempi. Sottomoduli. Operazioni
tra sottomoduli e tra ideali. Annullatore. Moduli quoziente. Matrici
a coefficienti in un anello. Generatori.
Dipendenza lineare e algebrica. Basi. Moduli
liberi. Rango.
Esercizi 1;
Esercizi 2
Settimana 2
Proprietà universale dei moduli
liberi. Prodotto diretto e somma diretta.
Proprietà universali. Omomorfismi di
moduli liberi e matrici
associate.
Il Teorema di Hamilton-Cayley.
Successioni
esatte corte. Successioni
esatte corte che si spezzano.
Categorie e funtori.
Esercizi 3
Settimana 3
I funtori Hom. Esattezza. Moduli proiettivi. Cenni sui moduli iniettivi.
Esercizi 4
Settimana 4
Prodotto tensoriale di moduli.
Proprietà
universale. Esempi. Prodotto tensoriale di algebre.
Esercizi
5
Settimana 5 Esattezza del prodotto
tensoriale. Moduli piatti.
Lemma
di Zorn. Ideali
primi e massimali. Ideali primi minimali. Anelli
locali. L'anello delle serie
formali. Radicale di Jacobson. Lemma di Nakayama.
Esercizi
6;
Esercizi
7
Settimana 6
Parti
moltiplicative. Saturazione. Zerodivisori e Nilradicale. Il
radicale di un ideale. Anelli e moduli di frazioni. Piattezza
dei moduli di frazioni.
Esercizi
8
Settimana 7
Estensione
e
contrazione di ideali in anelli di frazioni. Ideali primari.
Corrispondenza fra gli ideali primi, radicali e primari di A e
A_S. Il carattere di finitezza.
Esercizi
9
Settimana 8
Condizione
della catena ascendente (discendente) e del massimo
(minimo). Moduli e anelli noetheriani e artiniani. Prime
proprietà ed esempi. Serie di composizione. Lunghezza di un
modulo.
Localizzazione di
moduli
noetheriani. Il
teorema della
base.
Esercizi
10
Settimana 9
Dimensione di Krull. Dipendenza integrale:
definizioni equivalenti.Proprietà della dipendenza
integrale. Transitività. Passaggio ai quozienti e alle
localizzazioni. Lying over, Inc, Going up. Domini
integralmente chiusi. Proprietà locale della chiusura
integrale. Cenni sulla chiusura integrale dei domini
noetheriani. Domini di valutazione: definizioni equivalenti.
Enunciato del Teorema di Krull sulla chiusura integrale.
Esercizi
11
Settimana 10
I domini di
valutazione
sono
integralmente
chiusi.
Sopra-anelli
di un dominio
di
valutazione.
Domini di
valutazione
noetheriani
(DVR) e loro
caratterizzazioni.
Decomposizione
primaria:
teoremi di
unicità.
Decomposizione
primaria negli
anelli
noetheriani. I domini di
Dedekind come
intersezioni
di DVR. Decomposizione
degli ideali
nei domini di
Dedekind.
Esercizi
12
(valutazioni)
Settimana 11
Primi associati
negli anelli noetheriani; zerodivisori e
nilpotenti. Il teorema dell'intersezione di
Krull. Anelli artiniani. Un anello è
artiniano se e soltanto se è noetheriano di
dimensione zero. Il teorema di
caratterizzazione degli anelli artiniani. Il
teorema dell'ideale principale (cenni di
dimostrazione) e alcune sue conseguenze.
Esercizi 13