Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL410 - Fondamenti di Algebra Commutativa

a.a. 2017/2018 - I Semestre



Diario delle Lezioni



Settimana 1   Moduli e algebre. Esempi. Sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli e tra ideali. Annullatore. Moduli quoziente. Matrici a coefficienti in un anello. Generatori. Dipendenza lineare e algebrica. Basi. Moduli liberi. Rango.
Esercizi 1; Esercizi 2

Settimana 2   ProprietÓ universale dei moduli liberi. Prodotto diretto e somma diretta. ProprietÓ universali. Omomorfismi di moduli liberi e matrici associate. Il Teorema di Hamilton-Cayley. Successioni esatte corte. Successioni esatte corte che si spezzano. Categorie e funtori.
Esercizi 3

Settimana 3  I funtori Hom. Esattezza. Moduli proiettivi. Cenni sui moduli iniettivi.
Esercizi 4

Settimana 4  Prodotto tensoriale di moduli. ProprietÓ universale. Esempi. Prodotto tensoriale di algebre.
Esercizi 5

Settimana 5   Esattezza del prodotto tensoriale. Moduli piatti.
Lemma di Zorn. Ideali primi e massimali. Ideali primi minimali. Anelli locali. L'anello delle serie formali. Radicale di Jacobson. Lemma di Nakayama.
Esercizi 6; Esercizi 7
 
Settimana 6   Parti moltiplicative. Saturazione. Zerodivisori e Nilradicale. Il radicale di un ideale. Anelli e moduli di frazioni. Piattezza dei moduli di frazioni.
Esercizi 8

Settimana 7   Estensione e contrazione di ideali in anelli di frazioni. Ideali primari. Corrispondenza fra gli ideali primi, radicali e primari di A e A_S. Il carattere di finitezza.
Esercizi 9

Settimana 8   Condizione della catena ascendente (discendente) e del massimo (minimo). Moduli e anelli noetheriani e artiniani. Prime proprietÓ ed esempi. Serie di composizione. Lunghezza di un modulo. Localizzazione di moduli noetheriani. Il teorema della base.
Esercizi 10

Settimana 9   Dimensione di Krull. Dipendenza integrale: definizioni equivalenti.ProprietÓ della dipendenza integrale. TransitivitÓ. Passaggio ai quozienti e alle localizzazioni. Lying over, Inc, Going up. Domini integralmente chiusi. ProprietÓ locale della chiusura integrale. Cenni sulla chiusura integrale dei domini noetheriani. Domini di valutazione: definizioni equivalenti. Enunciato del Teorema di Krull sulla chiusura integrale.
Esercizi 11 

Settimana 10   I domini di valutazione sono integralmente chiusi. Sopra-anelli di un dominio di valutazione. Domini di valutazione noetheriani (DVR) e loro caratterizzazioni. Decomposizione primaria: teoremi di unicitÓ.  Decomposizione primaria negli anelli noetheriani. I domini di Dedekind come intersezioni di DVR. Decomposizione degli ideali nei domini di Dedekind.
Esercizi 12 (valutazioni)

Settimana 11   Primi associati negli anelli noetheriani; zerodivisori e nilpotenti. Il teorema dell'intersezione di Krull. Anelli artiniani. Un anello Ŕ artiniano se e soltanto se Ŕ noetheriano di dimensione zero. Il teorema di caratterizzazione degli anelli artiniani. Il teorema dell'ideale principale (cenni di dimostrazione) e alcune sue conseguenze.
Esercizi 13