Settimana
3:
Ampliamenti ciclotomici. Polinomi ciclotomici.
Moltiplicatività del grado. Amplimenti algebrici e
finitamente generati. Un ampliamento algebrico che
non è finito. Campi di spezzamento in C.
Esercizi 3
Settimana 4:
Il grado di un campo di spezzamento. Esempi con
polinomi di 2° e 3° grado. Radici multiple. Il
teorema dell'elemento primitivo. Immersioni in C.
Esercizi 4
Settimana 5:
F-immersioni e F-automorfismi in C. Ampliamenti
algebrici normali e normali finiti: loro
caratterizzazioni. Chiusura normale. Gruppi di
Galois di ampliamenti e polinomi. Estensione di un
isomorfismo di campi ad un ampliamento semplice.
Esercizi di
ricapitolazione sui gruppi
Prima prova di valutazione intermedia:
Lunedì 28 Ottobre
Settimana 6:
Estensione di isomorfismi ad ampliamenti
finiti. Esistenza di un campo di spezzamento
ed unicità a meno di isomorfismi. Campi
algebricamente chiusi e chiusura algebrica.
Esercizi 5
Settimana 7:
Separabilità. Formulazione generale del teorema
dell'elemento primitivo. Esempio di un ampliamento
finito e non semplice. Ampliamenti di Galois.
Campi finiti. Esistenza ed unicità di campi finiti
di ordine ammissibile. Polinomi irriducibili su
campi finiti. L'automorfismo di Frobenius.
Esercizi 6
Settimana 8:
Polinomi simmetrici. Polinomi simmetrici
elementari e polinomi di Newton. Il teorema
fondamentale. Polinomio discriminante. Il
discriminante di un polinomio. Una formula per il
calcolo. I gruppi di Galois finiti come gruppi di
permutazioni. Transitività. Gruppi risolubili e
semplici.
Esercizi 7
Settimana 9:
Risolubilità di S_n. Enunciato del teorema di
Galois sulla risolubilità per radicali. Il
polinomio generale e il suo gruppo di Galois.
Teorema di Ruffini-Abel. Campi fissi. La
corrispondenza di Galois è biiettiva.
Esercizi 8
Settimana 10:
Come trovare il campo fisso di un automorfismo.
Studio del p-esimo ampliamento ciclotomico:
sottocampo reale, discriminante e corrispondenza
di Galois. La corrispondenza di Galois mantiene la
normalità. Ampliamenti radicali e polinomi
risolubili per radicali. Il gruppo di Galois di un
ampliamento radicale puro. Enunciato del Teorema
di Kummer.
Esercizi 9
Settimana 11:
Il
gruppo di Galois di un polinomio risolubile per
radicali è risolubile. Cenni sul viceversa.
Esempi
di prove finali di esonero: 2012/13,
2010/11
Settimana 12:
Costruzioni con riga e compasso. Caratterizzazione
dei punti costruibili. Costruzioni impossibili.
Costruibilità dei poligoni regolari.
Seconda prova di valutazione intermedia:
Giovedì 9 Gennaio 2014