Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL310 - Istituzioni di Algebra Superiore
Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois


a.a. 2013/2014 -
I Semestre




Diario delle Lezioni




Settimana 1:
Introduzione al corso. Radici complesse di numeri complessi. Radici n-sime dell'unitÓ. Formule di Tartaglia-Cardano per le equazioni di terzo grado.
Le formule di Tartaglia in poesia.
Esercizi 1

Settimana 2:
Sottocampo fondamentale e caratteristica. Ampliamenti di campi. Grado. Ampliamenti finitamente generati. Elementi algebrici e trascendenti. Il teorema di Kronecker.
Esercizi 2
Esercizi di ricapitolazione sui polinomi



Settimana 3:
Ampliamenti ciclotomici. Polinomi ciclotomici. MoltiplicativitÓ del grado. Amplimenti algebrici e finitamente generati. Un ampliamento algebrico che non Ŕ finito. Campi di spezzamento in C. 
Esercizi 3

Settimana 4:
Il grado di un campo di spezzamento. Esempi con polinomi di 2░ e 3░ grado. Radici multiple. Il teorema dell'elemento primitivo. Immersioni in C.
Esercizi 4

Settimana 5:
F-immersioni e F-automorfismi in C. Ampliamenti algebrici normali e normali finiti: loro caratterizzazioni. Chiusura normale. Gruppi di Galois di ampliamenti e polinomi. Estensione di un isomorfismo di campi ad un ampliamento semplice.
Esercizi di ricapitolazione sui gruppi

Prima prova di valutazione intermedia:  Lunedý 28 Ottobre

Settimana 6:
Estensione di isomorfismi ad ampliamenti finiti.  Esistenza di un campo di spezzamento ed unicitÓ a meno di isomorfismi. Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica.
Esercizi 5

Settimana 7:
SeparabilitÓ. Formulazione generale del teorema dell'elemento primitivo. Esempio di un ampliamento finito e non semplice. Ampliamenti di Galois. Campi finiti. Esistenza ed unicitÓ di campi finiti di ordine ammissibile. Polinomi irriducibili su campi finiti. L'automorfismo di Frobenius.
Esercizi 6

Settimana 8:
Polinomi simmetrici. Polinomi simmetrici elementari e polinomi di Newton. Il teorema fondamentale. Polinomio discriminante. Il discriminante di un polinomio. Una formula per il calcolo. I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni. TransitivitÓ. Gruppi risolubili e semplici.
Esercizi 7

Settimana 9:
RisolubilitÓ di S_n. Enunciato del teorema di Galois sulla risolubilitÓ per radicali. Il polinomio generale e il suo gruppo di Galois. Teorema di Ruffini-Abel. Campi fissi. La corrispondenza di Galois Ŕ biiettiva.
Esercizi 8

Settimana 10:
Come trovare il campo fisso di un automorfismo. Studio del p-esimo ampliamento ciclotomico: sottocampo reale, discriminante e corrispondenza di Galois. La corrispondenza di Galois mantiene la normalitÓ. Ampliamenti radicali e polinomi risolubili per radicali. Il gruppo di Galois di un ampliamento radicale puro. Enunciato del Teorema di Kummer.
Esercizi 9

Settimana 11:

Il gruppo di Galois di un polinomio risolubile per radicali Ŕ risolubile. Cenni sul viceversa.

Esempi di prove finali di esonero: 2012/13, 2010/11


Settimana 12:
Costruzioni con riga e compasso. Caratterizzazione dei punti costruibili. Costruzioni impossibili. CostruibilitÓ dei poligoni regolari.

Seconda prova di valutazione intermedia:  Giovedý 9 Gennaio 2014